精品解析：陕西省渭南市韩城市2026-2027学年高三上学期8月学情摸底调研试题数学试题

韩城市2027届学情摸底调研试题 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的． 1. 设复数的共轭复数为，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知与的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 4. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙等6人一起报名校运动会的跑步项目，跑步项目共有m短跑、m短跑和 m跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目有两人报名，则不同的报名方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 8. 已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和函数，下列说法正确的有（ ） A. 和有相同的零点； B. 和有相同的最值； C. 和有相同的最小正周期； D. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到. 10. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 是递增数列 B. 当时，取得最小值 C. 若，则的最小值为11 D. 数列的前10项和为50 11. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（A点在第一象限），过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为 C. D. 线段的中点到轴的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为__________． 13. 已知、都是锐角，，，则__________． 14. 已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）已知的面积为，求． 16. 致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格． 优秀 非优秀 合计 男 5 女 35 合计 （1）求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求； （2）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关． 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为棱上靠近点的三等分点，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，上顶点的坐标为． （1）求的方程； （2）已知点为上一点，过点作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求实数的值． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的两个极值点分别为和，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 韩城市2027届学情摸底调研试题 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的． 1. 设复数的共轭复数为，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，则，则. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算两个集合的公共元素可得. 【详解】由不等式，得，解得，因此. 又因为，所以. 3. 已知与的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以 4. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列通项公式结合题设可得答案. 【详解】由题，则，故D正确． 5. 甲、乙等6人一起报名校运动会的跑步项目，跑步项目共有m短跑、m短跑和 m跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目有两人报名，则不同的报名方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】本题为分组分配问题，先把甲、乙等6人分成三组，每组2人，再分配3项跑步项目. 【详解】先把甲、乙等6人分成三组，每组2人,则有种分法 再分配3项跑步项目，那么报名方法有. 6. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】因为随机变量，正态分布关于均值对称， 所以，又，则， 而，因为， 所以，解得. 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数运算性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时取等． 故选：B 8. 已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇函数性质求出参数，再推导函数周期，将转化为区间内的函数值计算即可． 【详解】因为是定义域包含的奇函数，故，即， 由，可得， 所以是周期为4的周期函数， 因为，所以， 又，令得， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和函数，下列说法正确的有（ ） A. 和有相同的零点； B. 和有相同的最值； C. 和有相同的最小正周期； D. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的零点、最值、周期性质以及三角函数图象平移变换，结合正弦函数基本性质和“左加右减”平移规则逐一判断可得. 【详解】选项A：函数的零点为， 函数的零点满足，即，二者零点没有重合，A错误； 选项B：正弦函数的最大值为、最小值为，平移变换不改变函数振幅，因此和的最值完全相同，B正确； 选项C：正弦型函数的最小正周期为， 因为两个函数的，因此最小正周期均为，C正确； 选项D：根据图象平移“左加右减”规则，将向左平移个单位，可得，D正确. 10. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 是递增数列 B. 当时，取得最小值 C. 若，则的最小值为11 D. 数列的前10项和为50 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据等差数列已知的首项和前10项和求出公差，得到通项公式与前项和公式，再逐一判断各选项． 【详解】设等差数列公差为，由， 代入，得，解得， 因此通项公式为，前项和， 选项A：公差，所以是递增数列，A正确； 选项B：令，解得，即，， 前项均为负，第项起为正，故在时取得最小值，B错误； 选项C：令，解得（为正整数）， 因此时的最小值为，C正确； 选项D：前项和为，D正确． 11. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（A点在第一象限），过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为 C. D. 线段的中点到轴的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标得，即可判断A；联立方程求出坐标得，判断B；确定坐标计算，判断C；求出线段的中点坐标，即可判断D． 【详解】由题意，直线与x轴交点为， 的焦点，可得， 即抛物线方程为，故A正确； 由，可得，解得或， 可得交点分别为，所以，故B错误； 由，可知， 可得，则，即，故C正确； 由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】令，解得， 可知双曲线的渐近线方程为， 即，解得. 13. 已知、都是锐角，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，则， 且，，则，， 所以. 14. 已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】由侧棱平面，平面，得，且， 所以三棱锥可以补成长方体，如图所示. 则三棱锥的外接球与该长方体的外接球相同， 则外接球的直径为长方体的体对角线. 已知，， 则，则， 故三棱锥外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）已知的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得，然后根据角的范围求解即可； （2）利用三角形面积公式得，结合得，进而利用余弦定理求解即可． 【小问1详解】 由正弦定理及，有． 又由，所以，所以． 又由，有，又，可得． 【小问2详解】 由的面积为，有，可得． 由，有，可得， 又由余弦定理，有，故． 16. 致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格． 优秀 非优秀 合计 男 5 女 35 合计 （1）求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求； （2）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关． 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1），不能； （2） 优秀 非优秀 合计 男 5 45 50 女 15 35 50 合计 20 80 100 没有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关. 【解析】 【分析】（1）利用概率分布直方图的性质先求出，进而求得60分以下的概率估计值，即可判断； （2）根据（1）中的结论，先求得优秀的人数，再填写列联表，进而再求，查表后可以判断得没有99％的把握. 【小问1详解】 ，解得， 成绩不及格的频率为， ∴“成绩不及格”的概率估计值为21％， ∵21％＞20％， ∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求． 【小问2详解】 由（1）可得成绩在的人数为：， 即样本中成绩优秀有20人，由此完成2×2列联表如下所示： 优秀 非优秀 合计 男 5 45 50 女 15 35 50 合计 20 80 100 假设：此次竞赛成绩与性别无关，则 ， ∴没有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为棱上靠近点的三等分点，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由条件得，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，两两垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的法向量，则， 令，则，所以， 设直线MN与平面所成角为， 则. 18. 已知椭圆：（）的离心率为，上顶点的坐标为． （1）求的方程； （2）已知点为上一点，过点作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)结合椭圆离心率、上顶点坐标及求解椭圆参数，得到椭圆方程； (2)设点坐标，根据向量关系推导S与M的坐标对应关系，代入椭圆方程化简得轨迹方程； (3)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和三角形面积公式列方程求解的值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意得上顶点，故； 离心率，即. 代入，得，解得. 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，，如图所示： 由题意得在轴的垂足，则，. 由得，即； 因为在椭圆上，将坐标关系代入，即， 因此点的轨迹方程为. 【小问3详解】 设，， 联立直线与椭圆的方程，消去得， 由韦达定理得，; 的面积，故。 由，代入韦达公式得 ， 可得，两边平方整理得，即； 因为恒成立，故， 解得. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的两个极值点分别为和，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（i）知，，且时，， 又，所以. 令，则， 易得在上单调递增，且， 所以当时，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，则， 又因为，所以， 所以，即． 【解析】 【分析】（1）先代入确定函数解析式与定义域，再求导算出切点横坐标对应的函数值与导数值，得到切点坐标和切线斜率，最后用点斜式整理化简得出切线方程. （2）（i）先求出函数导数，由有两个极值点转化为对应导函数方程有两个正根，构造辅助函数并求导分析单调性与最小值，结合函数极限和零点位置，数形结合确定直线与图象有两个交点时的取值范围. （ii）先依据前一问单调性确定极值点的取值范围，构造关于的新函数并求导研究其单调区间与最小值，证得，再结合的范围放缩不等式，最终推导出成立. 【小问1详解】 当时，， 则的定义域为，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 （i），定义域为． 因为函数有两个极值点，所以是方程的两个正根． 令，则定义域为， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则． 又当时，，当时，， 所以当时，的图象与直线有两个不同的交点， 综上，实数的取值范围为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $