3.3 勾股定理的简单应用 同步训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本同步训练通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，覆盖勾股定理从基本计算到实际问题解决的完整路径，适配新授课分层教学需求，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理基本应用（判断直角、简单计算）|以选择填空为主，如古埃及画直角原理（选择3）、木杆折断高度计算（选择7），巩固概念理解| |提升层|实际情境与空间图形应用（最短路径、折叠、航海问题）|结合折叠、展开等空间转化，如长方体表面爬行（选择4）、圆柱侧面最短路径（选择6），培养几何直观| |综合层|复杂情境与跨知识综合（四边形面积、动态问题、生活优化）|设置生活实际问题，如建大卖场最短距离（解答21）、梯子滑动问题（选择12），发展应用意识与推理能力|

苏科版（2024）八年级上册 3.3 勾股定理的简单应用 同步训练 一、选择题 1.放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家，彬彬家的两两之间的距离如图所示，且晓华家在学校的正东方向，则彬彬家在学校的（     ）    A.正南方向 B.正东方向 C.正西方向 D.正北方向 2.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米.则小明算出旗杆的高度为(　　) A.10米   B.12米   C.13米   D.15米 3.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　)    A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于 C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 4.如图，长方体鱼缸(无盖)的长、宽、高分别为120 cm，50 cm，40 cm，一只壁虎从外表面顶点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在DD'上且距离上沿10 cm(即D'E=10 cm)，壁虎爬行的最短路程是(鱼缸厚度忽略不计)(　　) A.170 cm    B.90 cm    C.120 cm    D.130 cm 5.如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（    ） A.48 B.54 C.24 D.60 6.一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（　） A. B. C. D. 7.如图，一竖直的木杆在离地面3.6米处折断，木杆顶端落地后离木杆底端4.8米，木杆折断之前的高度为（    ） A.6米 B.7.2米 C.9.6米 D.10.8米 8.将正方形①②③按如图所示的方式摆放，若正方形①②的面积分别是81和144，则正方形③的边长为(　　) A.225   B.63   C.50   D.15 9.如图，长为6 cm的橡皮筋AB如图绷直放置，固定两端A和B后把中点C向上竖直拉升4 cm至D点(即CD＝4 cm，CD⊥AB)，则橡皮筋被拉长了(　　) A.2 cm   B.4 cm   C.3 cm   D.5 cm 10.如图，长方体的长、宽分别为和，高为，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A. B. C. D. 11.如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A. B. C. D. 12.如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C的距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则是（　　） A.米 B.米 C.米 D.米 二、填空题 13.如图，南北方向的海岸线上有一港口P，甲乙两艘轮船同时离开港口P，甲船以12海里/时的速度沿南偏东的方向航行；乙船以16海里/时的速度沿一固定方向航行，1.5小时后，它们分别位于点Q，R处，此时它们相距30海里，则乙船的航行方向是      ． 14.如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积等于      ． 15.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线为，这个桌面      （填“合格”或“不合格”） 16.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处，过了2 s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为50 m，则这辆小汽车的速度是　　　　　m/s. 17.如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为      ．    三、解答题 18.某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE.一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD＝7 dm，顶端A到地面的距离AD＝24 dm.(图中所有点均在同一平面内) (1)求梯子AB的长； (2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE＝20 dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长. 19.今年初，国家发展改革委、财政部发布关于2025年加力扩围实施大规模设备更新和消费品以旧换新政策的通知，下称“国补”，其中包括了数码产品里的笔记本电脑．如图1，小亮把通过“国补”购买的笔记本电脑水平放置在桌子上，显示器OB与底板OA所在水平线的夹角是120°，侧面示意图如图2；使用时为了散热，小亮在底板下垫入散热架ACO′，如图3，此时电脑转到AO′B′位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O′C⊥AC于点C，∠O′AC＝30°，． （1）求OA的长； （2）垫入散热架后，显示器顶部B′比原来升高了多少？（结果保留根号） 20.如图，在中，是边上的一点，，，，．求的面积． 21.如图，公路上A，B两站相距8千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为点A，B.已知AD长3千米，BC长5千米，现要在公路AB上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处？ 22.某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在某次数学活动中小明搬来一架梯子（米）靠在宣传牌（）处，底端落在地板处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（）的处，而底端向外移动了1米到处（米）．已知，点，分别在线段，上，测量得米．求宣传牌（）的高度． 苏科版（2024）八年级上册 3.3 勾股定理的简单应用 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家，彬彬家的两两之间的距离如图所示，且晓华家在学校的正东方向，则彬彬家在学校的（     ）    A.正南方向 B.正东方向 C.正西方向 D.正北方向 【答案】D 【解析】由图可得：， ∴， ∴是直角三角形， ∴彬彬家在学校的正北方向， 故选：D． 2.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米.则小明算出旗杆的高度为(　　) A.10米   B.12米   C.13米   D.15米 【答案】B 【解析】 设旗杆长为x米，则绳长为(x＋1)米，由勾股定理可得 52＋x2＝(x＋1)2， 解得x＝12， 即旗杆的高度为12米. 3.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　)    A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于 C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D 4.如图，长方体鱼缸(无盖)的长、宽、高分别为120 cm，50 cm，40 cm，一只壁虎从外表面顶点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在DD'上且距离上沿10 cm(即D'E=10 cm)，壁虎爬行的最短路程是(鱼缸厚度忽略不计)(　　) A.170 cm    B.90 cm    C.120 cm    D.130 cm 【答案】D 【解析】 如图，延长ED'到点E'，使D'E'=D'E，连接AE'，交A'D'于点P，连接EP. 则PE=PE'，AP+PE的最小值为AE'的长. ∵D'E'=D'E=10 cm， ∴DE'=40+10=50， ∵AD=120 cm， ∴AE'===130. 5.如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（    ） A.48 B.54 C.24 D.60 【答案】C 【解析】如图，连接， ， ，，， ， ， ，，， ， 为直角三角形， 这个图形的面积， 故选：C． 6.一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，把圆柱的侧面展开，则， 根据两点之间，线段最短，可知，蚂蚁所走过的最短路径即为线段的长， ∵圆柱的底面半径为， ∴， 在中，由勾股定理得， 则， 故选：B． 7.如图，一竖直的木杆在离地面3.6米处折断，木杆顶端落地后离木杆底端4.8米，木杆折断之前的高度为（    ） A.6米 B.7.2米 C.9.6米 D.10.8米 【答案】C 【解析】一竖直的木杆在离地面3.6米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4.8米处， 折断的部分长的平方为， 折断的部分长为米， 折断前高度为（米． 故选：C． 8.将正方形①②③按如图所示的方式摆放，若正方形①②的面积分别是81和144，则正方形③的边长为(　　) A.225   B.63   C.50   D.15 【答案】D 【解析】 如图所示， ∵四边形①②③都是正方形， ∴∠EAB＝∠EBD＝∠BCD＝90°，BE＝BD， ∴∠AEB＋∠ABE＝90°，∠ABE＋∠CBD＝90°， ∴∠AEB＝∠CBD， 在△ABE和△CDB中， ∴△ABE△CDB(AAS)， ∴AE＝CB，AB＝CD， ∵正方形①②的面积分别是81和144， ∴AE2＝81，CD2＝144， ∴AB2＝144， 在Rt△ABE中，由勾股定理得 BE2＝AE2＋AB2＝81＋144＝225， ∴BE＝15. 9.如图，长为6 cm的橡皮筋AB如图绷直放置，固定两端A和B后把中点C向上竖直拉升4 cm至D点(即CD＝4 cm，CD⊥AB)，则橡皮筋被拉长了(　　) A.2 cm   B.4 cm   C.3 cm   D.5 cm 【答案】B 【解析】 ∵CD⊥AB，C为AB中点， ∴AD＝BD，∠ACD＝90°， 在Rt△ACD中，AC＝AB＝3(cm)，CD＝4 cm， 根据勾股定理，得AD＝＝5(cm)， ∴AD＋BD－AB＝2AD－AB＝10－6＝4(cm)， 故橡皮筋被拉长了4 cm. 10.如图，长方体的长、宽分别为和，高为，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：长方体的侧面展开图如图所示， 由题意得，(cm)，(cm)． 在Rt中，由勾股定理得， 解得：cm(负值已舍去) 故选：． 11.如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴吸管露出杯口外的长度至少为， 故选：． 12.如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C的距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则是（　　） A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】B 【解析】由题意可知，，米，米，米， （米）， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， （米）， 即梯子顶端A下落了米． 故选：B． 二、填空题 13.如图，南北方向的海岸线上有一港口P，甲乙两艘轮船同时离开港口P，甲船以12海里/时的速度沿南偏东的方向航行；乙船以16海里/时的速度沿一固定方向航行，1.5小时后，它们分别位于点Q，R处，此时它们相距30海里，则乙船的航行方向是      ． 【答案】北偏东 【解析】由题意可得：，，，， 在中，， ， ， 是直角三角形，且， ∴ ∴乙船的航行方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 14.如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积等于      ． 【答案】 【解析】，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线为，这个桌面      （填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【解析】由题意得， ， ， 以，，为边的三角形是直角三角形， 桌面是长方形， 故答案为：合格． 16.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处，过了2 s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为50 m，则这辆小汽车的速度是　　　　　m/s. 【答案】 20 【解析】 由题意得，在Rt△ABC中，AC＝30 m，AB＝50 m， 根据勾股定理可得BC＝＝40(m)， 故小汽车的速度为＝20(m/s). 17.如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为      ．    【答案】 【解析】如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P，    则此时最小，过点B作交延长线于点E， ∵，，． ∴，， ∴，， 在中，， 则， 则的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 18.某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE.一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD＝7 dm，顶端A到地面的距离AD＝24 dm.(图中所有点均在同一平面内) (1)求梯子AB的长； (2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE＝20 dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长. 【答案】 解　(1)∵MD⊥DE， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，AD＝24 dm，BD＝7 dm， ∴AB＝＝25(dm). ∴梯子AB的长为25 dm. (2)在Rt△CEB中，CE＝20 dm，BC＝AB＝25 dm， ∴BE＝＝15(dm)， ∴DE＝BD＋BE＝7＋15＝22(dm)， ∴该教学楼走廊的宽度DE的长为22 dm. 19.今年初，国家发展改革委、财政部发布关于2025年加力扩围实施大规模设备更新和消费品以旧换新政策的通知，下称“国补”，其中包括了数码产品里的笔记本电脑．如图1，小亮把通过“国补”购买的笔记本电脑水平放置在桌子上，显示器OB与底板OA所在水平线的夹角是120°，侧面示意图如图2；使用时为了散热，小亮在底板下垫入散热架ACO′，如图3，此时电脑转到AO′B′位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O′C⊥AC于点C，∠O′AC＝30°，． （1）求OA的长； （2）垫入散热架后，显示器顶部B′比原来升高了多少？（结果保留根号） 【答案】解：（1）∵O′C⊥OA， ∴∠ACO′＝90°， ∵∠CAO′＝30°， ∴AO′＝2CO′， 在直角三角形AO′C中，， 由勾股定理得：AO′2＝AC2+CO′2， ∴， 解得AO′＝20或AO′＝﹣20（不合题意，舍去）， ∴AO＝AO′＝20cm， 答：OA的长为20cm； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，如图4， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOD＝60°， ∴∠OBD＝30°， ∴， ∵OB＝OA＝20cm， ∴OD＝10cm， 在直角三角形BOD中，由勾股定理得：， ∵O′C⊥OA，∠CAO′＝30°， ∴∠AO′C＝60°， ∵∠AO′B′＝120°， ∴∠AO′C+∠AO′B′＝180°， ∴B′，O′，C三点共线， ∴， ∴显示屏顶部B′比原来升高了． 20.如图，在中，是边上的一点，，，，．求的面积． 【答案】解：∵ ∴， 为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 21.如图，公路上A，B两站相距8千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为点A，B.已知AD长3千米，BC长5千米，现要在公路AB上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处？ 【答案】 解　设AE=x千米，则BE=千米， 在Rt△AED中，由勾股定理，得DE2=AD2+AE2=32+x2， 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE2=BE2+BC2=+52， 因为DE=CE，所以32+x2=52+，解得x=5， 所以大卖场E应建在离A站5千米处. 22.某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在某次数学活动中小明搬来一架梯子（米）靠在宣传牌（）处，底端落在地板处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（）的处，而底端向外移动了1米到处（米）．已知，点，分别在线段，上，测量得米．求宣传牌（）的高度． 【答案】解：由题意可得：米，米，米， 在中， ∴（米）， 则（米）， 在中， 16， ∴（米）， 故（米）， 答：宣传牌（）的高度为1米． 学科网（北京）股份有限公司 $