3.3勾股定理的简单应用（分层作业练题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理应用为主线，按“基础应用—情境拓展—综合探究”分层，通过经典问题与跨学科情境，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|单一情境勾股定理直接应用（树干折断、梯子滑动等）|选用《九章算术》经典题，强化抽象能力与符号意识| |情境拓展层|逆定理、立体几何及跨学科应用（消防救援、物理滑轮）|结合生活与其他学科情境，发展应用意识与空间观念| |综合探究层|多知识点融合的复杂问题（赵爽弦图证明与实际测距）|设计递进式综合题，培养推理能力与创新意识|

3.3勾股定理的简单应用 题型一 长度不变问题——树干折断问题 1．【答案】C 2． 【答案】竹子折断处离地面有4.2尺． 【详解】解：设竹子折断处离地面有x尺， 由题意可得：∠C＝90°，BC＝4尺，AC+AB＝10尺，AC＝x尺， ∴AB＝（10﹣x）尺， 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得：AC2+BC2＝AB2， ∴x2+42＝（10﹣x）2，解得：x＝4.2， 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 题型二 长度不变问题——梯子滑动问题 1． 【答案】（1）24米；8米． 【详解】解：（1）由勾股定理，梯子距离地面的高度为：24（米）； （2）∵梯子下滑了4米， ∴梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米）， 由勾股定理可得：25，解得：CC′＝8， 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 2． 【答案】梯子的高度是2.5米． 【详解】解：如图， 由题意可得：AC＝2.4米，DE＝2米，CE＝2.2米， 设BC＝x米，则BE＝（2.2﹣x）米， ∵AB2＝AC2+BC2，BD2＝DE2+BE2， ∴AC2+BC2＝DE2+BE2，即2.42+x2＝22+（2.2﹣x）2，解得：x＝0.7， ∴AB2.5（米）， 答：梯子的高度是2.5米． 题型三 长度不变问题——芦苇问题 1．【答案】C 题型四 长度不变问题——绳索问题 1．【答案】x2﹣（x﹣3）2＝82 2．【答案】 3． 【答案】（1）6.5米；（2）2． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，AC（米）， ∵CD＝1.5米， ∴AD＝AC+CD＝5+1.5＝6.5（米）； （2）如图，则CA'＝AC+AA'＝5+4＝9（米）， 在Rt△BA'C中，由勾股定理可得：BA'（米）， ∴他应该再放出15﹣13＝2（米）线， 故答案为：2． 题型五 长度不变问题——秋千问题 1．【答案】C 题型六 逆定理与面积问题的实际应用 1． 【答案】用该草坪铺满这块空地需花费720元． 【详解】解：如图，连接AC， 在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2＝32+42＝25， ∴AC＝5， ∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴该区域面积＝S△ACB﹣S△ACD12×53×4＝24（平方米）， ∴铺满这块空地共需花费＝24×30＝720（元）． 2． 【答案】（1）BD的长度为25米；（2）该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 【详解】解：（1）在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝7米，AD＝24米， 由勾股定理可得：（米）， 答：BD的长度为25米； （2）∵BC2+CD2＝152+202＝625，BD2＝625， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠C＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△BAD+S△BCD ＝234（平方米）， ∵运动型塑胶地板的价格为每平方米200元， ∴200×234＝46800（元）， 答：该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 题型七 立体几何中的勾股定理问题 1．【答案】D 2．【答案】20米 题型一 长度不变问题——调整角度问题 1．【答案】B 2．【答案】9.6cm 3．【答案】130 4． 【答案】；12． 【详解】解：（1）∵PC＝BD＝5cm，PD＝BC＝9cm， ∴四边形CBDP是平行四边形， ∴BC∥DP， ∴∠ADP＝∠ABC＝90°， ∵AD＝15cm，PD＝9cm， ∴（cm）， 故答案为：； （2）∵当窗户开到最大时，BC⊥MN，BC∥DP， ∴DP⊥MN， ∴∠DPA＝90°， ∵AD＝15cm，PD＝9cm， ∴（cm）； 当关闭状态下，PA＝PD+AD＝9+15＝24（cm）， ∴窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为24﹣12＝12（cm）， 故答案为：12． 题型二 方位测距问题 1． 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km； （2）海港C会受到此次台风的影响，理由详见解析； （3）台风影响该海港8小时． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响，理由如下： ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC·BCCE·AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）如图，以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D、F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中，∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）， 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 题型三 消防救援问题 1． 【答案】（1）B处与地面的距离是20米；（2）消防车从A处向楼房移动的距离AC至少为13米． 【详解】解：（1）在Rt△OAB中，∵AB＝25米，AO＝20米， ∴（米）， 由题意可知：OE＝AF＝5米， ∴BE＝OB+OE＝15+5＝20（米）， 答：B处与地面的距离是20米； （2）在Rt△OAB中，∵CD＝25米，OD＝OB+BD＝15+9＝24（米）， ∴米， ∴AC＝OA﹣OC＝20﹣7＝13（米）， 答：消防车从A处向楼房移动的距离AC至少为13米． 2． 【答案】（1）点B到地面的距离为27.5米；（2）消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援． 【详解】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BE于点H， 由题意可得：HE＝AG＝3.5米，AH＝EG＝32米，AB＝40米， 在Rt△ABH中，由勾股定理可得：AH2+BH2＝AB2， ∴322+BH2＝402，解得：BH＝24， ∴BE＝BH+HE＝24+3.5＝27.5（米）， 答：点B到地面的距离为27.5米； （2）如图2，BH＝24，BD＝8，连接AC并延长交BD于点H，则AC⊥BE， 又AH⊥BE，故A、C、H三点共线， ∴DH＝BH+BD＝24+8＝32（米）， ∵当云梯伸至最长40米时，前进的距离最小， 此时，在Rt△DCH中，由勾股定理得：CH2+DH2＝CD2， ∴CH2+322＝402，解得：CH＝24， ∴AC＝AH﹣CH＝32﹣24＝8（米）， 答：消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援． 题型四 跨学科融合题 1． 【答案】（1）27dm；（2）5dm． 【详解】解：（1）设AB＝xdm，则BC＝（24﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC2+BC2＝AB2， ∴122+（24﹣x）2＝x2，解得：x＝15， ∴AB＝15dm， ∴AB+AC＝15+12＝27（dm）， 答：绳子的总长度为27dm； （2）如图2， 由（1）得：DE＝9dm， 由题意可知：BE＝7dm，AD＝12dm，AB+AC＝27dm， ∴BD＝BE+DE＝7+9＝16（dm）， 由勾股定理可得：AB20（dm）， ∴AC＝AB+AC﹣AB＝27﹣20＝7（dm）， ∴CD＝AD﹣AC＝12﹣7＝5（dm）， 答：此时物体C升高了5dm． 题型五 立体几何中的勾股定理问题（升级） 1．【答案】13.8 题型六 逆定理与线段长度问题的实际应用 1． 【答案】（1）BD的长度为3；（2）该车符合安全标准，理由详见解析． 【详解】解：（1）在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， ∴BD＝3， 答：BD的长度为3； （2）该车符合安全标准，理由如下： 在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． 2． 【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）18.8． 【详解】解：（1）∵AC＝8，AB＝6，BC＝10， ∴BC2＝AC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE， 由勾股定理可得：DE， ∵AC＝8，AB＝6，BC＝10，△ABC是直角三角形， ∴BC边上的高， ∵滚轮半径r＝2， ∴购物车上篮子的左边缘D到地面的距离＝12+4.8+2＝18.8． 3． 【答案】（1）正确，理由详见解析；（2）风筝垂直下降的高度为9m． 【详解】解：（1）他的说法正确，理由如下： ∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m， ∴BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2． ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°； （2）由题意可得：BF＝2m， ∵BD＝10m， ∴FD＝10﹣2＝8（m）． ∵FC′＝17m， ∴在Rt△FDC′中，． ∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m），即风筝垂直下降的高度为9m， 答：风筝垂直下降的高度为9m． 4． 【答案】（1）是，理由详见解析；（2）千米． 【详解】解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路，理由如下： 在△CHB中，∵CH2+BH2＝BC2， ∴CH⊥AB， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设AC＝x，则AH＝x﹣1.2， 在Rt△ACH中，由勾股定理可得：AC2＝AH2+CH2， ∴x2＝（x﹣1.2）2+1.62，解得：， 答：原来的路线AC的长为千米． 题型一 勾股定理综合应用 1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）新路CH比原路CA少0.2千米；（3）△ABC的面积为84． 【详解】（1）证明：梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：设AC＝AB＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.4）千米， ∵CA2＝CH2+AH2， ∴x2＝0.82+（x﹣0.4）2，解得：x＝1， ∴CA＝1千米， ∴CA﹣CH＝1﹣0.8＝0.2（千米）， 答：新路CH比原路CA少0.2千米； （3）解：如图，作CH⊥AB，垂足为H， 设AH＝y， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣y， ∵CH⊥AB，AB＝21，AC＝10，BC＝17， ∵CH2＝CA2﹣AH2，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， ∴102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2，解得：y＝6， ∴AH＝6， ∴， ∴． 2． 【答案】（1），；（2）10；（3）13；（4）． 【详解】解：（1）∵AB＝5，DE＝1，BD＝8，CD＝x， ∴BC＝8﹣x， 在Rt△ABC中，， 在Rt△CDE中，， 故答案为：，； （2）当A、C、E三点共线时，AC+CE最小，如图，作EF⊥AB的延长线于点F， ， 由题意可得：BF＝DE＝1， ∴AE． ∴AC+CE的最小值为10． （3）如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3， 连接AE交BD于点C， ， 设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值， 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF， 则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5， ∴， ∴代数式的最小值为13， 故答案为：13； （4）如图，作OA＝4．过点A作AB⊥OA，使AB＝3．OC＝2，连接BC交x轴负半轴于点D， ， 设D的坐标为（x，0）， 则BC的长即为代数式的最大值， 过点C作CE⊥AB， 则AE＝OC＝2，CE＝OA＝4， ∴BE＝1， 在Rt△CBE中，由勾股定理可得：BC， ∴代数式（x是任意实数）的最大值为， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3勾股定理的简单应用 题型一 长度不变问题——树干折断问题 1．（2025·玄武区·校级月考）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【答案】C 【详解】解：由题意可得：x2+62＝（10﹣x）2． 故选：C． 2．（2025·泉山区·月考）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈＝10尺） 【答案】竹子折断处离地面有4.2尺． 【详解】解：设竹子折断处离地面有x尺， 由题意可得：∠C＝90°，BC＝4尺，AC+AB＝10尺，AC＝x尺， ∴AB＝（10﹣x）尺， 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得：AC2+BC2＝AB2， ∴x2+42＝（10﹣x）2，解得：x＝4.2， 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 题型二 长度不变问题——梯子滑动问题 1．（2025·淮安·期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）24米；8米． 【详解】解：（1）由勾股定理，梯子距离地面的高度为：24（米）； （2）∵梯子下滑了4米， ∴梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米）， 由勾股定理可得：25，解得：CC′＝8， 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 2．（2025·如皋市·校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直且平行的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，已知小巷的宽度为2.2米．求梯子的高度． 【答案】梯子的高度是2.5米． 【详解】解：如图， 由题意可得：AC＝2.4米，DE＝2米，CE＝2.2米， 设BC＝x米，则BE＝（2.2﹣x）米， ∵AB2＝AC2+BC2，BD2＝DE2+BE2， ∴AC2+BC2＝DE2+BE2，即2.42+x2＝22+（2.2﹣x）2，解得：x＝0.7， ∴AB2.5（米）， 答：梯子的高度是2.5米． 题型三 长度不变问题——芦苇问题 1．（2025·连云港·期末）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【详解】解：由题意可得：（尺），BC＝1尺，AB⊥B′C，AB′＝AB， 设AB'＝AB＝x尺，则AC＝AB﹣BC＝（x﹣1）尺， 在Rt△AB′C中，AC2+B′C2＝B′A2， 即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13， ∴这根芦苇的长度是13尺． 故选：C． 题型四 长度不变问题——绳索问题 1．（2025·江苏·校级期末）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱AB，在木柱的上端系有绳索AC，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索AC用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为x尺，根据题意列方程为　　． 【答案】x2﹣（x﹣3）2＝82 【详解】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC2﹣AB2＝BC2， 即x2﹣（x﹣3）2＝82． 故答案为：x2﹣（x﹣3）2＝82． 2．（2025·江都区·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为　　尺． 【答案】 【详解】解：设木柱长为x尺， 由题意可得：AB2+BC2＝AC2， ∴x2+82＝（x+3）2，解得：x， ∴木柱长为尺． 故答案为：． 3．（2025·启东市·期末）小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离BC的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离CD长为1.5米． （1）求风筝到地面的距离线段AD的长； （2）如果小龙想要风筝沿CA方向再上升4米，BC和CD的长度不变，则他应该再放出　　米线． 【答案】（1）6.5米；（2）2． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，AC（米）， ∵CD＝1.5米， ∴AD＝AC+CD＝5+1.5＝6.5（米）； （2）如图，则CA'＝AC+AA'＝5+4＝9（米）， 在Rt△BA'C中，由勾股定理可得：BA'（米）， ∴他应该再放出15﹣13＝2（米）线， 故答案为：2． 题型五 长度不变问题——秋千问题 1．（2025·扬州·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）的长度为多少尺？设秋千绳索OA的长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102 C．x2＝（x﹣4）2+102 D．x2+102＝（x﹣4）2 【答案】C 【详解】解：设秋千绳索OA的长为x尺， ∵AC＝1尺，EB＝10尺，BD＝5尺，∠OEB＝90°， ∴AE＝5﹣1＝4（尺），BO＝AO＝x尺， ∴OE＝AO﹣AE＝（x﹣4）尺， 在Rt△BOE中，由勾股定理可得：OB2＝OE2+BE2， ∴x2＝（x﹣4）2+102． 故选：C． 题型六 逆定理与面积问题的实际应用 1．（2023·工业园区·校级月考）如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，∠ADC＝90°，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？ 【答案】用该草坪铺满这块空地需花费720元． 【详解】解：如图，连接AC， 在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2＝32+42＝25， ∴AC＝5， ∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴该区域面积＝S△ACB﹣S△ACD12×53×4＝24（平方米）， ∴铺满这块空地共需花费＝24×30＝720（元）． 2．（2025·阜宁县·期末）某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地ABCD进行改造，经测量，∠A＝90°，AB＝7米，AD＝24米，CD＝20米，BC＝15米，连接BD． （1）求BD的长度； （2）若在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用． 【答案】（1）BD的长度为25米；（2）该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 【详解】解：（1）在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝7米，AD＝24米， 由勾股定理可得：（米）， 答：BD的长度为25米； （2）∵BC2+CD2＝152+202＝625，BD2＝625， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠C＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△BAD+S△BCD ＝234（平方米）， ∵运动型塑胶地板的价格为每平方米200元， ∴200×234＝46800（元）， 答：该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 题型七 立体几何中的勾股定理问题 1．（2026·兴化市·月考）将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm．则h的取值范围是（　　） A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【答案】D 【详解】解：当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h最大＝24﹣8＝16（cm）； 如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，连接AD， 在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm， 由勾股定理可得：， 此时h最小＝24﹣17＝7（cm）， ∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm． 故选：D． 2．（2024·亭湖区·期中）如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为　　． 【答案】20米 【详解】解：如图， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴AE＝6，ABAC16＝8， ∴BE10， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为2×10＝20米． 故答案为：20米． 题型一 长度不变问题——调整角度问题 1．（2025·苏州·期末）某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点A与点B重合．窗户拉开时，如图②，AB＝15cm，此时，窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2cm，则该窗户的高OA为（　　） A．57cm B．56.25cm C．54cm D．58.25cm 【答案】B 【详解】解：由题意可得：AB＝15cm，AC＝2cm， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝221（cm2）， 令OB＝x cm，则OC＝（x﹣2）cm， 由勾股定理可得：OB2＝BC2+OC2， ∴x2＝221+（x﹣2）2，解得：． 故选：B． 2．（2025·泰兴市·月考）如图，图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度AB为16cm，支架脚BC的长度为12cm，当∠ABC＝90°时，可测得AC＝20cm，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是　　． 【答案】9.6cm 【详解】解：在Rt△ABC中，AB＝16cm，BC＝12cm， ∴AC20（cm）， 如图，过点B作BE⊥CD于点E，CF⊥AC于点F， ∵CB平分∠ACD， ∴BE＝BF， 在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20cm，AB＝16cm， 由三角形的面积公式可得：S△ABCAC·BFAB·BC， ∴BF9.6（cm）， ∴BE＝BF＝9.6cm， ∴点B到CD的距离是9.6cm． 故答案为：9.6cm． 3．（2025·沭阳县·月考）如图，是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是　　cm． 【答案】130 【详解】解：如图，取AB的中点O， ∵双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm， ∴OA＝OB＝AD＝BC，， 设OA＝OB＝AD＝BC＝xcm，则AE＝OA﹣OE＝（x﹣5）cm，AB＝2xcm， 在Rt△DEA中，∵AD2＝AE2+DE2， ∴x2＝（x﹣5）2+252，解得：x＝65， ∴AB＝2×65＝130（cm）． 故答案为：130． 4．（2026·锡山区·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，MN为滑轨，AB、CE、PC、PD为固定长度的连杆．支点A固定在MN上，支点B固定在连杆CE上，支点D固定在连杆AB上．支点P可以在MN上滑动，点P的滑动带动点B、C、D、E的运动．已知MN＝30cm，AM＝1cm，AD＝15cm，PC＝BD＝5cm，PD＝BC＝BE＝9cm．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，BC⊥MN． （1）若∠ABC＝90°，则支点P与支点A的距离为　　cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为　　cm． 【答案】；12． 【详解】解：（1）∵PC＝BD＝5cm，PD＝BC＝9cm， ∴四边形CBDP是平行四边形， ∴BC∥DP， ∴∠ADP＝∠ABC＝90°， ∵AD＝15cm，PD＝9cm， ∴（cm）， 故答案为：； （2）∵当窗户开到最大时，BC⊥MN，BC∥DP， ∴DP⊥MN， ∴∠DPA＝90°， ∵AD＝15cm，PD＝9cm， ∴（cm）； 当关闭状态下，PA＝PD+AD＝9+15＝24（cm）， ∴窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为24﹣12＝12（cm）， 故答案为：12． 题型二 方位测距问题 1．（2024·江都区·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km； （2）海港C会受到此次台风的影响，理由详见解析； （3）台风影响该海港8小时． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响，理由如下： ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC·BCCE·AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）如图，以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D、F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中，∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）， 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 题型三 消防救援问题 1．（2025·丹阳市·期末）消防车上的云梯最多只能伸长到25米，已知消防车的高AF＝5米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离AO为20米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B上方9米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功救出小孩，消防车从A处向楼房移动的距离AC至少为多少米？ 【答案】（1）B处与地面的距离是20米；（2）消防车从A处向楼房移动的距离AC至少为13米． 【详解】解：（1）在Rt△OAB中，∵AB＝25米，AO＝20米， ∴（米）， 由题意可知：OE＝AF＝5米， ∴BE＝OB+OE＝15+5＝20（米）， 答：B处与地面的距离是20米； （2）在Rt△OAB中，∵CD＝25米，OD＝OB+BD＝15+9＝24（米）， ∴米， ∴AC＝OA﹣OC＝20﹣7＝13（米）， 答：消防车从A处向楼房移动的距离AC至少为13米． 2．（2025·泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）AG＝3.5米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． （1）求点B到地面的距离； （2）如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至CH处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 【答案】（1）点B到地面的距离为27.5米；（2）消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援． 【详解】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BE于点H， 由题意可得：HE＝AG＝3.5米，AH＝EG＝32米，AB＝40米， 在Rt△ABH中，由勾股定理可得：AH2+BH2＝AB2， ∴322+BH2＝402，解得：BH＝24， ∴BE＝BH+HE＝24+3.5＝27.5（米）， 答：点B到地面的距离为27.5米； （2）如图2，BH＝24，BD＝8，连接AC并延长交BD于点H，则AC⊥BE， 又AH⊥BE，故A、C、H三点共线， ∴DH＝BH+BD＝24+8＝32（米）， ∵当云梯伸至最长40米时，前进的距离最小， 此时，在Rt△DCH中，由勾股定理得：CH2+DH2＝CD2， ∴CH2+322＝402，解得：CH＝24， ∴AC＝AH﹣CH＝32﹣24＝8（米）， 答：消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援． 题型四 跨学科融合题 1．（2025·姑苏区·校级期中）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝12dm，AB+BC＝24dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了7dm，求此时物体C升高了多少dm？ 【答案】（1）27dm；（2）5dm． 【详解】解：（1）设AB＝xdm，则BC＝（24﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC2+BC2＝AB2， ∴122+（24﹣x）2＝x2，解得：x＝15， ∴AB＝15dm， ∴AB+AC＝15+12＝27（dm）， 答：绳子的总长度为27dm； （2）如图2， 由（1）得：DE＝9dm， 由题意可知：BE＝7dm，AD＝12dm，AB+AC＝27dm， ∴BD＝BE+DE＝7+9＝16（dm）， 由勾股定理可得：AB20（dm）， ∴AC＝AB+AC﹣AB＝27﹣20＝7（dm）， ∴CD＝AD﹣AC＝12﹣7＝5（dm）， 答：此时物体C升高了5dm． 题型五 立体几何中的勾股定理问题（升级） 1．（2025·亭湖区·期末）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段0.8米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为　　米（旋梯宽度忽略不计）． 【答案】13.8 【详解】解：如图，B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中DC为平台，由题意可得：BF＝12米， 将CA向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，则AE＝CD＝0.8m，DE＝CA， ∴旋梯底部A到顶部B的扶手长度BD+CD+AC＝BD+DE+AE＝BD+DE+0.8， 由“两点之间线段最短”可知：当B、D、E三点共线时，BD+DE有最小值BE，即此扶手长度有最小值， ∵油罐底面圆半径约为米，高为12米， ∴米， ∴EF＝AF﹣AE＝5.8﹣0.8＝5米， 在Rt△BFE中，米， ∴13+0.8＝13.8（米）， ∴旋梯的扶手长度l的最小值为13.8米． 故答案为：13.8． 题型六 逆定理与线段长度问题的实际应用 1．（2025·工业园区·校级月考）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】（1）BD的长度为3；（2）该车符合安全标准，理由详见解析． 【详解】解：（1）在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， ∴BD＝3， 答：BD的长度为3； （2）该车符合安全标准，理由如下： 在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． 2．（2025·赣榆区·月考）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8，AB＝6，两轮中心的距离BC＝10，滚轮半径r＝2． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）18.8． 【详解】解：（1）∵AC＝8，AB＝6，BC＝10， ∴BC2＝AC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE， 由勾股定理可得：DE， ∵AC＝8，AB＝6，BC＝10，△ABC是直角三角形， ∴BC边上的高， ∵滚轮半径r＝2， ∴购物车上篮子的左边缘D到地面的距离＝12+4.8+2＝18.8． 3．（2025·南京·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 【答案】（1）正确，理由详见解析；（2）风筝垂直下降的高度为9m． 【详解】解：（1）他的说法正确，理由如下： ∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m， ∴BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2． ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°； （2）由题意可得：BF＝2m， ∵BD＝10m， ∴FD＝10﹣2＝8（m）． ∵FC′＝17m， ∴在Rt△FDC′中，． ∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m），即风筝垂直下降的高度为9m， 答：风筝垂直下降的高度为9m． 4．（2025·锡山区·月考）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得CB＝2千米，CH＝1.6千米，HB＝1.2千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】（1）是，理由详见解析；（2）千米． 【详解】解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路，理由如下： 在△CHB中，∵CH2+BH2＝BC2， ∴CH⊥AB， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设AC＝x，则AH＝x﹣1.2， 在Rt△ACH中，由勾股定理可得：AC2＝AH2+CH2， ∴x2＝（x﹣1.2）2+1.62，解得：， 答：原来的路线AC的长为千米． 题型一 勾股定理综合应用 1．（2025·东台市·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长部为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）已知△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明详见解析；（2）新路CH比原路CA少0.2千米；（3）△ABC的面积为84． 【详解】（1）证明：梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：设AC＝AB＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.4）千米， ∵CA2＝CH2+AH2， ∴x2＝0.82+（x﹣0.4）2，解得：x＝1， ∴CA＝1千米， ∴CA﹣CH＝1﹣0.8＝0.2（千米）， 答：新路CH比原路CA少0.2千米； （3）解：如图，作CH⊥AB，垂足为H， 设AH＝y， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣y， ∵CH⊥AB，AB＝21，AC＝10，BC＝17， ∵CH2＝CA2﹣AH2，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， ∴102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2，解得：y＝6， ∴AH＝6， ∴， ∴． 2．（2025·江都区·期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）则AC的长为　　（用含x的代数式表示），CE的长为　　（用含x的代数式表示）； （2）当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为　　； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为　　 【答案】（1），；（2）10；（3）13；（4）． 【详解】解：（1）∵AB＝5，DE＝1，BD＝8，CD＝x， ∴BC＝8﹣x， 在Rt△ABC中，， 在Rt△CDE中，， 故答案为：，； （2）当A、C、E三点共线时，AC+CE最小，如图，作EF⊥AB的延长线于点F， ， 由题意可得：BF＝DE＝1， ∴AE． ∴AC+CE的最小值为10． （3）如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3， 连接AE交BD于点C， ， 设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值， 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF， 则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5， ∴， ∴代数式的最小值为13， 故答案为：13； （4）如图，作OA＝4．过点A作AB⊥OA，使AB＝3．OC＝2，连接BC交x轴负半轴于点D， ， 设D的坐标为（x，0）， 则BC的长即为代数式的最大值， 过点C作CE⊥AB， 则AE＝OC＝2，CE＝OA＝4， ∴BE＝1， 在Rt△CBE中，由勾股定理可得：BC， ∴代数式（x是任意实数）的最大值为， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3勾股定理的简单应用 题型一 长度不变问题——树干折断问题 1．（2025·玄武区·校级月考）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 2．（2025·泉山区·月考）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈＝10尺） 题型二 长度不变问题——梯子滑动问题 1．（2025·淮安·期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 2．（2025·如皋市·校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直且平行的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，已知小巷的宽度为2.2米．求梯子的高度． 题型三 长度不变问题——芦苇问题 1．（2025·连云港·期末）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 题型四 长度不变问题——绳索问题 1．（2025·江苏·校级期末）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱AB，在木柱的上端系有绳索AC，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索AC用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为x尺，根据题意列方程为　　． 2．（2025·江都区·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为　　尺． 3．（2025·启东市·期末）小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离BC的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离CD长为1.5米． （1）求风筝到地面的距离线段AD的长； （2）如果小龙想要风筝沿CA方向再上升4米，BC和CD的长度不变，则他应该再放出　　米线． 题型五 长度不变问题——秋千问题 1．（2025·扬州·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）的长度为多少尺？设秋千绳索OA的长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102 C．x2＝（x﹣4）2+102 D．x2+102＝（x﹣4）2 题型六 逆定理与面积问题的实际应用 1．（2023·工业园区·校级月考）如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，∠ADC＝90°，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？ 2．（2025·阜宁县·期末）某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地ABCD进行改造，经测量，∠A＝90°，AB＝7米，AD＝24米，CD＝20米，BC＝15米，连接BD． （1）求BD的长度； （2）若在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用． 题型七 立体几何中的勾股定理问题 1．（2026·兴化市·月考）将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm．则h的取值范围是（　　） A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 2．（2024·亭湖区·期中）如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为　　． 题型一 长度不变问题——调整角度问题 1．（2025·苏州·期末）某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点A与点B重合．窗户拉开时，如图②，AB＝15cm，此时，窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2cm，则该窗户的高OA为（　　） A．57cm B．56.25cm C．54cm D．58.25cm 2．（2025·泰兴市·月考）如图，图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度AB为16cm，支架脚BC的长度为12cm，当∠ABC＝90°时，可测得AC＝20cm，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是　　． 3．（2025·沭阳县·月考）如图，是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是　　cm． 4．（2026·锡山区·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，MN为滑轨，AB、CE、PC、PD为固定长度的连杆．支点A固定在MN上，支点B固定在连杆CE上，支点D固定在连杆AB上．支点P可以在MN上滑动，点P的滑动带动点B、C、D、E的运动．已知MN＝30cm，AM＝1cm，AD＝15cm，PC＝BD＝5cm，PD＝BC＝BE＝9cm．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，BC⊥MN． （1）若∠ABC＝90°，则支点P与支点A的距离为　　cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为　　cm． 题型二 方位测距问题 1．（2024·江都区·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 题型三 消防救援问题 1．（2025·丹阳市·期末）消防车上的云梯最多只能伸长到25米，已知消防车的高AF＝5米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离AO为20米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B上方9米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功救出小孩，消防车从A处向楼房移动的距离AC至少为多少米？ 2．（2025·泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）AG＝3.5米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． （1）求点B到地面的距离； （2）如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至CH处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 题型四 跨学科融合题 1．（2025·姑苏区·校级期中）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝12dm，AB+BC＝24dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了7dm，求此时物体C升高了多少dm？ 题型五 立体几何中的勾股定理问题（升级） 1．（2025·亭湖区·期末）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段0.8米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为　　米（旋梯宽度忽略不计）． 题型六 逆定理与线段长度问题的实际应用 1．（2025·工业园区·校级月考）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 2．（2025·赣榆区·月考）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8，AB＝6，两轮中心的距离BC＝10，滚轮半径r＝2． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 3．（2025·南京·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 4．（2025·锡山区·月考）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得CB＝2千米，CH＝1.6千米，HB＝1.2千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 题型一 勾股定理综合应用 1．（2025·东台市·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长部为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）已知△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，求△ABC的面积． 2．（2025·江都区·期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）则AC的长为　　（用含x的代数式表示），CE的长为　　（用含x的代数式表示）； （2）当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为　　； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为　　 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $