3.3 勾股定理的简单应用同步练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过基础、中档、综合三层设计，以生活情境和古算问题为载体，实现勾股定理从单一应用到综合探究的巩固路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理直接应用|以饮料盒吸管、楼梯地毯等生活情境设题，强化公式直接应用| |中档|实际情境综合应用|结合九章算术双门问题、拉杆箱结构，培养空间观念与问题转化能力| |综合|推理与拓展探究|通过房梁安全证明、规律探究题，发展推理能力与创新意识|

答案和解析 1.【答案】C 【解析】如图，连接BD·饮料盒的长为4cm'宽为3cm'高为12cm.BD=V32+4=5(cm .BE=BD2+DE2=V52+12=13(cm'吸管露在外面的长度为1cm':吸管的总长度为 13+1=14cm).故选C. A B 2.【答案】B 【解析】提示：根据题意，得AB=15cm,AC=2cm,所以BC2=AB-AC2=221cm2.设OB=xcm, 0C=(x-2cm.因为0B2=BC+0C,所以x=221+(x-2,解得x=尖=56.25.故窗户 0A为56.25cm. 3.【答案】B 【解析】如图，过点D作DH⊥AB于点H.则四边形CDHB是长方形， ∴.BC=DH=1.2米，CD=BH=1.5米， AB=2米， ∴.AH=AB-BH=2-1.5=0.5(米)， ∴.AD=VAH+DH=V0.52+1.2=1.3米).故选B. 第1页，共1页 感应器，A H B 4.【答案】A 【解析】解：，两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴.∠BAC=90, 两小时后，两艘船分别行驶了AB=16×2=32(海里)，AC=12×2=24(海里)， 根据勾股定理得BC=VAB+AC=322+24=40(海里)： 故选：A. 5.【答案】C 【解析】提示：设OA=OB=AD=BC=X寸.过点D作DE⊥AB于点E,则DE=10寸，OE=CD=1 寸，AE=(x-1)寸在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE+DE=AD2:即(x-1P+102=X2,解得 2x=101.故AB的长是101寸. 6.【答案】B 【解析】.'AD=m,BD=n,∴.AB=m+n, .∠ACB=90’.BC2=AB2-AC2=(m+n2-a2 :CD是AB边上的高，.CD1AB ∴.∠CDA=∠CDB=90'∴.CD2=AC2-AD2=a2-m2’CD=BC2-BD2=(m+n2-a2-n2 第2页，共1页 ∴.a2-m2=(m+n2-a2-n2, 整理得a=m+mn.故选B. 7.【答案】7 【解析】.高BC是3米，斜边AB长是5米， AC=VAB2-BC=4米， 根据题意，台阶的高的和为BC,宽的和为AC, :,至少需要地毯的长度为AC+BC=7米. 8.【答案】xX2+2=x+0.5 9.【答案】2πcm 【解析】由题意得AB=26,BC=10,∠ACB=90°， .AC2=AB2-BC2=26-10=16 三以月-边1C为直径向外所作半国而积为号1×9-×A-支×1-2m 42 4 10.【答案】114 【解析】连接AC(图略).，∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, AC=VAB2+BC2=V92+12=15(m.CD=8m'AD=17m'.AC2+CD2=152+82=289' AD2=172=289,.AC2+CD2=AD2,∴.△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，∴.四边形ABCD的 面积=△ABC的面积+△ACD的面积 =号ABBC+2AC-CD=×9×12+×15×8=54+60=114(m2,这块菜地的面积为114m. 11.【答案】V10或√13 【解析】.△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AC=3,.∴.BC=AC=3. 在Rt△ACP中，AP=AC2+PC2,.'P为边BC的三等分点， 第3页，共1页 :.①当PC=号BC=1时，AP=10:②当PC=号BC=2时，AP=V13. 3 3 综上所述，AP的长为V10或√13. 12.【答案】140 【解析】先在△ABD中，利用三边关系判断∠ADB是否为直角，若AD⊥BC,则在Rt△ADC中用勾 股定理求出DC,进而求出BC 【详解】解：在△ABD中，BD=50,AD=120,AB=130, .BD2+AD=502+120=16900, AB2=130=16900, .BD2+AD2=AB2, ∴.△ABD是直角三角形，∠ADB=90, 即AD⊥BC 在Rt△ADC中，AD=120,AC=150, 由勾股定理得： DC=VAC2-AD2=V1502-120=90 ∴.BC=BD+DC=50+90=140(米). 13.【答案】设水深AB=X尺，则芦苇长AC=AC=(x+1尺， :芦苇AC生长在底边长为10尺的正方形池塘的中央， BC=2×10=5R 在Rt△ACB中，.BC2+AB=AC2, ∴52+x=(x+12,解得x=12 .:水深为12尺，芦苇长为13尺. 第4页，共1页 14.【答案】解：如图所示，过C作CE⊥DN于E,延长AA'交CE于F,则∠AFC=90°， 设A'F=X,则AF=55+X, 由题可得，AC=65+35=100,A'C=65, B :Rt△A'CF中，CF2=652-x2, …-F D EN Rt△ACF中，CF2=100-(55+x2, ∴.652-x2=1002-(55+x, 解得x=25, .A'F=25, .'CF=VA'C2-A'F2=60(cm), 又.'EF=AD=3(cm), ∴.CE=60+3=63(cm), .拉杆把手C离地面的距离为63cm. 15.【答案】【小题1】 证明：，BD为AC边上的高， ∴.∠ADB=∠BDC=90°， ∴.AB=AD2+BD=1+2=5,BC2=BD2+CD2=2+42=20, .AD=1,CD=4, ∴.AC=AD+CD=5,则AC=25, ..AB2+BC2=AC2, .△ABC是直角三角形，且AB⊥BC. 【小题2】 小华设计的房梁不安全，理由如下： 第5页，共1页 .BD⊥AC, .∴.∠ADB=∠BDC=90°， .CD=VBC2-BD2=V22-12=1.6m ∴.AD=AC-CD=2.1-1.6=0.5m, ∴.AB=AD2+BD=0.52+1.22=1.69 ∴.AB2+BC2=1.69+2=5.69 .∵AC2=2.12=4.41≠5.69，即AB2+BC2≠AC2, ∴.BC与AB不垂直， .小华设计的房梁不安全 16.【答案】【小题1】 解：0A,=n,S,= 2 【小题2】 √10 【小题3】 S2+S2+S号++S3o= 2+2 2444 44 17.【答案】：b=”h=b号+=+投-C =/12 1 元R ar r ooa片 18.【答案】【小题1】 3.2 【小题2】 .∠MPN=90°，.∠APM+∠BPN=90°，'∠APM+∠AMP=90°，∴.∠AMP=∠BPN.在 ∠AMP=∠BPN, △AMP和△BPN中， ∠A=∠B, MP=PN, 第6页，共1页 ∴.△AMP≌△BPN(AAS),∴.PB=MA=2.4米，.MP=2.5米， .PA=MP2-MA2=√2.52-2.4=0.7米，.AB=PA+PB=0.7+2.4=3.1米) 【小题3】 ①∠MPN=180°-∠APM-∠BPN=60°. ②如图，过点N作ND⊥MA于点D,连接NM,易知ND=AB, .∠NPB=45°，∴.∠DNP=45, .'∠MPN=60°，MP=NP, ∴.△PNM为等边三角形， .∴.MN=MP,∠MNP=60°， .∴.∠MND=15. .'∠APM=75°，∴.∠AMP=15=∠MND. 又.∠A=∠NDM=90°， ∴.△AMP≌△DNM(AAS),∴.MA=ND, .MA=2.8米， ∴.AB=ND=2.8米，即丙房间的宽AB为2.8米. M D 750 145° AP B 第7页，共1页 3.3 勾股定理的简单应用 同步练习 一、选择题： 1.如图，一个长方体形状的饮料盒的长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为(    ) A. B. C. D. 2.某型号推拉式窗户如图所示，当窗户关闭时点与点重合窗户拉开时，如图，，此时，窗户的最低点相对于未开启时的最低点升高了，则该窗户的高为(    ) A. B. C. D. 3.如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门米的地方米时，感应门自动打开，则该感应器的感应长度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4.如图，甲货船以海里时的速度从港口出发向东北方向航行，乙货船以海里时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后两船之间的距离是(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 5.九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：“今有开门去阃读，门槛的意思一尺，不合二寸，问门广几何”题目大意是：如图、图图为图的平面示意图，推开双门，双门间隙的距离为寸，，两点到门槛的距离都为尺尺寸，则的长是(    ) A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 6.如图，在中，，是边上的高，若，，，则，，一定满足的等量关系是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.如图所示的一段楼梯，高是米，斜边长是米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为          米 8.有一首古算诗：波平如镜一湖面，半尺高处生红莲亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边离开原处两尺远，花贴湖面像睡莲根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图所示，其中，于点，尺，尺设的长度为尺，可列方程为          ． 9.如图，分别以的斜边和直角边为边向外作正方形，两正方形的面积分别是和，则以另一条直角边为直径向外所作半圆的面积为          ． 10.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是          ． 11.如图，在等腰直角三角形中，，若为边的三等分点，连接，则的长为          ． 12.某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为          米． 三、解答题： 13.九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺如果把该芦苇沿与池塘边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处如图水深和芦苇长各多少尺 14.拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮的圆心水平向右平移到点处，求拉杆把手离地面的距离假设点的位置保持不变． 15.【问题情境】如图，在中，为边上的高． 【数学知识】若，，，求证：； 【学以致用】如图是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图，已知斜梁，斜梁，，横梁若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 16.细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题： ，；，；，；． 请用含有是正整数的等式表示，的变化规律； 的长为          ； 求的值． 17.如图所示，直角三角形的两条直角边长为，，斜边上的高的长为，斜边长为求证：． 18.如图所示的是小磊家新装修的房子，其中有三个房间，分别为甲，乙，丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． 当小磊在甲房间时，梯子靠在墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度          米 当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽． 当他在丙房间时，测得米，且，． 求的度数． 求丙房间的宽． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $3.3勾股定理的简单应用同步练习 一、选择题： 1.如图，一个长方体形状的饮料盒的长为4cm,宽为3cm,高为12cm,在它的一角处开一个插吸管的小孔， 将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为1c,则此吸管的总长度为() A.12cm B.13cm C.14cm D.15cm 2.某型号推拉式窗户如图1所示，当窗户关闭时点A与点B重合.窗户拉开时，如图2，AB=15cm,此时， 窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2cm,则该窗户的高OA为() A.57cm B.56.25cm C.54cm D.58.25cm 图1 图2 3.如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A,离地距离AB=2米，当人进入感应范围内时，感应门 就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门1.2米的地方(BC=1.2米)时，感应门自动打开，则 该感应器的感应长度AD为() A.1.2米 B.13米 C.1.5米 D.2米 感应器，A D B 第1页，共6页 4.如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港 口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是() A.40海里 B.32海里 C.24海里 D.20海里 北 B 东 南 5.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“今有开门去阃（读k,门槛的意思）一尺，不合二寸， 问门广几何？”题目大意是：如图1、图2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2 寸，C,D两点到门槛AB的距离都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是() A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 2 门槛B 图1 图2 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若AC=a,AD=m,BD=n,则a,m,n一定 满足的等量关系是() A.a2=m2+n2 B.a2=m2 +mn C.a2 =m2-mn D.a2 =mn B 二、填空题： 7.如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度 为米 B 第2页，共6页 8.有一首古算诗：波平如镜一湖面，半尺高处生红莲亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边离开原处两尺远， 花贴湖面像睡莲.根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图所示，其中AB=AB', AB1B'C于点C,BC=0.5尺，B'C=2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为 A 9.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边BC为边向外作正方形，两正方形的面积分别是26cm2和10cm2, 则以另一条直角边AC为直径向外所作半圆的面积为 A 26 C B 10 10.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m, 且∠ABC=90°，则这块菜地的面积是m2. D A 11.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3.若P为边BC的三等分点，连接AP,则AP的长为· B 12.某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在BC上有一处古建筑，使得BC的长不能 直接测出，于是工作人员在BC上取一点D,测得AD=120米，BD=50米后，又测得AB=130米，AC=150 米，则BC的长为米 D 第3页，共6页 三、解答题： 13.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸 齐.问水深、葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的 中央，高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与池塘边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到 岸边的C'处（如图）水深和芦苇长各多少尺？ 14.拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松如图，己知某种拉杆箱箱体长AB= 65cm,拉杆最大伸长距离BC=35cm,在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图 中的A处，点A到地面的距离AD=3cm,当拉杆全部缩进箱体时，滚轮的圆心水平向右平移55c到点A' 处，求拉杆把手C离地面的距离（假设点C的位置保持不变） D 第4页，共6页 15.【问题情境】如图①，在△ABC中，BD为AC边上的高. 斜梁 竖梁 横梁 图① 图② 图③ (1)【数学知识】若AD=1,BD=2,CD=4,求证：AB1BC; (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，己知斜梁BD1AC, 斜梁AC=2.1m,BD=1.2m,横梁BC=2m.若横梁BC与竖梁AB不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计 的房梁是否安全？并说明理由， 16.细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题： 0A6=1+12=2,51=30A6=(W22+1=3,52=044=62+1=4,5=, A4 As S4 S Ss S A (1)请用含有n(n是正整数)的等式表示OAn,Sn的变化规律： (2)0A10的长为： (3)求S+S+S?+.+So的值. 第5页，共6页 17.如图所示，直角三角形ABC的两条直角边长为a,b,斜边上的高CD的长为h,斜边长为c求证：立+=是。 D 18.如图所示的是小磊家新装修的房子，其中有三个房间，分别为甲，乙，丙，他将一个梯子斜靠在墙上， 梯子项端距离地面的垂直距离记作MA,如果梯子的底端P不动，项端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离 地面的垂直距离记作WB. M M M N N 750 45° A B(N) A B A P B 甲 乙 丙 (1)当小磊在甲房间时，梯子靠在墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA=1.6米，AP=1.2米，则甲房 间的宽度AB=米， (2)当他在乙房间时，测得MA=2.4米，MP=2.5米，且∠MPN=90°，求乙房间的宽AB. (3)当他在丙房间时，测得MA=2.8米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°. ①求LMPN的度数， ②求丙房间的宽AB. 第6页，共6页