6.4 线段的和差同步讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“线段的和差”核心知识点，通过“截长法”“补短法”梳理解题思路，结合典例及变式覆盖直线上点的位置、数轴动点、折叠等情境，衔接线段中点等前序知识，搭建从基础计算到动态问题的学习支架。 该资料以“题型-考点-验收”分层设计，典例变式注重分类讨论（如点C在直线AB上的不同位置），培养几何直观与推理意识。过关验收题含作图、动态探究等，课中辅助教师引导学生抽象数量关系，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升应用意识。

第六章 6.4 线段的和差 内 容 导 航 题型1 线段的和差 考 点 演 练 题型1 线段的和差 解｜题｜知｜识 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 【典例1】已知线段AB，C是直线AB上的一点，AB＝8cm，BC＝4cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（　　） A．2cm B．4cm C．2cm或6cm D．4cm或6cm 【答案】C 【解答】解：当点C在点B左侧时： AC＝AB﹣BC＝8﹣4＝4（cm）， ∴； 当点C在点B左侧时： AC＝AB+BC＝8+4＝12（cm）， ∴； 综上：AM的长为2cm或6cm； 故选：C． 【变式1】如图，数轴上点A、B所表示的数分别为﹣2、4、P、Q两点分别从A、B两点出发同时以1个单位长度/秒的速度在数轴上运动，M、N分别是AP与BQ的中点，当运动时间为3秒时，M、N两点之间的距离是　3或6或9　 ． 【答案】3或6或9． 【解答】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为7， 此时AQ＝7﹣（﹣2）＝9， ∵M、N分别是AP与BQ的中点， ∴，， ∴M、N两点之间的距离是AQ﹣AM﹣QN＝96； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为﹣5，点Q表示的数为1， 此时BP＝4﹣（﹣5）＝9， ∵M、N分别是AP与BQ的中点， ∴，， ∴M、N两点之间的距离是BP﹣PM﹣BN＝96； ③当P向左，点Q向右运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为﹣5，点Q表示的数为7， 此时PQ＝7﹣（﹣5）＝12， ∵M、N分别是AP与BQ的中点， ∴，， ∴M、N两点之间的距离是PQ﹣PM﹣QN＝129； ④当P向右，点Q向左运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为1， 此时AB＝4﹣（﹣2）＝6， ∵M、N分别是AP与BQ的中点， ∴，， ∴M、N两点之间的距离是AB﹣AM﹣BN＝63； 综上，M、N两点之间的距离是3或6或9， 故答案为：3或6或9． 【变式2】已知直线上A，B，C三点，如果AB＝5，BC＝4，那么AC的长度为　1或9　 ． 【答案】1或9． 【解答】解：由题知， 当点C在线段AB上时， 因为AB＝5，BC＝4， 所以AC＝AB﹣BC＝5﹣4＝1； 当点C在AB延长线上时， 因为AB＝5，BC＝4， 所以AC＝AB+BC＝5+4＝9， 综上所述，AC的长度为1或9． 故答案为：1或9． 【变式3】已知线段AB，延长AB至点C，使得，量得AC＝12cm，则线段AB的长是　9　 cm． 【答案】9． 【解答】解：∵，AC＝AB+BC， ∴， ∵AC＝12cm， ∴AB＝9cm． 故答案为：9． 过 关 验 收 1．如图，C为线段AB的中点，点D在线段CB上，DA＝10，DB＝6，则CD的长为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵D在线段CB上，DA＝10，DB＝6， ∴AB＝AD+DB＝16， ∵C为AB的中点， ∴， ∴CD＝CB﹣BD＝2 故答案为：2． 2．如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝13cm，BC＝3cm． （1）求AC的长； （2）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长． 【答案】（1）7cm； （2）6cm或14cm． 【解答】解：（1）∵BC＝3cm，点B为CD的中点， ∴CD＝2BC＝6cm， ∵AD＝13cm， ∴AC＝AD﹣CD＝7（cm）； （2）如图，当点E在CA延长线上时， ∵AB＝AC+BC＝7+3＝10cm，AE＝4cm， ∴BE＝AE+AB＝14cm； 如图，当点E在线段AC上时， ∵AB＝AC+BC＝10cm，EA＝4cm， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣4＝6（cm）； 综上，BE的长为6cm或14cm． 3．如图，已知OA+OB＝20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动． （1）如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值； （2）如图1，若在运动过程中，始终保持OD＝3AC，求OA的长； （3）如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM＝OA，点P是直线OB上一点，且MP﹣BP＝OP，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当运动时间为2s时，如图1， OC＝1×2＝2（cm）， BD＝3×2＝6（cm）， ∵OA+OB＝20cm， ∴OA＝20﹣OB， ∴AC＝OA﹣OC＝（20﹣OB）﹣OC＝20﹣OB﹣2＝18﹣OB， ∵OD＝OB﹣BD＝OB﹣6， ∴AC+OD＝18﹣OB+OB﹣6＝12（cm）； （2）设运动时间为t，则OC＝t，BD＝3t， ∴OD＝OB﹣3t，AC＝OA﹣t， ∵OD＝3AC， ∴OB﹣3t＝3（OA﹣t）， ∴OB＝3OA ∵OA+OB＝20cm， ∴OA+3OA＝20cm， ∴OA＝5cm． （3）∵OA＝5cm， ∴MO＝5cm，BO＝15cm，BM＝20cm， ∵MP﹣BP＝OP， ∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，如图2， ∴OP＝MP﹣BP＝MO+OP﹣BP＝5+OP﹣BP， ∵OP＝OB﹣BP＝15﹣BP， ∴5+OP﹣BP＝15﹣BP， ∴OP＝10cm， ∴． 当点P在点B右边时， ∵MP﹣BP＝OP，MP﹣BP＝MB， ∴OP＝MB， ∴； 综上，或． 4．如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在AC的延长线上，且CD＝AB． （1）请用圆规在图中确定D点的位置； （2）比较线段的大小：AC　＝　 BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； （3）若AB＝4，AC＝15，求AD的长． 【答案】（1）； （2）＝； （3）19． 【解答】解：（1）如图，点D即为所求； （2）∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD， 故答案为：＝； （3）∵AC＝15， ∴AC＝BD＝15， ∵AB＝4， ∴AD＝AB+BD＝4+15＝19． 5．已知线段AB上有M，N两点．将AM和BN分别沿点M，N对折，A，B两点分别落在点C，D处． （1）对折后各点的位置如图所示． ①若AB＝12，CD＝5，求MN的长． ②若AB＝a，CD＝b，请用含a、b的式子表示出MN的长． （2）若AB＝20，CD＝2，求MN的长． 【答案】（1）①；②； （2）11． 【解答】解：（1）∵M，N分别是AC，BD的中点， ∴，， ∴MN＝MC+CD+DN ； ②∵M，N分别是AC，BD的中点， ∴，， ∴MN＝MC+CD+DN ， ∵AB＝a，CD＝b， ∴； （2）∵AB＝20，CD＝2， ∴． 6．如图，已知点C为AB上一点，AC＝30cm，，D，E分别为AC，AB的中点， （1）求AB的长； （2）求DE的长． 【答案】（1）AB＝42cm； （2）DE＝6cm． 【解答】解：（1）∵AC＝30cm， ∴， ∴AB＝AC+BC＝30+12＝42（cm）， （2）∵D为AC的中点， ∴， ∵E为AB的中点， ∴， ∴DE＝AE﹣AD＝21﹣15＝6cm． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 6.4 线段的和差 内 容 导 航 题型1 线段的和差 考 点 演 练 题型1 线段的和差 解｜题｜知｜识 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 【典例1】已知线段AB，C是直线AB上的一点，AB＝8cm，BC＝4cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（　　） A．2cm B．4cm C．2cm或6cm D．4cm或6cm 【变式1】如图，数轴上点A、B所表示的数分别为﹣2、4、P、Q两点分别从A、B两点出发同时以1个单位长度/秒的速度在数轴上运动，M、N分别是AP与BQ的中点，当运动时间为3秒时，M、N两点之间的距离是　 　 ． 【变式2】已知直线上A，B，C三点，如果AB＝5，BC＝4，那么AC的长度为　 　 ． 【变式3】已知线段AB，延长AB至点C，使得，量得AC＝12cm，则线段AB的长是　 　 cm． 过 关 验 收 1．如图，C为线段AB的中点，点D在线段CB上，DA＝10，DB＝6，则CD的长为　 　 ． 2．如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝13cm，BC＝3cm． （1）求AC的长； （2）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长． 3．如图，已知OA+OB＝20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动． （1）如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值； （2）如图1，若在运动过程中，始终保持OD＝3AC，求OA的长； （3）如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM＝OA，点P是直线OB上一点，且MP﹣BP＝OP，求的值． 4．如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在AC的延长线上，且CD＝AB． （1）请用圆规在图中确定D点的位置； （2）比较线段的大小：AC　 　 BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； （3）若AB＝4，AC＝15，求AD的长． 5．已知线段AB上有M，N两点．将AM和BN分别沿点M，N对折，A，B两点分别落在点C，D处． （1）对折后各点的位置如图所示． ①若AB＝12，CD＝5，求MN的长． ②若AB＝a，CD＝b，请用含a、b的式子表示出MN的长． （2）若AB＝20，CD＝2，求MN的长． 6．如图，已知点C为AB上一点，AC＝30cm，，D，E分别为AC，AB的中点， （1）求AB的长； （2）求DE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $