5.3 一元一次方程和它的解同步讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

本讲义聚焦“一元一次方程和它的解”核心知识点，系统梳理一元一次方程的定义（含标准形式ax+b=0，a≠0，强调一个未知数、次数1、整式方程）及方程的解（使左右两边相等的未知数的值），搭建从概念理解到应用的学习支架，为后续解方程奠定基础。 该资料以“解题知识+典例+变式+过关验收”设计，如典例1通过含字母系数的方程确定m值，培养抽象能力与推理意识，综合题“成双方程”“漂移方程”提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过梯度练习查漏补缺，强化知识掌握。

第五章 5.3 一元一次方程和它的解 内 容 导 航 题型1 一元一次方程的定义 题型2 一元一次方程的解 考 点 演 练 题型1 一元一次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 【典例1】若关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．2 B．0 C．2或0 D．1 【变式1】下列是一元一次方程的是（　　） A． B．x2﹣1＝3 C．x﹣1＝y D．x﹣1＝3 【变式2】下列各式中，一元一次方程的个数有（　　） ①2x﹣1；②3x＝5；③x+y＝1；④；⑤x2﹣2x+3＝0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】若（m﹣1）x|2m﹣1|﹣3＝12是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．0或1 B．0 C．1 D．任意整数 题型2 一元一次方程的解 解｜题｜知｜识 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【典例1】下列方程中，解为x＝1的是（　　） A．x+1＝0 B．2x﹣1＝x C．﹣x﹣2＝x D． 【变式1】若x＝1是关于x的方程2x+a＝0的解，则a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【变式2】已知x＝2是关于x的方程x﹣2a＝0的解，则代数式2a﹣1的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式（a﹣1）y2+ay﹣1是二次三项式，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 过 关 验 收 1．下列说法，其中正确的个数是（　　） ①方程中只含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程； ②绝对值是它本身的数只有0； ③两数之和一定大于每个加数； ④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0； ⑤0是最小的有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 3．若（m﹣3）x|m|﹣2﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 　 　 ． 4．已知方程（k﹣2）x|k|﹣1+5＝3k是关于x的一元一次方程． （1）求k的值； （2）求该方程的解． 5．整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程mx﹣n＝8的解为（　　） x ﹣1 0 1 2 mx+n ﹣8 ﹣4 0 4 A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 6．若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b常数）的解总是x＝1，则a+b的值是（　　） A．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1 7．x＝3是下列哪个方程的解（　　） A．6x﹣8＝8x﹣6 B．5x+7＝7﹣2x C．4x﹣2＝2﹣4x D．3x﹣2＝4+x 8．如果关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）的解是x＝﹣1，那么m的值是（　　） A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1 9．下列一元一次方程的解是x＝2的是（　　） A．3x＝2x﹣2 B．2x+3＝3x+5 C．xx﹣1 D．x﹣1＝﹣x+3 10．已知关于x的方程2x+a﹣9＝0的解是x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．若关于x的方程2x﹣kx+1＝﹣2的解为x＝﹣1，则k＝ 　 　 ． 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程2x﹣1＝2和2x﹣1＝0为“成双方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“成双方程”； （2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4互为“成双方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k互为“成双方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解． 13．对于有理数a，b，定义了一种“⊗”的新运算，具体为：． （1）计算： ①2⊗1； ②（﹣4）⊗（﹣3）． （2）若x＝2是关于x的一元一次方程3⊗m＝﹣1+3x的解，求m的值． 14．如果有两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“漂移方程”．例如：方程2x﹣4＝0是方程x﹣1＝0的“漂移方程”． （1）判断方程4x+3＝6x是否为方程2x﹣1＝0的“漂移方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程是关于x的方程2（x﹣4）﹣1＝3﹣（x+3）的“漂移方程”，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 5.3 一元一次方程和它的解 内 容 导 航 题型1 一元一次方程的定义 题型2 一元一次方程的解 考 点 演 练 题型1 一元一次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 【典例1】若关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．2 B．0 C．2或0 D．1 【答案】B 【解答】解：由条件可知|m﹣1|＝1且m﹣2≠0， 解得m＝0， 故选：B． 【变式1】下列是一元一次方程的是（　　） A． B．x2﹣1＝3 C．x﹣1＝y D．x﹣1＝3 【答案】D 【解答】解：选项A：，不是整式方程，不符合题意； 选项B：x2﹣1＝3，未知数次数为2，不符合题意； 选项C：x﹣1＝y，含两个未知数，不符合题意； 选项D：x﹣1＝3，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，符合题意； 故选：D． 【变式2】下列各式中，一元一次方程的个数有（　　） ①2x﹣1；②3x＝5；③x+y＝1；④；⑤x2﹣2x+3＝0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①2x﹣1不是整式，故不是一元一次方程，不符合题意； ②3x＝5符合一元一次方程定义，符合题意； ③x+y＝1中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； ④符合一元一次方程定义，符合题意； ⑤x2﹣2x+3＝0中未知数最高次数是2不是一元一次方程，不符合题意， 因此是一元一次方程的是②，④共2个； 故选：B． 【变式3】若（m﹣1）x|2m﹣1|﹣3＝12是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．0或1 B．0 C．1 D．任意整数 【答案】B 【解答】解：∵（m﹣1）x|2m﹣1|﹣3＝12是关于x的一元一次方程， ∴|2m﹣1|＝1，m﹣1≠0，即：m≠1， ∴2m﹣1＝1或2m﹣1＝﹣1，解得：m＝1或m＝0， ∴m＝0， 故选：B． 题型2 一元一次方程的解 解｜题｜知｜识 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【典例1】下列方程中，解为x＝1的是（　　） A．x+1＝0 B．2x﹣1＝x C．﹣x﹣2＝x D． 【答案】B 【解答】解：A、将x＝1代入方程可得，x+1＝2≠0，故此选项不符合题意； B、将x＝1代入方程可得，2x﹣1＝1，故此选项符合题意； C、将x＝1代入方程可得，﹣x﹣2＝﹣3≠1，故此选项不符合题意； D、将x＝1代入方程可得，，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】若x＝1是关于x的方程2x+a＝0的解，则a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】B 【解答】解：由题意得：当x＝1时，2+a＝0． ∴a＝﹣2． 故选：B． 【变式2】已知x＝2是关于x的方程x﹣2a＝0的解，则代数式2a﹣1的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∵x＝2是关于x的方程x﹣2a＝0的解， ∴5﹣2a＝0， ∴a， ∴2a﹣1＝21＝5﹣1＝4． 故选：B． 【变式3】若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式（a﹣1）y2+ay﹣1是二次三项式，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：解方程可得， ， 根据题意可知：a的可能取值为±4、±2、±1， ∵关于y的多项式（a﹣1）y2+ay﹣1是二次三项式， ∴a﹣1≠0，a≠0， ∴a≠1， ∴所有满足条件的整数a的值±4、±2、﹣1， ∴所有满足条件的整数a的值之和是（﹣4）+（﹣2）+（﹣1）+2+4＝﹣1， 故选：A． 过 关 验 收 1．下列说法，其中正确的个数是（　　） ①方程中只含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程； ②绝对值是它本身的数只有0； ③两数之和一定大于每个加数； ④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0； ⑤0是最小的有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程，故错误； ②绝对值是它本身的数为正数和0，故错误； ③∵3+（﹣2）＝1＜3， ∴两数之和不一定大于每个加数，故错误； ④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0是正确的； ⑤没有最小的有理数，比0小的还有负有理数，故错误； 综上所述，正确的结论有1个； 故选：A． 2．若方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 【答案】C 【解答】解：由题意得：m2﹣1＝0，m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 故选：C． 3．若（m﹣3）x|m|﹣2﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：∵（m﹣3）x|m|﹣2﹣5＝0是关于x的一元一次方程， ∴， 解得m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 4．已知方程（k﹣2）x|k|﹣1+5＝3k是关于x的一元一次方程． （1）求k的值； （2）求该方程的解． 【答案】（1）k＝﹣2； （2）． 【解答】解：（1）∵方程（k﹣2）x|k|﹣1+5＝3k是关于x的一元一次方程， ∴根据一元一次方程的定义得，|k|﹣1＝1且k﹣2≠0， ∴k＝﹣2， 则k的值为﹣2； （2）将k＝﹣2代入方程（k﹣2）x|k|﹣1+5＝3k中得，﹣4x+5＝﹣6， 整理得，﹣4k＝﹣11， 解得． 5．整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程mx﹣n＝8的解为（　　） x ﹣1 0 1 2 mx+n ﹣8 ﹣4 0 4 A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 【答案】C 【解答】解：由表格可知，当x＝﹣1时，mx+n＝﹣m+n＝﹣8， ∴m﹣n＝8， ∴当x＝1时，mx﹣n＝m﹣n＝8； ∴mx﹣n＝8的解为x＝1； 故选：C． 6．若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b常数）的解总是x＝1，则a+b的值是（　　） A．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1 【答案】A 【解答】解：把x＝1代入得：1， 去分母得：4k+2a﹣1+kb＝6， ∴（b+4）k＝7﹣2a， ∵不论k取什么实数，关于x的方程（a、b常数）的解总是x＝1， ∴b+4＝0，7﹣2a＝0， ∴a，b＝﹣4， ∴a+b40.5， 故选：A． 7．x＝3是下列哪个方程的解（　　） A．6x﹣8＝8x﹣6 B．5x+7＝7﹣2x C．4x﹣2＝2﹣4x D．3x﹣2＝4+x 【答案】D 【解答】解：A．把x＝3代入方程6x﹣8＝8x﹣6得：左边＝10，右边＝18，左边≠右边， 所以x＝3不是方程6x﹣8＝8x﹣6的解，故本选项不符合题意； B．把x＝3代入方程5x+7＝7﹣2x得：左边＝22，右边＝1，左边≠右边， 所以x＝3不是方程5x+7＝7﹣2x的解，故本选项不符合题意； C．把x＝3代入方程4x﹣2＝2﹣4x得：左边＝10，右边＝﹣10，左边≠右边， 所以x＝3不是方程4x﹣2＝2﹣4x的解，故本选项不符合题意； D．把x＝3代入方程3x﹣2＝4+x得：左边＝7，右边＝7，左边＝右边， 所以x＝3是方程3x﹣2＝4+x的解，故本选项符合题意； 故选：D． 8．如果关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）的解是x＝﹣1，那么m的值是（　　） A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1 【答案】C 【解答】解：把x＝﹣1，代入方程关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）得： ﹣1﹣m+2＝0， 解得：m＝1， 故选：C． 9．下列一元一次方程的解是x＝2的是（　　） A．3x＝2x﹣2 B．2x+3＝3x+5 C．xx﹣1 D．x﹣1＝﹣x+3 【答案】D 【解答】解：A．解方程3x＝2x﹣2得：x＝﹣2，即A项错误， B．解方程2x+3＝3x+5得：x＝﹣2，即B项错误， C．解方程得：x＝﹣6，即C项错误， D．解方程x﹣1＝﹣x+3得：x＝2，即D项正确， 故选：D． 10．已知关于x的方程2x+a﹣9＝0的解是x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解；∵方程2x+a﹣9＝0的解是x＝2， ∴2×2+a﹣9＝0， 解得a＝5． 故选：D． 11．若关于x的方程2x﹣kx+1＝﹣2的解为x＝﹣1，则k＝ 　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：将x＝﹣1代入方程2x﹣kx+1＝﹣2得： ﹣2+k+1＝﹣2， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程2x﹣1＝2和2x﹣1＝0为“成双方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“成双方程”； （2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4互为“成双方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k互为“成双方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3不是互为“成双方程”，理由如下： 4x﹣（x+5）＝1， 4x﹣x﹣5＝1， 3x＝6， x＝2， ﹣2y﹣y＝3， ﹣3y＝3， y＝﹣1， ∵x+y＝2+（﹣1）＝1， ∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3不是互为“成双方程”； （2）m＝0， x+2m＝0， x＝﹣2m， 3x﹣2＝x+4， 3x﹣x＝4+2， 2x＝6， x＝3， ∵关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4互为“成双方程”， ∴﹣2m+3＝2， 解得：； （3）x﹣1＝0， ， x＝2024， ∵x﹣1＝0与x+1＝3x+k互为“成双方程”， ∴x+1＝3x+k的解为：x＝﹣2022， ∴关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6就是：， ∴y+2＝﹣2022， y＝﹣2024， ∴关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解为：y＝﹣2024． 13．对于有理数a，b，定义了一种“⊗”的新运算，具体为：． （1）计算： ①2⊗1； ②（﹣4）⊗（﹣3）． （2）若x＝2是关于x的一元一次方程3⊗m＝﹣1+3x的解，求m的值． 【答案】（1）①3；②﹣2；（2）m的值为1． 【解答】解：（1）①∵2＞1， ∴2⊗1＝2×2﹣1＝3； ②∵﹣4＜﹣3， ∴（﹣4）⊗（﹣3） ＝﹣4 ＝﹣4+2 ＝﹣2． （2）由题意得3⊗m＝﹣1+6， 即3⊗m＝5， 当3≥m时，3×2﹣m＝5，解得m＝1； 当m＞3时，35，解得m＝﹣3（舍去）． 综上所述，m的值为1． 14．如果有两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“漂移方程”．例如：方程2x﹣4＝0是方程x﹣1＝0的“漂移方程”． （1）判断方程4x+3＝6x是否为方程2x﹣1＝0的“漂移方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程是关于x的方程2（x﹣4）﹣1＝3﹣（x+3）的“漂移方程”，求m的值． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）m＝4． 【解答】解：（1）方程①4x+3＝6x是方程②2x﹣1＝0的漂移方程，理由如下： 解方程①得，解方程②得， ∴， ∴方程4x+3＝6x是方程2x﹣1＝0的漂移方程； （2）2（x﹣4）﹣1＝3﹣（x+3），解得x＝3， ∵方程是关于x的方程2（x﹣4）﹣1＝3﹣（x+3）的“漂移方程”， ∴方程的解为x＝4， 把x＝4代入，得， 解得m＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $