5.5 一元一次方程的应用 培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

该初中数学讲义以“审设列解检验答”六步流程为核心，通过知识框架图系统梳理一元一次方程应用的一般步骤，并用分类表格呈现和差倍分、行程、工程等9类常见题型的等量关系与解题关键，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，如换元法题型通过整体思想训练抽象能力，新定义问题（如“差解方程”）培养推理意识，日历问题结合生活情境发展模型观念。基础题巩固步骤，综合题提升应用能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

一元一次方程的应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 特别说明： （1） “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2） “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3） “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4） “解”就是解方程，求出未知数的值； （5） “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6） “答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 知识点4：常见列方程解应用题的几种类型 【类型1】和、差、倍、分问题 此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。 【类型2】等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。 “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积。 【类型3】调配问题, 从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化, 常见题型有: ①既有调入又有调出: ②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变; ③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。 【类型4】行程问题 要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。 相遇问题: 相向而行：等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题 同向而行：等量关系：甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 【类型5】工程问题 基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间; 合做的效率=各单独做的效率的和。 当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。 【类型6】利润问题 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【类型7】存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 【类型8】数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a 【类型9】方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 题型1：换元法 1．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的方程的解 ． 4.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 6.【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 题型2：新定义问题 1．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． （1）请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； （2）已知方程是巧合方程，请求出b的值； （3）若和都是巧合方程，请求出的值． 题型3：日历问题 1.（25-26七年级上·安徽安庆·期中）小明在某月的日历上圈出三个数，并求出它们的和是，则这三个数在日历中的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 3．（2026七年级上·江苏·专题练习）若干个偶数按每行8个数排成图： （1）图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ （2）小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 4．（25-26七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： （1）小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ （2）“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 题型4：行程问题 1.小才从家骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到8分钟，每小时骑12千米就会迟到4分钟，求他家到学校的路程，设他家到学校的路程是千米，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 2.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则由题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程（    ） A． B． C． D． 4.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3h，已知水流的速度是2km/h，设船在静水中的平均速度为，根据题意列方程为 ． 题型5：配套问题 1.（25-26七年级上·浙江台州·期末）七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 2.一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 3．（25-26七年级下·吉林松原·开学考试）在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． （1）七（2）班有男生、女生各多少人？ （2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 温故知新 1.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个，则多2个杏．有多少个牧童？设有个牧童，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 3.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义运算“”如下：当时，；当时，．若，则的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 4.（25-26七年级上·浙江·期末）将四个数、、、排列成，并且规定，若的值为，则的值为 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ． 6.（25-26七年级上·浙江台州·期末）在实数范围内定义运算“”： ，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求x的值． (3)若，求的值． 7.学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次方程的应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 特别说明： （1） “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2） “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3） “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4） “解”就是解方程，求出未知数的值； （5） “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6） “答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 知识点4：常见列方程解应用题的几种类型 【类型1】和、差、倍、分问题 此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。 【类型2】等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。 “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积。 【类型3】调配问题, 从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化, 常见题型有: ①既有调入又有调出: ②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变; ③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。 【类型4】行程问题 要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。 相遇问题: 相向而行：等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题 同向而行：等量关系：甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 【类型5】工程问题 基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间; 合做的效率=各单独做的效率的和。 当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。 【类型6】利润问题 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【类型7】存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 【类型8】数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a 【类型9】方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 题型1：换元法 1．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的解，根据第一个方程的解是得出关于的一元一次方程中，再求出即可． 【解题过程】 解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中， 解得：， 即关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了换元法解一元一次方程；先对关于的一元一次方程进行变形，再根据方程解的定义求解即可． 【解题过程】 解：把方程两边同时乘以整理得：， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故选：C． 3.（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的方程的解 ． 【思路点拨】 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合两个方程的特点，得到，进一步求解即可． 【解题过程】 解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴； 故答案为：． 4.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得到，进而得到求解，即可解题． 【详解】解：，解为， ， ， ， 即， 有， 解得， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先把关于y的一元一次方程写成的解形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：， 故答案为：． 6.【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 题型2：新定义问题 1．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法，理解新定义，是解题的关键． （1）根据差根方程的定义进行求解即可； （2）先求出方程的解为：，然后根据关于x的一元一次方程是“差解方程”，列出关于m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：方程的解为：， ， ∴方程不是“差解方程”； （2）解：方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解得：． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及“美好方程”的定义，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解出方程的解，根据“美好方程”的定义即可判断； （2）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可． 【详解】（1）解：的解为：， 的解为：， ， ∴方程与方程不是“美好方程”． （2）解：的解为， 的解为， 根据题意可得：， 解得． 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． （1）请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； （2）已知方程是巧合方程，请求出b的值； （3）若和都是巧合方程，请求出的值． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可． 【解题过程】 （1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 题型3：日历问题 1.（25-26七年级上·安徽安庆·期中）小明在某月的日历上圈出三个数，并求出它们的和是，则这三个数在日历中的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查一元一次方程的应用，根据题意对每个选项列出方程求解是解题的关键 【解题过程】 解：设最小的数， 对于选项，，可得， 解得：，故本选项不符合题意； 对于B选项，， ， 解得：，故本选项不符合题意； 对于C选项，， ， 解得：，故本选项不符合题意； 对于D选项， 可得， 解得：，故本选项符合题意； 故选D． 2．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个数中最小的数为，则这个数的和为，分别代入各选项中的数，解之可得出的值，结合为整数，即可得出结论． 【解题过程】 解：设这个数中最小的数为，则另外个数分别为，，，，，， 这个数的和为． A．根据题意得：， 解得：， 在第四列，符合题意， 这个数的和可以是，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：， 在第五列，符合题意， 这个数的和可以是，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， 不是整数，不符合题意， 这个数的和不可能是，选项C符合题意； D．根据题意得：， 解得：， 在第一列，符合题意， 这个数的和可以是，选项D不符合题意． 故选：C． 3．（2026七年级上·江苏·专题练习）若干个偶数按每行8个数排成图： （1）图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ （2）小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 【思路点拨】 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出表格中数据的变与不变是解题关键． （1）根据已知9个数直接求出和即可，进而得出与中间的数的关系； （2）可设中间的数为x,根据（1）中规律得出这9个数的和的方程，解方程即可求解． 【解题过程】 （1）， ， 方框中的9个数的和是中间的数的9倍； （2）设中间的数为，则其它8个数分别是：，依题意有 ， 解得， ． 右下角的数是58． 4．（25-26七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： （1）小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ （2）“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 【解题过程】 （1）解：设小明出发的日期是10月的第x天， 根据题意得：， 解得， ∴小明出发的日期是10月的第3天， 由月历表可知，10月3号为星期二， 答：小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于74，理由如下： ∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m， ∴另外三个数为， 若，则， ∵10月15日在第一列， ∴此时不能出现“S型” ∴的值不能等于74． 题型4：行程问题 1.小才从家骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到8分钟，每小时骑12千米就会迟到4分钟，求他家到学校的路程，设他家到学校的路程是千米，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 答案：D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意列出相应的方程即可得解，明确题意，正确列出相应的方程是解决此题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 故选：． 2.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则由题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 答案：C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，特别是通过实际问题背景下的行程问题来建立数学模型的能力．解题的关键在于识别出慢马先走的12天应加在其总行驶时间内，从而建立起正确的等式关系，即快马的路程等于慢马的路程．根据题意，快马追上慢马时，两者的路程相等．慢马先走12天，之后快马用x天追上，此时慢马共走了天．利用路程速度时间，建立方程即可求解． 【详解】解：设快马天追上慢马，则快马的路程为里．慢马先走12天，之后继续走天，总路程为里．根据两者路程相等，列方程：， 故选：C． 3.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设共有x辆车，可列方程为， 故选：C． 4.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3h，已知水流的速度是2km/h，设船在静水中的平均速度为，根据题意列方程为 ． 答案： 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据船及水流的速度，可得出船顺流而行的速度为，逆流而行的速度为，利用路程速度时间，结合甲、乙两码头间的路程不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：船在静水中的平均速度为，水流的速度是， 船顺流而行的速度为，逆流而行的速度为， 根据题意得：． 故答案为：． 题型5：配套问题 1.（25-26七年级上·浙江台州·期末）七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 【答案】(1)七（1）班有28名男生，16名女生 (2)有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七（1）班有x名男生，则有名女生，根据男生人数比女生人数的2倍少4人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出的值(即男生人数)，再将其代入中，即可求出女生人数． （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套，利用制作的花瓣的总数量是制作花心总数量的6倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名男生，则有名女生， 根据题意得∶， 解得∶， (名)， 答∶七（1）班有28名男生，16名女生； （2）解：设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套， 根据题意得∶， 解得∶， 答∶有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套． 2.一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出答案． 【解题过程】 解：设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣， 由题意得： 解得： 答：应分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣． 3．（25-26七年级下·吉林松原·开学考试）在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． （1）七（2）班有男生、女生各多少人？ （2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解． （1）设七年级（2）班有男生x人，根据“共有学生44人，男生人数比女生人数少2人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【解题过程】 （1）解：设七年级（2）班有男生x人，依题意得 ， 解得， 所以，七年级（2）班有男生21人，女生23人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， 所以，应该分配24名学生剪筒身． 温故知新 1.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个，则多2个杏．有多少个牧童？设有个牧童，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．根据若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏，可以列出方程． 【详解】解：由题意可得，， 故选：D． 2.（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．将化为，根据关于x的一元一次方程的解可知关于的一元一次方程的解，从而求出关于y的一元一次方程：的解即可． 【详解】解：可化为， ∵关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 3.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义运算“”如下：当时，；当时，．若，则的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据新定义列出方程是解题的关键． 按照定义的新运算进行计算，即可解答 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ， ， 故选：B． 4.（25-26七年级上·浙江·期末）将四个数、、、排列成，并且规定，若的值为，则的值为 【答案】 【分析】本题考查的知识点是新定义下的运算、解一元一次方程，解题关键是根据题意列出正确的方程． 按照题意的规定列出方程，然后进行计算即可． 【详解】解：，， ， 即， 解得． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及相反数的定义，先分别求解出，的解，然后根据相反数的定义得出，解方程即可得出n的值． 【详解】解：解方程， 解得：， ∵关于的方程与方程为“和谐方程”， ∴， 解得： 故答案为： 6.（25-26七年级上·浙江台州·期末）在实数范围内定义运算“”： ，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求x的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算、整式加减的化简求值和解一元一次方程，解题关键是理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，把，的值代入进行计算即可； （2）根据已知条件中的新定义得到关于的方程，解方程求出即可； （3）根据已知条件中的新定义把所求式子进行化简，并化成含有的形式，最后把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：（1），，， ； （2）解：，， ， ， ， ， ； （3）解：，， ． 7.学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？ 【思路点拨】 本题考查一元一次方程的应用．设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 【解题过程】 解：设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿， 由题意得， 解得， ， 答：需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿． 学科网（北京）股份有限公司 $