6.7角的和差 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“角的和差”核心知识点，系统梳理角的和差倍分关系、度分秒的加减乘除运算原理，衔接角的基本概念与度量知识，为复杂几何角度计算提供学习支架。 资料通过典例（如正方形顶点重合求角度）、变式题（三等分线定义应用）及分层练习设计，培养学生几何直观与推理意识，动态旋转、折叠等情境题提升应用意识，课中助力分层教学，课后辅助查漏补缺。

第六章 6.7 角的和差 内 容 导 航 题型1 角的计算 考 点 演 练 题型1 角的计算 解｜题｜知｜识 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 【典例1】如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（　　） A．90°﹣α﹣β B．90°﹣α+β C．90°+α﹣β D．α﹣β 【答案】A 【解答】解：如图： 解：∵∠BOD＝90°﹣∠1＝90°﹣α， ∠EOC＝90°﹣∠2＝90°﹣β， 又∵∠3＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE， ∴∠3＝90°﹣α+90°﹣β﹣90°＝90°﹣α﹣β． 故选：A． 【变式1】定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为（　　） A．或3x或 B．或3x或9x C．或或9x D．3x或或9x 【答案】C 【解答】解：如图：射线OP是∠MON（∠MOP＝2∠NOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠QOP＝2∠MOQ）的三等分线， 则∠QOP＝2x，∠NOP， ∴； 如图：射线OP是∠MON（∠MOP＝2∠NOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠MOQ＝2∠QOP）的三等分线， 则，， ∴； 如图：射线OP是∠MON（∠NOP＝2∠MOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠MOQ＝2∠QOP）的三等分线， 则，， ∴； 如图：射线OP是∠MON（∠NOP＝2∠MOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠QOP＝2∠MOQ）的三等分线， 则∠QOP＝2x，∠NOP＝2∠MOP＝2×（x+2x）＝6x， ∴∠MON＝∠MOQ+∠QOP+∠NOP＝x+2x+6x＝9x； 综上，∠MON为或或9x， 故选：C． 【变式2】借助一副三角尺的拼摆，不能画出来的角是（　　） A．75° B．105° C．145° D．165° 【答案】C 【解答】解：30°与45°角拼摆可得75°，60°与45°角拼摆得105°，30°与45°与90°角可拼摆出165°角． 故选：C． 【变式3】如图，∠1＝15°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（　　） A．125° B．120° C．115° D．105° 【答案】D 【解答】解：∵∠1＝15°，∠AOC＝90°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠1＝90°﹣15°＝75°， ∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣75°＝105°， 故选：D． 过 关 验 收 1．将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若∠1＝30°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．60° C．65° D．70° 【答案】B 【解答】解：如图： 由题意得：∠CAB＝90°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠CAB＝90°， ∵∠1＝30°， ∴∠2＝90°﹣30°＝60°． 故选：B． 2．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE∠BOC，∠BOD∠AOB，则∠DOE＝　　 °．（用含n的代数式表示） 【答案】（）． 【解答】解：∵∠AOC＝70°， ∴∠AOB﹣∠BOC＝∠AOC＝70°， ∵∠BOE∠BOC，∠BOD∠AOB， ∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE∠AOB∠BOC∠AOC＝（）°． 故答案为：（）． 3．如图，O是直线l上一点，∠AOB＝100°，则∠1+∠2＝　80　 度． 【答案】80 【解答】解：∵∠AOB＝100°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠AOB＝180°﹣100°＝80°． 故答案为80°． 4．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB＝80°，∠AOB＝2∠BOC，则∠AOC的度数是 　40或120　 °． 【答案】40或120． 【解答】解：①如图所示：当OC在∠AOB内部时， ∵∠AOB＝80°，∠AOB＝2∠BOC， ∴， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝80°﹣40°＝40°； ②如图所示：当OC在∠AOB外部时， ∵∠AOB＝80°，∠AOB＝2∠BOC， ∴， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝80°+40°＝120°． 综上，∠AOC的度数是40°或120°． 故答案为：40°或120． 5．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“平衡线”．若∠AOB＝78°，且射线OC是∠AOB的“平衡线”，则∠AOC的度数为 　26°或39°或52°　 ． 【答案】26°或39°或52°． 【解答】解：由题意分四种情况： ①当∠AOB＝2∠AOC时，射线OC是∠AOB的”平衡线”，∵∠AOB＝78°，∴∠AOC∠AOB＝39°． ②当∠AOB＝2∠BOC时，射线OC是∠AOB的”平衡线”，∵∠AOB＝78°，∴∠BOC∠AOB＝39°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝39°． ③当∠AOC＝2∠BOC时，射线OC是∠AOB的”平衡线”，∵∠AOB＝78°，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∴∠AOC∠AOC＝78°．解得：∠AOC＝52°． ④当∠BOC＝2∠AOC时，射线OC是∠AOB的”平衡线”，∵∠AOB＝78°，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∴∠AOC+2∠AOC＝78°．解得：∠AOC＝26°． 综上所述，∠AOC＝26°，39°，52°． 故答案为：26°或39°或52°． 6．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC， ∴∠AOC∠EOC70°＝35°， ∴∠BOD＝∠AOC＝35°； （2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°， ∴∠EOC＝2x＝72°， ∴∠AOC∠EOC72°＝36°， ∴∠BOD＝∠AOC＝36°． 7．如图1，把一副三角板拼在一起，边OA、OC与直线EF重合，其中∠AOB＝45°，∠COD＝60°． （1）求图1中∠BOD的度数； （2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板AOB一直在∠EOD的内部，设∠EOA＝α． ①若OB平分∠EOD，求α； ②若∠AOC＝4∠BOD，求α． 【答案】（1）75°； （2）①15°；②40°． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°， 答：∠BOD＝75°； （2）①∵∠COD＝60°， ∴∠EOD＝180°﹣60°＝120°， 当OB平分∠EOD时，∠EOBEOD＝60°， ∵∠AOB＝45°， ∴∠EOA＝60°﹣45°＝15°， ∴α＝15°； ②当射线OB在∠EOD内部时， ∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠EOA＝α， ∴∠BOD＝180°﹣45°﹣60°﹣α＝75°﹣α， ∵∠AOC＝180°﹣α， ∴180°﹣α＝4（75°﹣α）， 解得α＝40°． 综上所述，满足条件的α的值为40°． 8．如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在AB，CD上连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．已知∠A′EN＝35°，求∠B′EM的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEN＝∠A′EN＝35°，∠BEM＝∠B′EM． ∠NEM＝∠A′EN+∠B′EM∠AEA′∠BEB′180°＝90°． ∴∠B′EM＝90°﹣∠A′EN＝55°． 9．已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转． （1）如图①，若∠AOB＝140°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM′、ON′处，求∠BON′+∠COM′的值； （2）如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM＝3∠BON，求的值． （3）知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动，点M、N的速度比是2：1，在运动过程中始终有CM＝2BN，求　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s， ∴∠AOM′＝2×30°＝60°，∠CON′＝2×10°＝20°， ∴∠BON′＝∠BOC﹣20°，∠COM′＝∠AOC﹣60°， ∴∠BON′+∠COM′＝∠BOC﹣20°+∠AOC﹣60°＝∠AOB﹣80°， ∵∠AOB＝140°， ∴∠BON′+∠COM′＝140°﹣80°＝60°； （2）设旋转时间为t，则∠BON＝∠BOC﹣10t°， ∠COM＝∠AOC﹣30t°， ∵∠COM＝3∠BON， ∴∠AOC﹣30t°＝3（∠BOC﹣10t°）， ∴∠AOC＝3∠BOC， ∴； （3）设运动时间为t，则CM＝AC﹣2vt， BN＝BC﹣vt， ∵CM＝2BN， ∴AC﹣2vt＝2（BC﹣vt）， ∴AC＝2BC， ∴． 10．（1）如图（1）若∠BOD＝35°，则∠AOC＝　145°　 ；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝　45°　 ； （2）如图（2）若∠AOC＝140°，则∠BOD＝　40°　 ． 【答案】（1）145°，45°； （2）40°． 【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠BOA＝90°， 当∠BOD＝35°时， ∵∠AOC+∠BOD＝∠COD+∠AOB， ∴∠AOC＝∠COD+∠BOA﹣∠BOD＝90°+90°﹣35°＝145°， ∵∠AOC＝135°， ∴∠BOD＝∠COD+∠BOA﹣∠AOC＝90°+90°﹣135°＝45°； 故答案为：145°，45°； （2）∵∠AOC＝140°， ∴∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD ＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°． 故答案为：40°． 11．学习了角的度量单位后，好学的小明在网上搜索发现了如图①所示的量角演示器，他将一副三角尺和量角演示器按如图②所示位置摆放，请你和小明一起探索以下问题： （1）当活动针OE对应的读数为140时，∠EOD＝　95　 °；当活动针OE平分∠BOD时，OE对应的读数为 　82.5　 °． （2）将三角尺AOB绕着点O以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，同时，三角尺COD绕着点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，当三角尺AOB旋转一周时，两把三角尺同时停止转动． ①若在旋转过程中，活动针OE始终平分∠BOD．当∠BOD＝60°时，求旋转所用的时间和活动针OE对应的读数； ②若两把三角尺开始旋转时，活动针OE同时从OB的位置绕着点O以每秒7°的速度按顺时针方向旋转，当OE与OD重合后，活动针OE立即以同样的速度逆时针方向旋转．当OE与OB重合后停止旋转，求活动针OE停止时对应的读数，请直接写出答案（结果保留整数）． 【答案】（1）95，82.5； （2）①当∠BOD＝60°时，当旋转7.5秒时，活动针OE对应的读数是60°；当旋转67.5秒时，活动针OE对应的读数是240°．②44°． 【解答】解：（1）由题意可知，∠COE＝140°， ∵∠COD＝45°， ∴∠DOE＝95°； ∵∠AOB＝60°，∠COD＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°， 当OE平分∠BOD时， ∠DOE∠BOD＝37.5°， ∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝82.5°． 故答案为：95，82.5； （2）①三角尺AOB旋转一周需要的时间是90s． 设经过t秒后，∠BOD＝60°． 当OB追上OD之前， 由题意得：4t﹣2t＝75﹣60， 解得t＝7.5， 此时，活动针OE对应的读数是：30°+45°﹣15°＝60°； 当OB追上OD之后， 由题意得：4t﹣2t＝75+60， 解得t＝67.5， 此时，活动针OE对应的读数是：270°﹣30°＝240°． 综上所述，当∠BOD＝60°时，当旋转7.5秒时，活动针OE对应的读数是60°；当旋转67.5秒时，活动针OE对应的读数是240°． ②设OE运动的时间为m秒，当OE与OD重合时， 根据题意可知，7m﹣2m＝75， 解得m＝15，此时OD旋转30°，OB旋转60°，即∠BOD＝75°﹣30°＝45°， 此时∠COE＝∠COD＝15°； 当活动针OE立即以同样的速度逆时针方向旋转，与OB重合时， 由题意可知，7m′+4m′＝45， 解得m′， 此时∠COE＝15°+7°43.6°≈44°． 即活动针OE停止时对应的读数为44°． 12．将一副直角三角尺如图放置． （1）若∠AOD＝20°，求∠COB的大小； （2）求∠AOC与∠BOD的数量关系． 【答案】（1）∠COB＝160°； （2）∠AOC＝∠BOD． 【解答】解：（1）由条件可得∠COA＝90°﹣20°＝70°， ∴∠COB＝90°+70°＝160°； （2）∵∠COD＝∠AOB＝90°， ∴∠COD﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD， ∴∠AOC＝∠BOD． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 6.7 角的和差 内 容 导 航 题型1 角的计算 考 点 演 练 题型1 角的计算 解｜题｜知｜识 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 【典例1】如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（　　） A．90°﹣α﹣β B．90°﹣α+β C．90°+α﹣β D．α﹣β 【变式1】定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为（　　） A．或3x或 B．或3x或9x C．或或9x D．3x或或9x 【变式2】借助一副三角尺的拼摆，不能画出来的角是（　　） A．75° B．105° C．145° D．165° 【变式3】如图，∠1＝15°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（　　） A．125° B．120° C．115° D．105° 过 关 验 收 1．将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若∠1＝30°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．60° C．65° D．70° 2．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE∠BOC，∠BOD∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示） 3．如图，O是直线l上一点，∠AOB＝100°，则∠1+∠2＝　 　 度． 4．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB＝80°，∠AOB＝2∠BOC，则∠AOC的度数是 　 　 °． 5．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“平衡线”．若∠AOB＝78°，且射线OC是∠AOB的“平衡线”，则∠AOC的度数为 　 　 ． 6．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数． 7．如图1，把一副三角板拼在一起，边OA、OC与直线EF重合，其中∠AOB＝45°，∠COD＝60°． （1）求图1中∠BOD的度数； （2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板AOB一直在∠EOD的内部，设∠EOA＝α． ①若OB平分∠EOD，求α； ②若∠AOC＝4∠BOD，求α． 8．如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在AB，CD上连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．已知∠A′EN＝35°，求∠B′EM的度数． 9．已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转． （1）如图①，若∠AOB＝140°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM′、ON′处，求∠BON′+∠COM′的值； （2）如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM＝3∠BON，求的值． （3）知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动，点M、N的速度比是2：1，在运动过程中始终有CM＝2BN，求　 ． 10．（1）如图（1）若∠BOD＝35°，则∠AOC＝　 　 ；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝　 　 ； （2）如图（2）若∠AOC＝140°，则∠BOD＝　 　 ． 11．学习了角的度量单位后，好学的小明在网上搜索发现了如图①所示的量角演示器，他将一副三角尺和量角演示器按如图②所示位置摆放，请你和小明一起探索以下问题： （1）当活动针OE对应的读数为140时，∠EOD＝　 　 °；当活动针OE平分∠BOD时，OE对应的读数为 　 　 °． （2）将三角尺AOB绕着点O以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，同时，三角尺COD绕着点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，当三角尺AOB旋转一周时，两把三角尺同时停止转动． ①若在旋转过程中，活动针OE始终平分∠BOD．当∠BOD＝60°时，求旋转所用的时间和活动针OE对应的读数； ②若两把三角尺开始旋转时，活动针OE同时从OB的位置绕着点O以每秒7°的速度按顺时针方向旋转，当OE与OD重合后，活动针OE立即以同样的速度逆时针方向旋转．当OE与OB重合后停止旋转，求活动针OE停止时对应的读数，请直接写出答案（结果保留整数）． 12．将一副直角三角尺如图放置． （1）若∠AOD＝20°，求∠COB的大小； （2）求∠AOC与∠BOD的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $