专题6.8 余角和补角（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦初中数学“余角和补角”核心知识点，系统梳理余角（和为直角）、补角（和为平角）的定义及同角（等角）的余角（补角）相等的性质，辅以易错点拨（如钝角无余角等），构建从概念理解到性质应用的学习支架，衔接角的基本概念与后续几何问题解决。 该资料以41题分层设计为特色，含知识梳理、4个考点讲练（典例+变式）、中考真题及基础/培优分层练。通过三角板拼图等实例培养数学眼光，借助性质推理题发展推理意识，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识与解题能力。

专题6.8 余角和补角 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：余角和补角 1 知识点梳理02：余角和补角的性质 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：求一个角的余角 2 考点2：求一个角的补角 2 考点3：与余角、补角有关的计算 3 考点4：同(等)角的余(补)角相等的应用 4 中考真题 实战演练 5 难度分层 拔尖冲刺 6 基础夯实 6 培优拔高 8 知识点梳理01：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 知识点梳理02：余角和补角的性质 （1） 补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （2）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 【易错点拨】 ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 考点1：求一个角的余角 【典例精讲】（24-25七年级上·云南红河·期末）一个锐角是，它的余角是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级上·云南红河·期末）若，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏常州·月考）已知，则的余角为 ，则的补角为 ． 【变式训练3】（24-25七年级上·广东肇庆·期末）的余角为 考点2：求一个角的补角 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）已知，则的补角的度数是 ． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）的补角的度数为 ． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建福州·月考）如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点3：与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期末）一个锐角的余角加上，就等于（   ） A．这个锐角的两倍 B．这个锐角的余角 C．这个锐角的补角 D．这个锐角 【变式训练1】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）如图所示，，且与关系为（    ） A．和为 B．和为 C．互余 D．互补 【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 【变式训练3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点O在直线上，是的平分线，是的平分线，．求的度数． 考点4：同(等)角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图所示，、都是直角， °． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是某交叉路口的示意图．若，则，理由是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）若，，则 ，依据是 ； （2）若，，则 ，依据是 ； （3）两个三角板如图放置，若，则 ，依据是 ． 1．（2024·山东枣庄·中考真题）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 2．（2024·新疆·中考真题）已知∠的补角的度数为，则∠的余角的度数为 ． 3．（2024·浙江杭州·中考真题）下列四种说法中，正确的是（   ） A．连结两点的线段叫作两点间的距离 B．若，则点B是线段的中点 C．若，则是的平分线 D．若是锐角，则的补角一定比它的余角大90度 4．（2024·广西玉林·中考真题）如图，点C，D在线段上，O为上方一点，连接，，有下列结论：①图中共有8个锐角；②图中互余的角有3对；③图中共有线段10条；④若，，P为线段上一点，则点P到点A，C，D，B的距离之和最小为18．其中正确的结论有（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 5．（2024·贵州遵义·中考真题）如图，平分，点D在射线的反向延长线上，． (1)若，求的度数； (2)与有什么数量关系，为什么？ 基础夯实 1．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列说法：①两点之间，线段最短；②若，则点P是线段的中点；③是负数；④连接两点的线段叫两点间距离；⑤一个锐角的补角与这个角的余角的差是．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 5．（25-26七年级上·黑龙江伊春·月考）若一个角的度数为，则它的补角的度数为 ． 6．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）已知与互为余角，若，则等于 ． 7．（25-26七年级上·全国·期末）下列四种说法中，两点确定一条直线；等角的补角相等； ；A在B的东南方向，则B在A的西北方向．正确的说法共有 个． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若与互为余角，求的度数． (2)若平分，，求的度数． 9．（25-26七年级上·全国·期末）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，．请在，，，中找出相等的角，并试着说明理由． 培优拔高 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如果一个锐角的补角是它的余角的3倍，则这个角为（　　） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·陕西西安·月考）若，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是直线上一点，，是的平分线，且，则 °． 15．（25-26七年级上·全国·周测）一个角的余角是这个角的补角的三分之一，则这个角的度数是 ． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD交于点O，的余角比小，则的度数为 ． 17．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）一个角的余角比它的补角的多10度，则这个角为 度． 18．（24-25七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，点、、在同一直线上，，，平分． (1)的余角是多少度？ (2)求的度数． 19．（25-26七年级上·河南新乡·月考）（1）计算：； （2）已知，求的余角和补角． 20．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.8 余角和补角 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：余角和补角 1 知识点梳理02：余角和补角的性质 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求一个角的余角 2 考点2：求一个角的补角 3 考点3：与余角、补角有关的计算 5 考点4：同(等)角的余(补)角相等的应用 7 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 18 知识点梳理01：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 知识点梳理02：余角和补角的性质 （1） 补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （2）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 【易错点拨】 ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 考点1：求一个角的余角 【典例精讲】（24-25七年级上·云南红河·期末）一个锐角是，它的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了求余角，根据余角的定义，互为余角的两角之和为，因此用减去已知角即可得出余角． 【规范解答】解：∵余角，， ∴． 故余角为， 故选D． 【变式训练1】（24-25七年级上·云南红河·期末）若，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴的余角的度数是， 故选：A． 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏常州·月考）已知，则的余角为 ，则的补角为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求一个角的余角的度数和补角的度数，度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴的余角为，的补角为 故答案为：；． 【变式训练3】（24-25七年级上·广东肇庆·期末）的余角为 【答案】 【思路点拨】本题考查了余角的求解，角度制的换算，根据余角定义进行求解即可． 【规范解答】解：， 的余角为， 故答案为：． 考点2：求一个角的补角 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）已知，则的补角的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了补角的概念，互补两角之和等于． 补角的定义，两个角互补则它们的和为，由此计算即可． 【规范解答】解：， 的补角 ． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）的补角的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求一个角的补角，熟练掌握补角的定义是解题关键．根据和为的两个角互为补角解答即可得． 【规范解答】解：的补角的度数为． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建福州·月考）如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 【答案】45 【思路点拨】本题主要利用三角板的知识以及平角是180度解决问题．一副三角尺中有一个是等腰直角三角形，度数分别是，，，另一个是直角三角形，度数分别是，和，熟记各个角的度数是解答此类题的关键． 【规范解答】解：， 故答案为：45． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路点拨】此题考查了补角的性质，一元一次方程的应用，设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，根据互为补角的两个角的度数相加为列方程求解即可． 【规范解答】解：设一个角的度数为x，则另一个角的度数为， 根据题意得：， 解得， ∴， ∴这两个角的度数是，． 故选：B． 考点3：与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期末）一个锐角的余角加上，就等于（   ） A．这个锐角的两倍 B．这个锐角的余角 C．这个锐角的补角 D．这个锐角 【答案】C 【思路点拨】本题考查余角和补角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．设这个锐角为，计算这个角的余角加的结果，与这个角的补角对比即得答案． 【规范解答】解：设这个锐角为， ∵ 这个锐角的余角为， 这个角的余角加为：， 又∵ 这个锐角的补角为， ∴ 一个锐角的余角加上等于这个锐角的补角． 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）如图所示，，且与关系为（    ） A．和为 B．和为 C．互余 D．互补 【答案】C 【思路点拨】本题考查了余角与补角，先根据图形得出，则求出，，进而求出，即可求解． 【规范解答】解：由图知：， ∴， ∴ ， ∴， ∴与关系为互余， 故选：C． 【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 【答案】与互余的角有；与互补的角 【思路点拨】本题考查了互余和互补的定义，角平分线的定义，解题的关键是正确“相加等于90度的两个角互余，相加等于180度的两个角互补”． 由得到，以及角平分线得到，即可得到与互余的角；由，，且，即可得到与互补的角． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴与互余， ∵平分， ∴， ∴与互余； ∵，，且， ∴与互补的角． 【变式训练3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点O在直线上，是的平分线，是的平分线，．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角度的计算问题，涉及平角的定义、角平分线的定义，解题的关键是熟知平角及角平分线的定义并掌握角度的运算法则． 先根据角平分线的定义及平角的定义求出，再由与互余即可解答． 【规范解答】解：是的平分线，是的平分线， ， ， ， 即； ， ， ． 考点4：同(等)角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图所示，、都是直角， °． 【答案】 【思路点拨】此题考查了余角的性质，角的和差计算等知识，根据同角的余角相等得到，即可求出的度数． 【规范解答】解：反向延长射线得到直线， ∵、都是直角， ∴，． ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是某交叉路口的示意图．若，则，理由是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【思路点拨】本题考查了补角的性质，判断与互补，与互补即可求解, 【规范解答】解：, 与互补. , 与互补. （同角的补角相等）。 故选：． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）利用同角的余角相等求解即可；（2）利用补角的定义直接找出，再利用同角的余角相等求解即可；（3）直接利用角平分线的定义求解即可，再利用余角定义求解． 【规范解答】（1）解：， . , . （2） 是平角， ， 是的补角． ， ， 即的补角的度数为． （3） 平分， ， 的余角的度数为. 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）若，，则 ，依据是 ； （2）若，，则 ，依据是 ； （3）两个三角板如图放置，若，则 ，依据是 ． 【答案】 同角的余角相等 同角的补角相等 等角的余角相等 【思路点拨】本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是掌握余角和补角的知识．根据同角的余角相等，同角的补角相等，等角的余角相等，即可求解． 【规范解答】解：（1）若，，则，依据是同角的余角相等； （2）若，，则，依据是同角的补角相等； （3）两个三角板如图放置，若，且，，则，依据是等角的余角相等； 故答案为：，同角的余角相等；，同角的补角相等；，等角的余角相等． 1．（2024·山东枣庄·中考真题）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握，准确识图，是解题的关键． 由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【规范解答】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 2．（2024·新疆·中考真题）已知∠的补角的度数为，则∠的余角的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了余角和补角，根据一个角的补角比它的余角大列式计算即可，熟练掌握一个角的余角和补角的关系是解此题的关键． 【规范解答】解：∵∠的补角的度数为， ∴∠的余角的度数为， 故答案为：． 3．（2024·浙江杭州·中考真题）下列四种说法中，正确的是（   ） A．连结两点的线段叫作两点间的距离 B．若，则点B是线段的中点 C．若，则是的平分线 D．若是锐角，则的补角一定比它的余角大90度 【答案】D 【思路点拨】本题考查了余角和补角，两点间的距离，角平分线，线段的中点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两点间的距离的定义判断选项A；根据线段的中点的定义判断选项B；根据角平分线的定义判断选项C；根据余角和补角的定义判断选项D． 【规范解答】解：A、连结两点的线段的长度叫作两点间的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B、若，当点B不在时，点B不是线段的中点，原说法错误，故此选项不符合题意； C、若，当在外部时，不是的平分线，原说法错误，故此选项不符合题意； D、若是锐角，则的补角是，余角是，所以，即的补角一定比它的余角大，原说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（2024·广西玉林·中考真题）如图，点C，D在线段上，O为上方一点，连接，，有下列结论：①图中共有8个锐角；②图中互余的角有3对；③图中共有线段10条；④若，，P为线段上一点，则点P到点A，C，D，B的距离之和最小为18．其中正确的结论有（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【思路点拨】此题分别考查了线段、角的定义，解题时注意：互为余角的两个角的和为．①根据锐角的定义即可求解；②根据余角的定义即可求解；③按照一定的顺序数出线段的条数即可；④当P在线段上点P到点A，C，D，B的距离之和最小．据此判断即可． 【规范解答】解：①图中，，共有9个锐角；故①错误； ②互余的角有， ，有3对；故②正确； ③图中有线段，，，，共有10条； 故③正确； ④根据题意当P在线段上，则点P到点A，C，D，B的距离之和最小为，④正确； 综上，②③④说法正确， 故选：A． 5．（2024·贵州遵义·中考真题）如图，平分，点D在射线的反向延长线上，． (1)若，求的度数； (2)与有什么数量关系，为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是角平分线的定义，余角的性质，角的和差运算． （1）先求解，结合，可得． （2）先证明，可得，结合角平分线的性质与余角的性质可得结论． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 由题意可知，， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 基础夯实 1．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列说法：①两点之间，线段最短；②若，则点P是线段的中点；③是负数；④连接两点的线段叫两点间距离；⑤一个锐角的补角与这个角的余角的差是．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了两点之间，线段最短，线段中点的定义，两点之间的距离，余角和补角的定义，负数的定义，根据两点之间线段最短可判断①；根据线段中点的定义可判断②；根据当时，不是负数，可判断③；根据两点之间的距离的定义可判断④；根据余角和补角的定义可判断⑤． 【规范解答】解：①两点之间，线段最短，原说法正确； ②只有当三点共线时，由，才能得到点P是线段的中点，原说法错误； ③当时，不是负数，原说法错误； ④连接两点的线段的长度叫两点间距离，原说法错误； ⑤设这个锐角的度数为，则这个锐角的余角的度数为，这个锐角的补角的度数为，则这个锐角的补角与这个角的余角的差是，原说法正确； 故选：B． 2．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三角板中角度计算问题，与余角、补角有关的计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据四个图，分别作出分析，再作出判断． 【规范解答】解：A中两个角互余，故符合； B中两个直角减去中间的公共角分别等于和， 所以和相等， 故不符合； C中和都是的补角，都等于， 所以它们相等，故不符合； D中两个角互为邻补角，故不符合， 故选：A． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查角平分线，角的运算；先求出，再根据角平分线的性质得到，再结合计算即可． 【规范解答】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用，解题关键是掌握余角和补角的定义． （1）设这个角为x，由题意，列出方程，即可求解； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【规范解答】解：（1）设这个角为x，由题意得， ， 解得， 即这个角是， 故答案为：； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意列方程，得： ， 解得， 则它的余角为，补角为． 故答案为：；． 5．（25-26七年级上·黑龙江伊春·月考）若一个角的度数为，则它的补角的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了求一个角的补角． 依据补角的定义求解即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）已知与互为余角，若，则等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角． 根据余角的定义，与互为余角，则，因此． 【规范解答】解：∵与互为余角，， ∴ 故答案为． 7．（25-26七年级上·全国·期末）下列四种说法中，两点确定一条直线；等角的补角相等； ；A在B的东南方向，则B在A的西北方向．正确的说法共有 个． 【答案】3 【思路点拨】本题考查几何基本公理、补角的性质、度分秒换算、方向的相对性． 逐一判断四个说法的正误，统计正确说法的数量． 【规范解答】解：①：两点确定一条直线，这是几何基本公理，正确； ②：设，则的补角为的补角为，因为，所以补角相等，正确； ③：因为，所以，因此，错误； ④：方向具有相对性，东南与西北相对，若在的东南方向，则在的西北方向，正确． 综上，正确的说法有3个． 故答案为：3． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若与互为余角，求的度数． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）根据题意得出，则，即可求解． （2）根据角平分线的定义可得，根据图形可得，进而根据平角的定义，列出方程，解方程，即可求解的度数，即可求解的度数． 【规范解答】（1）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 9．（25-26七年级上·全国·期末）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，余角的定义，根据题意列出方程是解题的关键． 设的度数为，则的度数为，根据余角的定义可得，解方程即可解答． 【规范解答】解：设的度数为，则的度数为， 根据题意得， 解得， 故的度数为． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，．请在，，，中找出相等的角，并试着说明理由． 【答案】，理由见详解 【思路点拨】本题考查了等角的余角相等，根据，，，得出，即可作答． 【规范解答】解：，理由如下： ∵，， ∴ ∵，， ∴． 培优拔高 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】通过设未知数，利用“余角的度数比补角的一半少”这一条件建立方程求解． 【规范解答】解：设这个角的度数为则它的余角为，补角为 根据题意列方程： 故选：C ． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如果一个锐角的补角是它的余角的3倍，则这个角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查余角和补角的定义，一元一次方程的应用，结合已知条件列出方程是解题的关键． 设这个角为，结合已知条件列得方程，解方程即可． 【规范解答】解：设这个角为，那么其补角为，余角为， 根据题意，得， 解得：， 即这个角为， 故选：A． 13．（24-25七年级上·陕西西安·月考）若，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是补角的含义，角度的四则运算，掌握“补角的含义以及角的60进制”是解本题的关键．利用补角的含义结合角度的减法运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴的补角为， 故选：B． 14．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是直线上一点，，是的平分线，且，则 °． 【答案】 【思路点拨】本题考查余角，补角，角平分线的定义，解一元一次方程，解题的关键是灵活运用余角，补角，角平分线的定义，根据，设，则，求得，利用列方程，即可求解． 【规范解答】解：∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·全国·周测）一个角的余角是这个角的补角的三分之一，则这个角的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查余角和补角，找准等量利用方程计算是解题的关键． 利用余角和补角的关系列方程解题即可． 【规范解答】解：设这个角的度数为， 由题意，得， 解得：， 故答案为：． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD交于点O，的余角比小，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了余角的定义，角的和差倍分关系，设通过“的余角比小”列方程即可求解． 【规范解答】解：设 的余角比小 . 故答案为：． 17．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）一个角的余角比它的补角的多10度，则这个角为 度． 【答案】60 【思路点拨】本题主要考查余角与补角、一元一次方程的应用等知识点，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 设这个角的度数为x，利用余角与补角的定义得到，然后解方程即可． 【规范解答】解：设这个角的度数为x， 根据题意得， 解得． 故答案为60． 18．（24-25七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，点、、在同一直线上，，，平分． (1)的余角是多少度？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了余角的定义、角的和与差、角平分线的定义． (1)根据余角的定义和，求出的余角； (2)根据，平分，可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：， 的余角为； （2）解：，平分， ， 点、、在同一直线上， . 19．（25-26七年级上·河南新乡·月考）（1）计算：； （2）已知，求的余角和补角． 【答案】(1) 0 (2) 余角, 补角 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，包括乘方、乘法、绝对值和加减法；考查角的度分秒计算，余角和补角的计算； （1）按照有理数的混合运算顺序，先计算乘方、乘法、绝对值，再计算加减法； （2）根据余角、补角的概念及度分秒的换算进行即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）， 余角， 补角． 20．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键． （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解； （2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②的差余角有，，理由如下： ∵， ∴是的差余角， 由①得，， ∴， ∴是的差余角， ∴综上所述，的差余角有，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $