5.2 等式的基本性质同步讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“等式的基本性质”核心知识点，系统梳理等式两边加（或减）同一个数（或式子）、乘同一个数（或除以不为零的数）结果仍为等式的性质，以及利用性质将方程变形为x=a形式的方法，作为承接等式概念、铺垫后续方程求解的学习支架。 该资料通过典例与变式题辨析错误变形培养推理意识，结合天平平衡、找白糖等情境问题发展应用意识与抽象能力。课中助力教师引导学生理解性质本质，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第五章 5.2 等式的基本性质 内 容 导 航 题型1 等式的性质 考 点 演 练 题型1 等式的性质 解｜题｜知｜识 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【典例1】下列等式变形，错误的是（　　） A．若x＝y，则x+2＝y+2 B．若x＝y，则3x＝3y C．若a+1＝b+1，则a＝b D．若x＝y，则 【变式1】下列等式变形正确的是（　　） A．如果ax＝ay，那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣5＝5﹣b C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b 【变式2】已知2a＝b+1，则下列等式中不成立的是（　　） A．2a﹣1＝b B．2a+3＝b+3 C．a D．4a＝2b+2 【变式3】下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（　　） A．如果x＝y，那么x+a＝y+a B．如果，那么x＝y C．如果x＝y，那么 D．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y 过 关 验 收 1．已知，那么x、y、z的关系是（　　） A．x＞z＞y B．y＞z＞x C．x＞y＞z D．z＞x＞y 2．已知x＝y，则下面变形错误的是（　　） A．﹣2x＝﹣2y B．x﹣a＝y﹣a C． D． 3．若a，b，c为有理数，则下列推理正确的是（　　） A．因为﹣4a＝2，所以a＝﹣2 B．因为ac＝bc，所以a＝b C．因为a＝b，所以a﹣4＝4﹣b D．因为a＝b，所以ac＝bc 4．有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另1袋不是500g，但不知道比500g重还是轻，用天平称，至少（　　）次就能保证把它找出来． A．3 B．4 C．5 D．6 5．根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b，则a、b应满足的条件是（　　） A．a、b互为相反数 B．a、b互为倒数 C．a＝b D．a＝2b 6．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（　　） A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么 C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a＝b，那么a2＝b2 7．下列利用等式的基本性质变形错误的是（　　） A．若x﹣2＝7，则x＝7+2 B．若﹣5x＝15，则x＝﹣3 C．若，则x＝3 D．若2x+1＝6，则2x＝5 8．下列等式变形中，正确的是（　　） A．若6x＝3，则x＝2 B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2 C．若，则2x﹣1＝3x D．若4x﹣3＝2（x+1），则4x﹣2x＝3+2 9．假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（　　）个■． A．5 B．6 C．7 D．8 10．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（　　） A．若a＝b，则 B．若m＝n，则﹣2m＝﹣2n C．若x﹣3＝y﹣3，则x＝y D．若2x＝6，则x＝3 11．运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果a2＝b2，那么a＝b C．如果，那么a＝b D．如果a＝b，那么 12．下列变形中，不正确的是（　　） A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若，则a＝b C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b 13．有下列结论：其中正确结论的个数是（　　） ①如果am＝bm，那么a＝b； ②如果x＝y，那么mx＝my； ③如果x＝y，a＝b，那么x+a＝y+b； ④如果a＝b，那么a﹣x＝b﹣x． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（　　） A．20g B．25g C．15g D．30g 15．已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是（　　） A．4+ax＝4+ay B． C．3﹣ax＝3﹣ay D．x＝y 16．如果m＝n，那么下列等式一定成立的是（　　） A．m+4＝n﹣3 B．4﹣m＝n﹣4 C． D．am＝an 17．根据等式的性质，下列等式变形正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3 B．如果a+2＝b+7，那么a＝b+5 C．如果8a＝4，那么a＝2 D．如果，那么2a＝3b 18．下列等式变形正确的是（　　） A．如果x﹣3＝y﹣3，那么x﹣y＝0 B．如果mx＝my，那么x＝y C．如果sab，那么b D．如果x＝6，那么x＝3 19．已知x、y满足方程组，则x﹣y的值为 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 5.2 等式的基本性质 内 容 导 航 题型1 等式的性质 考 点 演 练 题型1 等式的性质 解｜题｜知｜识 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【典例1】下列等式变形，错误的是（　　） A．若x＝y，则x+2＝y+2 B．若x＝y，则3x＝3y C．若a+1＝b+1，则a＝b D．若x＝y，则 【答案】D 【解答】解：A．若x＝y，则x+2＝y+2，正确，故选项A不符合题意； B．若x＝y，则3x＝3y，正确，故选项B不符合题意； C．若a+1＝b+1，则a＝b，正确，故选项C不符合题意； D．当a＝0时，由x＝y不能推出，错误，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】下列等式变形正确的是（　　） A．如果ax＝ay，那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣5＝5﹣b C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b 【答案】C 【解答】解：A．如果ax＝ay（a≠0），所以ax÷a＝ay÷a（a≠0）那么x＝y，故原说法错误，不符合题意； B．如果a＝b，那么a﹣5＝b﹣5，故原说法错误，不符合题意； C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b，说法正确，符合题意； D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b﹣2，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】已知2a＝b+1，则下列等式中不成立的是（　　） A．2a﹣1＝b B．2a+3＝b+3 C．a D．4a＝2b+2 【答案】B 【解答】解：A．2a＝b+1，则2a﹣1＝b，所以A选项不符合题意； B．2a＝b+1，则2a+3＝b+4，所以B选项符合题意； C．2a＝b+1，则ab，所以C选项不符合题意； D．2a＝b+1，则4a＝2b+2，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（　　） A．如果x＝y，那么x+a＝y+a B．如果，那么x＝y C．如果x＝y，那么 D．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y 【答案】D 【解答】解：A、如果x＝y，那么x+a＝y+a，原式变形正确，不符合题意； B、如果，那么x＝y，原式变形正确，不符合题意； C、如果x＝y，那么，原式变形正确，不符合题意； D、如果ax+b＝ay+b，那么x＝y（a≠0），原式变形错误，符合题意； 故选：D． 过 关 验 收 1．已知，那么x、y、z的关系是（　　） A．x＞z＞y B．y＞z＞x C．x＞y＞z D．z＞x＞y 【答案】B 【解答】解：令， 由此可以分别表示出三个未知数：，，， 先把三个分数和1作差：，，， ， ∴， ∴， 即y＞z＞x． 故选：B． 2．已知x＝y，则下面变形错误的是（　　） A．﹣2x＝﹣2y B．x﹣a＝y﹣a C． D． 【答案】C 【解答】解：A、已知x＝y，两边同乘﹣2，得﹣2x＝﹣2y，选项变形正确，不符合题意； B、已知x＝y，两边同减a，得x﹣a＝y﹣a，选项变形正确，不符合题意； C、已知x＝y，当|a|﹣1＝0时，不能两边除以0，选项变形错误，符合题意； D、已知x＝y，分母为|a|+1＞0，恒不为零，两边同除|a|+1，等式成立，选项变形正确，不符合题意． 故选：C． 3．若a，b，c为有理数，则下列推理正确的是（　　） A．因为﹣4a＝2，所以a＝﹣2 B．因为ac＝bc，所以a＝b C．因为a＝b，所以a﹣4＝4﹣b D．因为a＝b，所以ac＝bc 【答案】D 【解答】解：A、因为﹣4a＝2，所以a，故此选项不符合题意； B、因为ac＝bc（c≠0），所以a＝b，故此选项不符合题意； C、因为a＝b，所以a﹣4＝b﹣4，故此选项不符合题意； D、因为a＝b，所以ac＝bc，故此选项符合题意； 故选：D． 4．有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另1袋不是500g，但不知道比500g重还是轻，用天平称，至少（　　）次就能保证把它找出来． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：先将这10袋白糖分成3袋+3袋+4袋这三组，取（3袋+3袋）这两组分别放入天平称量，即可找出有次品的一组， ①天平平衡，可知次品在未取的4袋中；再将剩下的4袋分成2袋+2袋，取6袋中的2袋、剩下4袋中的2袋分别放天平的两边，此时即可找出次品组，再将次品组各取1袋、取正品中的1袋分别放天平的两边，即可找出次品，此时3次就能把它找出来； ②天平不平衡，轻或重的3袋、正品中的3袋分别放天平的两边，可找出次品组；再将次品组的3袋分成2袋和1袋，并取其中的2袋、正品中的2袋分别放天平的两边，如果天平平衡，则剩下1袋是次品； 如果天平不平衡，将次品分成1袋和1袋，分别与正品的1袋进行称量，即可找出次品； 综上所述，至少3次能把它找出来； 故答案为：A． 5．根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b，则a、b应满足的条件是（　　） A．a、b互为相反数 B．a、b互为倒数 C．a＝b D．a＝2b 【答案】A 【解答】解：根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b， ∴a、b应满足的条件是a＝﹣b， 即a、b互为相反数． 故选：A． 6．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（　　） A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么 C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a＝b，那么a2＝b2 【答案】C 【解答】解：观察图形，是等式a＝b的两边都加c，得到a+c＝b+c，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 7．下列利用等式的基本性质变形错误的是（　　） A．若x﹣2＝7，则x＝7+2 B．若﹣5x＝15，则x＝﹣3 C．若，则x＝3 D．若2x+1＝6，则2x＝5 【答案】C 【解答】解：A．x﹣2＝7，则x＝7+2，正确，故此选项不符合题意； B．﹣5x＝15，则x＝﹣3，正确，故此选项不符合题意； C、，则x＝27，原计算错误，故此选项符合题意； D．2x+1＝6，则2x＝5，正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 8．下列等式变形中，正确的是（　　） A．若6x＝3，则x＝2 B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2 C．若，则2x﹣1＝3x D．若4x﹣3＝2（x+1），则4x﹣2x＝3+2 【答案】D 【解答】解：A选项错误，两边同时除以6，得，故错误，不符合题意； B选项错误，移项结果应该是4x+3x＝2+2，故错误，不符合题意； C选项错误，两边同时乘以6，得4x﹣6＝3x，故错误，不符合题意； D选项正确，符合题意． 故选：D． 9．假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（　　）个■． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解答】解：∵1个▲＝1个●+1个■，2个●＝1个▲+1个■， ∴2个●＝（1个●+1个■）+1个■＝1个●+2个■， ∴1个●＝2个■， ∴3个●＝6个■， ∴如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放6个■． 故选：B． 10．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（　　） A．若a＝b，则 B．若m＝n，则﹣2m＝﹣2n C．若x﹣3＝y﹣3，则x＝y D．若2x＝6，则x＝3 【答案】A 【解答】解：A．当c＝0时，不能从a＝b得出，故本选项符合题意； B．∵m＝n， ∴方程两边都乘以﹣2得：﹣2m＝﹣2n，故本选项不符合题意； C．∵x﹣3＝y﹣3， ∴方程两边都加上3得：x＝y，故本选项不符合题意； D．∵2x＝6， ∴方程两边都除以2得：x＝3，故本选项不符合题意； 故选：A． 11．运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果a2＝b2，那么a＝b C．如果，那么a＝b D．如果a＝b，那么 【答案】C 【解答】解：A、利用等式性质1，两边都加c，得到a+c＝b+c，原变形错误，故此选项不符合题意； B、如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，原变形错误，故此选项不符合题意； C、利用等式性质2，两边都乘c，得到a＝b，原变形正确，故此选项符合题意； D、成立的条件是c≠0，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 12．下列变形中，不正确的是（　　） A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若，则a＝b C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b 【答案】D 【解答】解：A选项，等式两边都加3，故该选项不符合题意； B选项，∵c≠0， ∴等式两边都乘c，故该选项不符合题意； C选项，∵c2+1＞0， ∴等式两边都除以（c2+1），故该选项不符合题意； D选项，题中没有说c≠0，等式两边不能都除以c，故该选项符合题意； 故选：D． 13．有下列结论：其中正确结论的个数是（　　） ①如果am＝bm，那么a＝b； ②如果x＝y，那么mx＝my； ③如果x＝y，a＝b，那么x+a＝y+b； ④如果a＝b，那么a﹣x＝b﹣x． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①根据等式性质2，需加条件m≠0，不符题意； ②根据等式性质2，x＝y两边都乘以m，即可得到mx＝my，符合题意； ③根据等式性质1，x＝y的两边都加相等的式子a，b，即可得到x+a＝y+b，符合题意； ④根据等式性质1，a＝b的两边都减x即可得到a﹣x＝b﹣x，符合题意； 综上所述，②③④正确． 故选：C． 14．如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（　　） A．20g B．25g C．15g D．30g 【答案】A 【解答】解：设巧克力的质量为x，果冻的质量为y． 则 解得 所以一块巧克力的质量为20克． 故选：A． 15．已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是（　　） A．4+ax＝4+ay B． C．3﹣ax＝3﹣ay D．x＝y 【答案】D 【解答】解：A、等式两边同加4，得4+ax＝4+ay，故本选项的等式变形正确； B、由于b2+1≠0，等式两边同除以b2+1，得，故本选项的等式变形正确； C、等式两边同乘﹣1，得﹣ax＝﹣ay，再在等式两边同加3，得3﹣ax＝3﹣ay，故本选项的等式变形正确； D、若a≠0，等式两边同除以a，则x＝y，故本选项的等式变形错误． 故选：D． 16．如果m＝n，那么下列等式一定成立的是（　　） A．m+4＝n﹣3 B．4﹣m＝n﹣4 C． D．am＝an 【答案】D 【解答】解：A．由m＝n不能得到m+4＝n﹣3，故A 不符合题意； B．由m＝n不能得到4﹣m＝n﹣4，故B不符合题意； C．当c≠0时，由m＝n得到，故C不符合题意； D．由m＝n得am＝an，故D符合题意， 故选：D． 17．根据等式的性质，下列等式变形正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3 B．如果a+2＝b+7，那么a＝b+5 C．如果8a＝4，那么a＝2 D．如果，那么2a＝3b 【答案】B 【解答】解：A．如果a＝b，那么a+3＝b+3或a﹣3＝b﹣3，变形错误，故不符合题意； B．如果a+2＝b+7，那么a+2﹣2＝b+7﹣2，所以a＝b+5，变形正确，故符合题意； C．如果8a＝4，那么，变形错误，故不符合题意； D．如果，那么3a＝2b，变形错误，故不符合题意； 故选：B． 18．下列等式变形正确的是（　　） A．如果x﹣3＝y﹣3，那么x﹣y＝0 B．如果mx＝my，那么x＝y C．如果sab，那么b D．如果x＝6，那么x＝3 【答案】A 【解答】解：A、根据等式的性质1，等式两边都加3再减y，结果仍相等，所以正确； B、根据等式的性质2，等式两边要除以一个不为0的数，结果才相等，m有可能为0，所以错误； C、如果sab，那么b，所以错误； D、如果x＝6，那么x＝12，所以错误． 故选：A． 19．已知x、y满足方程组，则x﹣y的值为 　1　 ． 【答案】1 【解答】解：在方程组中， ①﹣②得：x﹣y＝1． 故答案为：1． 学科网（北京）股份有限公司 $