6.5 角与角的度量 讲义 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“角与角的度量”核心知识点，系统梳理角的概念（定义、表示方法、平角与周角），过渡到钟面角（钟面格数与角度关系、时针分针转速），再到度分秒换算（60进制及换算方法），构建递进式学习支架。 资料以题型为纲，整合解题知识、典例及变式练习，钟面角结合手表等生活实例，度分秒换算强化比较与计算，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理逻辑、用数学语言表达角度。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

第六章 6.5 角与角的度量 内 容 导 航 题型1 角的概念 题型2 钟面角 题型3 度分秒的换算 考 点 演 练 题型1 角的概念 解｜题｜知｜识 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 【典例1】如图中标注的角可以用∠O来表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、必须三个字母表示，故此选项错误； B、必须三个字母表示，故此选项错误； C、必须三个字母表示，故此选项错误； D、可以一个字母表示，故此选项正确． 故选：D． 【变式1】如图，下列表示角的方法中，不正确的是（　　） A．∠A B．∠E C．∠α D．∠1 【答案】B 【解答】解：图中的角有∠A、∠1、∠α、∠AEC， 即表示方法不正确的有∠E， 故选：B． 【变式2】如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，图中有三个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC为∠AOB的“巧分线”．如果∠MPN＝78°且PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ的度数为　26°或39°或52°　 ． 【答案】26°或39°或52°． 【解答】解：∵∠MPN＝78°，PQ是∠MPN的“巧分线”， 则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意： ①∠NPQ＝2∠MPQ，此时∠MPQ∠MPN＝26°； ②∠MPN＝2∠MPQ，此时∠MPQ∠MPN＝39°； ③∠MPQ＝2∠NPQ，此时∠MPQ∠MPN＝52°； ∴∠MPQ的度数为26°或39°或52°． 故答案为：26°或39°或52°． 题型2 钟面角 解｜题｜知｜识 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 【典例1】上午9时整，钟面上分针与时针成（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 【答案】B 【解答】解：钟面上，上午9时整，时针指向数字“9”，分针指向数字“12”，此时时针与分针所成的角为直角， 故选：B． 【变式1】钟面上1时30分时，时针与分针组成的角是 　135°　 ，9时整时，时针与分针组成的角是 　90°　 ． 【答案】135°；90°． 【解答】解：由题意得：4.5×30＝135°， ∴钟面上1时30分时，时针与分针组成的角是135°， 由题意得：3×30°＝90°， ∴9时整时，时针与分针组成的角是90°， 故答案为：135°；90°． 【变式2】在钟面上，10点30分时的时针和分针所成的角等于　135　 度． 【答案】135 【解答】解：∵10点半，时针指向10与11的中间，分针指向6，中间相差4个半大格， 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴10点半分针与时针的夹角是4.5×30°＝135度． 故答案为135． 【变式3】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段AD交于点B、C，O为表盘圆心． （1）若BC为2cm，CD：AB＝3：2，B是AC中点，则手表全长AD＝　7　 cm． （2）表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，OE为时针，ON为分针，8：30时表盘指针状态如图③所示，分针ON与OC重合． ①∠EON＝　75　 度； ②作射线OM，使∠EOM＝30°，求此时∠BOM的度数． 【答案】（1）7； （2）①75；②OM在∠EON内部时，∠BOM＝135°，OM在∠EON外部时∠BOM＝75°． 【解答】解：（1）∵B是AC中点． ∴； ∴AC＝4cm； ∵CD：AB＝3：2； ∴CD＝3cm； ∴AD＝AC+CD＝7cm； （2）①分针的速度为360°÷60＝6°（每分）； 时针的速度为30°÷60＝0.5°（每分）； 30分钟时针走的路程为0.5°×30＝15°，即时针从8点到8：30走的路程为15°， ∴∠EON＝15°+2×30°＝75°， 故答案为：75°； ②当OM在∠EON内部时，∠NOM＝∠EON﹣∠EOM＝75°﹣30°＝45°， ∴∠BOM＝180°﹣∠NOM＝135°； 当OM在∠EON外部时，∠BOM＝180°﹣（∠EON+∠EOM）＝180°﹣（75°+30°）＝75°． 题型3 度分秒的换算 解｜题｜知｜识 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 【典例1】下列说法正确的个数是（　　） ①的系数是﹣3； ②若a，b互为倒数，则ab＝1； ③两点之间的线段叫两点之间的距离； ④多项式2x2+xy2+3是二次三项式； ⑤若∠A＝20°18'，∠B＝20.3°，则有∠A＝∠B． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【解答】解：的系数是，故①错误； 若a，b互为倒数，则ab＝1，故②正确； 两点之间的线段的长度叫两点之间的距离，故③错误； 多项式2x2+xy2+3是三次三项式，故④错误； 1°＝60'，因此20.3°＝20°18'，∠A＝∠B，故⑤正确； 综上可知，②⑤正确， 故选B． 【变式1】比较大小：52°15′　＞　 52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞． 【解答】解：∵52.15°＝52°+0.15×60'＝52°9'， ∴52°15'＞52°9'， ∴52°15'＞52.15°． 故答案为：＞． 【变式2】比较大小： 　＜　 ，34°25'　＞　 34.25°． 【答案】＜，＞． 【解答】解：根据负数的绝对值大的反而小可知： ，， ∴． ∵34.25°＝34°+0.25° ＝34°+0.25×60′ ＝34°15′， ∴34°25′＞34.25°， 故答案为：＜，＞． 【变式3】若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于 　57°42′　 ． 【答案】57°42′． 【解答】解：∵∠β＝15.3°＝15°+0.3×60′＝15°18′， ∴∠α+∠β＝42°24′+15°18′＝57°42′． 故答案为：57°42′． 过 关 验 收 1．（1）钟表的分针每分钟转 　6　 °，时针每分钟转 　0.5　 °． （2）若时针由2点30分走到2点55分，问：分针，时针各转过多大的角度？ （3）当钟表上的时间是2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？ 【答案】（1）6，0.5； （2）分针转过的角度为150°，时针转过的角度为12.5°； （3）时针与分针所成的锐角的度数是22.5°． 【解答】解：（1）钟表的分针每分钟转360°÷6＝6°，时针每分钟转30°÷60＝0.5°， 故答案为：6，0.5； （2）分针转过的角度为（360°÷60）×（55﹣30）＝150°， 时针转过的角度为（360°÷60÷12）×（55﹣30）＝12.5°， 答：分针转过的角度为150°，时针转过的角度为12.5°； （3）2时（15分）时，时针与分针所成的锐角的度数是（360°÷12）﹣15×（360°÷60÷12）＝30°﹣7.5°＝22.5°， 答：时针与分针所成的锐角的度数是22.5°． 2．（1）4.8公顷＝　48000　 平方米； （2）2小时15分＝　135　 分； （3）200千克＝　0.2　 吨； （4）4.05L＝　4050　 cm3． 【答案】（1）48000；（2）135；（3）0.2；（4）4050． 【解答】解：（1）4.8公顷＝48000平方米； （2）2小时15分＝135分； （3）200千克＝0.2吨； （4）4.05L＝4050cm3． 故答案为：（1）48000；（2）135；（3）0.2；（4）4050． 3．计算： （1）23°59′×3+107°43′； （2）61°39′﹣22°5′32″． 【答案】（1）179°40′； （2）39°33′28″． 【解答】解：（1）23°59′×3+107°43′ ＝69°177'+107°43′ ＝71°57′+107°43′ ＝178°100' ＝179°40′； （2）61°39′﹣22°5′32″ ＝61°38′60″﹣22°5′32″ ＝39°33′28″． 4．计算： （1）36°15′+33°25′； （2）（﹣6）﹣（﹣17）﹣|﹣1|； （3）42+[32÷（﹣2）3﹣12]． 【答案】（1）69°40′； （2）10； （3）0． 【解答】解：（1）36°15′+33°25′ ＝69°40′； （2）（﹣6）﹣（﹣17）﹣|﹣1| ＝﹣6+17﹣1 ＝10； （3）42+[32÷（﹣2）3﹣12] ＝16+[32÷（﹣8）﹣12] ＝16+（﹣4﹣12） ＝16﹣16 ＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 6.5 角与角的度量 内 容 导 航 题型1 角的概念 题型2 钟面角 题型3 度分秒的换算 考 点 演 练 题型1 角的概念 解｜题｜知｜识 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 【典例1】如图中标注的角可以用∠O来表示的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，下列表示角的方法中，不正确的是（　　） A．∠A B．∠E C．∠α D．∠1 【变式2】如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，图中有三个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC为∠AOB的“巧分线”．如果∠MPN＝78°且PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ的度数为 　 ． 题型2 钟面角 解｜题｜知｜识 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 【典例1】上午9时整，钟面上分针与时针成（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 【变式1】钟面上1时30分时，时针与分针组成的角是 　 ，9时整时，时针与分针组成的角是 　 ． 【变式2】在钟面上，10点30分时的时针和分针所成的角等于　 　 度． 【变式3】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段AD交于点B、C，O为表盘圆心． （1）若BC为2cm，CD：AB＝3：2，B是AC中点，则手表全长AD＝　 　 cm． （2）表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，OE为时针，ON为分针，8：30时表盘指针状态如图③所示，分针ON与OC重合． ①∠EON＝　 度； ②作射线OM，使∠EOM＝30°，求此时∠BOM的度数． 题型3 度分秒的换算 解｜题｜知｜识 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 【典例1】下列说法正确的个数是（　　） ①的系数是﹣3； ②若a，b互为倒数，则ab＝1； ③两点之间的线段叫两点之间的距离； ④多项式2x2+xy2+3是二次三项式； ⑤若∠A＝20°18'，∠B＝20.3°，则有∠A＝∠B． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式1】比较大小：52°15′　 　 52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式2】比较大小： 　 　 ，34°25'　 　 34.25°． 【变式3】若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于 　 　 ． 过 关 验 收 1．（1）钟表的分针每分钟转 　 　 °，时针每分钟转 　 　 °． （2）若时针由2点30分走到2点55分，问：分针，时针各转过多大的角度？ （3）当钟表上的时间是2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？ 2．（1）4.8公顷＝　 　 平方米； （2）2小时15分＝　 　 分； （3）200千克＝　 　 吨； （4）4.05L＝　 　 cm3． 3．计算： （1）23°59′×3+107°43′； （2）61°39′﹣22°5′32″． 4．计算： （1）36°15′+33°25′； （2）（﹣6）﹣（﹣17）﹣|﹣1|； （3）42+[32÷（﹣2）3﹣12]． 学科网（北京）股份有限公司 $