30.1.1　直线与圆相离、相切、相交 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系，通过“大漠孤烟直，长河落日圆”的诗句情境，将太阳与地平线抽象为圆与直线，引导学生从公共点个数探索位置关系，关联点与圆位置关系构建学习支架。 亮点在于以文化情境培养数学眼光中的几何直观与抽象能力，通过例1计算圆心到直线距离d并与半径r比较，例2由位置关系求半径范围，渗透转化与分类讨论思想，发展数学思维的推理与运算能力，帮助学生建立数量关系与位置关系的模型意识，教师可依托清晰探究流程有效突破重难点。

30.1.1　直线与圆相离、相切、相交 教学目标 1.理解直线与圆的三种位置关系. 2.掌握用数量关系判断直线与圆的位置关系的方法. 3.了解转化、分类讨论的数学思想，提高解决实际问题的能力. 重点难点 重点：探索并掌握直线和圆的三种位置关系. 难点：能够运用数量关系判断直线和圆的位置关系. 教学过程 情景导入 “大漠孤烟直，长河落日圆.”这是唐代诗人王维写下的千古流传的名句.从数学的角度看，太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那么你能根据直线和圆的公共点的个数，探索直线和圆有哪几种位置关系吗？ 探究新知 探究点一　判断直线和圆的位置关系 【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心、r为半径作☉C.当r符合下列要求时，☉C与AB有什么样的位置关系？ （1）r＝2cm；（2）r＝2.4cm；（3）r＝3cm. 【解析】欲判断☉C与直线AB的位置关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可. 【解】如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝5cm. 又∵AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝2.4cm＝d. （1）∵d＝2.4cm＞r＝2cm， ∴☉C与直线AB相离. （2）∵d＝2.4cm＝r，∴☉C与直线AB相切. （3）∵d＝2.4cm＜r＝3cm，∴☉C与直线AB相交. 【规律总结】判断直线和圆的位置关系有两种方法： （1）直接根据定义，考查直线和圆的交点个数； （2）考查直线与圆心的距离d和半径r的大小关系. 探究点二　由直线与圆的位置关系判断半径的取值范围 【例2】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、r为半径作圆.若☉C与AB边只有一个公共点，求r的取值范围. 【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理得到AB，根据三角形的面积公式得到CD，然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论. 【解】过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴AB＝5，∴CD＝＝. 若边AB与☉C只有一个公共点，则r的取值范围是r＝或3＜r≤4. 【方法总结】根据直线与圆的位置关系求圆的半径的步骤： （1）过圆心作已知直线的垂线； （2）求出圆心到直线的距离； （3）根据直线与圆的位置关系求出半径的取值或取值范围. 课堂训练 1.已知☉O的半径为8cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与☉O的位置关系为（　　） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 2.如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8，AC＝4，∠C＝90°. （1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与☉C相切？ （2）以点C为圆心，分别以2和4为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？ 板书设计 30.1.1　直线与圆相离、相切、相交 1.直线和圆的位置关系. 直线与圆相交：2个交点，d＜r. 直线与圆相切：1个交点，d＝r. 直线与圆相离：无交点，d＞r. 2.判断直线和圆位置关系的方法. （1）根据圆心到直线的距离d和半径r的大小关系； （2）根据直线与圆交点的个数. 课堂小结 本节课我们学习了直线与圆的三种位置关系，掌握了用数量关系判断直线与圆的位置关系的方法，了解了转化、分类讨论的数学思想，提高了解决实际问题的能力. 教学反思 　　在本节课的学习过程中，通过类比点和圆的位置关系来探究直线和圆的位置关系，并让学生在独立思考、合作探究中，发现问题、解决问题，轻松地得到结 论，获取知识.在学习过程中，要使学生明白d所表示的意义和相切时各部分的名称，在具体几何图形背景下时，要注意几何图形性质的灵活运用. 答案 课堂训练 1.B 2.解：（1）如图，作CD⊥AB于点D. BC＝＝＝4. ∵CD·AB＝AC·BC，∴CD＝＝2， ∴当半径为2时，直线AB与☉C相切. （2）∵2＜2＜4， ∴以点C为圆心、2为半径的圆与直线AB相离；以点C为圆心、4为半径的圆与直线AB相交. 学科网（北京）股份有限公司 $