专题30.1.2圆的切线（10大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“圆的切线”核心知识点，系统梳理切线的判定定理（过半径外端且垂直半径）、性质定理（垂直过切点半径）、切线长定理（切线长相等且平分夹角），构建从基础定理到综合应用（与三角形、四边形、函数结合）的递进式学习支架。 该资料通过10类分层题型设计、4个易错点精准剖析及速记口诀等解题技巧，助力学生理解。以“有切点连半径证垂直”模型培养推理能力，结合中考真题变式题发展应用意识，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

专题30.1.2圆的切线 【新人教版】 【题型1 切线的性质定理】...................................................................................................................................2 【题型2 切线的判定定理】...................................................................................................................................3 【题型3 切线的性质和判定综合应用】...............................................................................................................4 【题型4 应用切线长定理求解】...........................................................................................................................5 【题型5 应用切线长定理求证】...........................................................................................................................6 【题型6 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】...................................................................................8 【题型7 过圆外一点作圆的切线】.......................................................................................................................9 【题型8 圆与三角形的综合】.............................................................................................................................10 【题型9 圆与四边形的综合】.............................................................................................................................12 【题型10 圆与函数综合、其他问题】...............................................................................................................13 1.切线的判定定理 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大条件：①过半径外端；②垂直于半径，缺一不可。 2.切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定义 从圆外一点引圆的两条切线，该点到切点的线段长，叫做切线长。 4.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等； 该点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 易错1：判定切线条件残缺 只证明垂直半径，不过半径外端；或只过端点，不垂直，直接判定切线，定理使用错误。 易错2：混淆内心与外心 内心：角平分线交点，到三边距离相等（内切圆）；外心：垂直平分线交点，到三顶点距离相等（外接圆）。 易错3：切线长定理乱用 仅限圆外一点引两条切线，同一点单条切线不适用切线长相等。 易错4：性质定理漏关键 切线垂直于过切点的半径，不是任意一条半径。 技巧1：速记口诀 切线判定两条件，过端垂直不可分；切线垂直过径端，外点双切长相等；内心平分三个角，三边距离恒相等。 技巧2：切线证明两种万能模型 · 有切点，连半径，证垂直（已知直线过圆上一点）； · 无切点，作垂直，证等径（未知交点，证垂线段长度等于半径）。 技巧3：切线长解题套路 遇圆外一点双切线，直接得：线段相等、角度平分，快速导边、导角。 题型一 切线的性质定理 【例1】（2026·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【变式1-3】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，与相切于点，交于点，交于点，连接．若，则的度数为__________． 题型二 切线的判定定理 【例2】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，AB是直径，点C在上．在的延长线上取一点D，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，已知是的外接圆，是的直径，为外一点，于点，且平分． (1)求证：直线为的切线； (2)若，，求的半径． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，点在圆上，．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式2-3】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，以为直径的与交于点D，过点D作，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 题型三 切线的性质和判定综合应用 【例3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【变式3-1】（2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【变式3-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，是的外接圆，点在的延长线上，且，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，则_________°． 题型四 应用切线长定理求解 【例4】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 题型五 应用切线长定理求证 【例5】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，是半圆O的直径，，切半圆于点D，，交的延长线于F，交的延长于点E． (1)求证：； (2)若，，求点C到的距离． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在矩形ABCD中（），对角线，相交于点O，点A关于的对称点为．连接交于点E，连接． (1)求证： ； (2)以点O为圆心，为半径作圆． ①如图2，若与相切于点F，求的度数； ②若，与相切，则的面积为 ． 题型六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例6】（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·广东惠州·期末）《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【变式6-3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是______． 题型七 过圆外一点作圆的切线 【例7】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）尺规作图： (1)如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． (2)已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 【变式7-2】（25-26九年级上·青海西宁·期末）如图，已知和外一点P．求作射线，，使，分别与相切于点A，B． 作法：①连接；②分别以点O，P 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；③作直线，交于点 C；④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点；⑤作射线，．则射线，与分别相切于点A，B． (1)请根据上述作法在图9中完成尺规作图； (2)请根据作图过程证明，是的切线； (3)若，的半径为5，请直接写出，的长． 【变式7-3】（25-26九年级上·河北保定·期末）学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及填空： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以M为圆心，以为半径画圆，交于A，B两点； ③连接，，直线，即为圆的切线； (1)尺规作图：在图中，使用直尺和圆规，按上述作法作图（保留作图痕迹）； (2)将下面的证明过程补充完整． 求证：是的切线． 证明：连接， 为的直径， ①________（直径所对的②________）（填写推理依据） ． 又是的半径， 是的切线（经过半径外端与半径③________的直线是圆的切线） (3)知识迁移：如图，P为边长为4的等边三角形的边上一动点，的半径为，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为________． 题型八 圆与三角形的综合 【例8】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式8-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的直径，弦于点C，过点F作的切线，交的延长线于点D，G为的中点，连接．若，． (1)求的半径． (2)求的值． 【变式8-2】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，四边形为内接四边形，交于点E，延长、交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，连结交于H，若，，求三角形的面积． 【变式8-3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 题型九 圆与四边形的综合 【例9】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【变式9-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 【变式9-2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【变式9-3】（25-26九年级上·广东韶关·阶段检测）已知，经过矩形的四个顶点，过点B作，垂足为K，过点D作分别与，及的延长线相交于点E，F，G，H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形为矩形； (3)若F是的中点，求出的值． 题型十 圆与函数综合、其他问题 【例10】（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是________.            【变式10-1】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线及直线的表达式； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上一个动点，请求出的最小值． 【变式10-2】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 【变式10-3】（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，设的半径为，对于内的点和弦，给出如下定义：若点关于直线的对称点在的外部，且，则称点是弦的“限角对称点”． (1)如图1，当时， ①点．在点中，点___________是弦的“限角对称点”； ②若点是弦的“限角对称点”，则弦的长度最大值是___________； (2)已知，设直线与轴，轴分别交于，两点，若线段上始终存在点，使点是某条弦的“限角对称点”，求出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30.1.2圆的切线 【新人教版】 【题型1 切线的性质定理】...................................................................................................................................2 【题型2 切线的判定定理】...................................................................................................................................5 【题型3 切线的性质和判定综合应用】.............................................................................................................11 【题型4 应用切线长定理求解】.........................................................................................................................17 【题型5 应用切线长定理求证】.........................................................................................................................20 【题型6 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】.................................................................................26 【题型7 过圆外一点作圆的切线】.....................................................................................................................30 【题型8 圆与三角形的综合】.............................................................................................................................36 【题型9 圆与四边形的综合】.............................................................................................................................46 【题型10 圆与函数综合、其他问题】...............................................................................................................52 1.切线的判定定理 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大条件：①过半径外端；②垂直于半径，缺一不可。 2.切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定义 从圆外一点引圆的两条切线，该点到切点的线段长，叫做切线长。 4.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等； 该点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 易错1：判定切线条件残缺 只证明垂直半径，不过半径外端；或只过端点，不垂直，直接判定切线，定理使用错误。 易错2：混淆内心与外心 内心：角平分线交点，到三边距离相等（内切圆）；外心：垂直平分线交点，到三顶点距离相等（外接圆）。 易错3：切线长定理乱用 仅限圆外一点引两条切线，同一点单条切线不适用切线长相等。 易错4：性质定理漏关键 切线垂直于过切点的半径，不是任意一条半径。 技巧1：速记口诀 切线判定两条件，过端垂直不可分；切线垂直过径端，外点双切长相等；内心平分三个角，三边距离恒相等。 技巧2：切线证明两种万能模型 · 有切点，连半径，证垂直（已知直线过圆上一点）； · 无切点，作垂直，证等径（未知交点，证垂线段长度等于半径）。 技巧3：切线长解题套路 遇圆外一点双切线，直接得：线段相等、角度平分，快速导边、导角。 题型一 切线的性质定理 【例1】（2026·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 【变式1-1】（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，利用切线的性质求解，可得，进一步利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式1-3】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，与相切于点，交于点，交于点，连接．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可得，推出，由圆周角定理可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ． 题型二 切线的判定定理 【例2】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，AB是直径，点C在上．在的延长线上取一点D，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，则：， ∴． ∵是直径， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； (2)4 【分析】（1）连接得到，圆周角定理得到，进而得到，再说明，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形外角定理证明，推出是等边三角形，得到，根据含30度直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，已知是的外接圆，是的直径，为外一点，于点，且平分． (1)求证：直线为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接半径构造等腰三角形，通过角的等量代换证明，再结合垂直关系推导出，据此可判定为切线； （2）利用直径所对圆周角为直角及角平分线的性质，证明，通过相似三角形对应边成比例求出直径，进而得到圆的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线为的切线． （2）解：平分， ， 是的外接圆，是的直径， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， 的半径为． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，点在圆上，．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)24 【分析】（1）连接，，由垂径定理的推论得到，由直径得到，推出，得到，即可证明是的切线； （2）作，由垂径定理得到，利用勾股定理求出，得到四边形是矩形，根据矩形性质可得长． 【详解】（1）解：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作交于点F， ∵， ∴ 在中，由勾股定理得： ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【变式2-3】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，以为直径的与交于点D，过点D作，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）通过连接，证得，从而证切线； （2）连接，利用直径得直角，结合等腰三角形与直角三角形性质求． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的半径， 为的切线． （2）连接，如图． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型三 切线的性质和判定综合应用 【例3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，则，求得，所以的半径长为． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 【变式3-1】（2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接 是的直径，弦于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）设，得到，根据勾股定理得到，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 是的直径，弦于点E，， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， 故的长为． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可； （2）过点O作，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，的半径为． 在中，， ， 即． 【变式3-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，是的外接圆，点在的延长线上，且，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，则_________°． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， 是半径， 是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质． （1）根据，可得，再计算即可； （2）根据直角三角形的性质可得，则，再通过证明，可得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型四 应用切线长定理求解 【例4】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理得：，， ，， 在中，， ， 解得：或（负值舍去）， 故选：C． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为，则，，得到的周长为，勾股定理求出，利用，求出，证明四边形是正方形，得到，求出，即可得到结果． 【详解】解：如图，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为， 则，， ∴的周长为， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理、切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解答的关键． 先根据切线长定理和切线性质得到，，再根据等边对等角，结合等腰三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，是的直径， ∴，，又， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 【答案】/55度 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，连接，可得，由切线的性质可得，再根据切线长定理得到，进而得到，由即可得到结果． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵分别切于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型五 应用切线长定理求证 【例5】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由见解析 【分析】本题考查垂径定理，切线长定理，掌握知识点是解题的关键． 连接、，根据切线长定理，得到，，，再由垂径定理，得到，，则，即可解答． 【详解】解：与相等 如图，连接、， 是小圆的两条切线，切点分别为、， ，， 又是大圆的弦，， ，， ． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，是半圆O的直径，，切半圆于点D，，交的延长线于F，交的延长于点E． (1)求证：； (2)若，，求点C到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点C到的距离为 【分析】本题主要考查了圆的性质，切线的定义与性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用切线长定理可证明，，从而可得，，则，即可证得； （2）连接，由，可得，则，设，，则，由是半圆O的直径，可得和都直角三角形，利用公共直角边，可得，可得，再由可得，可求得，，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，是半圆O的直径， ∴是的切线，是的切线，， ∵是的切线， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． （2）解：如图，连接， 由（1）可知，则， ∵， ∴， ∴， 设，，则， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 解得，即， ∴，即，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在矩形ABCD中（），对角线，相交于点O，点A关于的对称点为．连接交于点E，连接． (1)求证： ； (2)以点O为圆心，为半径作圆． ①如图2，若与相切于点F，求的度数； ②若，与相切，则的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由点关于的对称点为可知点E是的中点，，从而得到是的中位线，继而得到，从而证明； （2）①连接，证明是等边三角形，得到，由是的角平分线即可得到答案；②设与相切于点Q，连接，证明四边形是正方形，证明是等腰直角三角形，设则，，解得,即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵点关于的对称点为， ∴点E是的中点，， 又∵四边形是矩形， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴， ∴ （2）①连接， ∵与相切于点F， ∴， ∵， ∴ ∴是的中位线， ∵是的中位线，， ∴ ∴是的垂直平分线，也是矩形的对称轴， ∴， 根据轴对称的性质，， ∴是等边三角形， ∴ ∵，， ∴是的角平分线， ∴ ②如图，设与相切于点Q，连接， 根据切线长定理得到， 由（1）可知，，则， ∴四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， 设则， 在中，，则， 解得, ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了切线性质定理、切线长定理、三角形中位线定理、轴对称的性质定理、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线是关键． 题型六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例6】（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选：A． 【变式6-1】（25-26九年级上·广东惠州·期末）《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径、切线的性质、勾股定理．首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长为，根据切线的性质可知，利用三角形的面积公式求出内切圆的半径，再根据直径与半径的关系求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、、、、， 则有、、， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， 答：该直角三角形内切圆的直径是. 【变式6-2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理等知识，根据面积法求出半径r是解题的关键． 连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 【详解】解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是______． 【答案】54 【分析】本题主要考查切线的性质、三角形的内切圆、勾股定理、全等三角形的判定与性质，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 由，，可得，如图：连接，根据切线的性质易证可得：，同理可得：，设，则，再根据勾股定理列方程求得的值，进而确定，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图：连接， ∵是的内切圆，三个切点分别为D，E，F， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得：或负值舍去， ∴． ∴． 故答案为：54． 题型七 过圆外一点作圆的切线 【例7】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查直径所对圆周角为，切线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．以为直径作，与交于，连接，根据直径所对圆周角为，则，由切线的判定定理可知为的两条切线． 【详解】解：如图，PA、PB为所作． 理由：以为直径作，与交于，连接，根据直径所对圆周角为，则，由切线的判定定理可知为的两条切线． 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）尺规作图： (1)如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． (2)已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查尺规作图，解题的关键在于掌握垂直平分线和角平分线的作法，结合题意作图； （1）所求圆经过点和，且与直线相切于，关键在于意识到：圆心必须在的垂直平分线上；同时，圆心必须在过点且垂直于的直线上（因为切点与圆心的连线垂直于切线）因此圆心是这两条直线的交点． （2）圆心与切点的连线垂直切线，所以与圆心角互补，已知，则，利用垂直构造，利用角平分线构造，即可构造，再作过点的切线相交于点即可． 【详解】（1） 作图步骤如下： ①以点为圆心任意画圆，与直线相交于，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，则垂直平分，所在直线为直线（圆心在此线上）； ②连接，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线为直线； ③直线与的交点即为所求圆心； ④以为圆心，为半径作圆． 故圆为符合题意的圆． （2） 作图步骤如下： ①先作直径，分别以点，点为圆心，大于画弧，交点分别为点，，连接与圆相交于，则垂直平分； ②以点，为圆心，大于为为半径画弧，交于点，连接与圆交于点，则平分，使得； ③以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在的直线即为圆切线，切点为；以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线即为圆切线，切点为；两切线交于点，则，． 故所作切线，所成． 【变式7-2】（25-26九年级上·青海西宁·期末）如图，已知和外一点P．求作射线，，使，分别与相切于点A，B． 作法：①连接；②分别以点O，P 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；③作直线，交于点 C；④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点；⑤作射线，．则射线，与分别相切于点A，B． (1)请根据上述作法在图9中完成尺规作图； (2)请根据作图过程证明，是的切线； (3)若，的半径为5，请直接写出，的长． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据作法作出图形即可； （2）根据切线的判定证明； （3）先证明，再利用30度角的三角函数求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：连接，， ∵以为圆心长为半径，交于，两点，是直径， ∴， ∵与是的半径， ∴与是的切线； （3）解：∵与是的切线， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），证明某直线是圆的切线，应用切线长定理求解，过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式7-3】（25-26九年级上·河北保定·期末）学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及填空： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以M为圆心，以为半径画圆，交于A，B两点； ③连接，，直线，即为圆的切线； (1)尺规作图：在图中，使用直尺和圆规，按上述作法作图（保留作图痕迹）； (2)将下面的证明过程补充完整． 求证：是的切线． 证明：连接， 为的直径， ①________（直径所对的②________）（填写推理依据） ． 又是的半径， 是的切线（经过半径外端与半径③________的直线是圆的切线） (3)知识迁移：如图，P为边长为4的等边三角形的边上一动点，的半径为，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②圆周角是直角；③垂直 (3)3 【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，线段垂直平分线的作法，切线的判定与性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据题意作图即可； （2）是的直径得出圆周角，则，进而得出结论； （3）连接、，通过切线性质构造直角三角形，将转化为，再利用“垂线段最短”求最小值，从而得到最小值． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为圆的切线； （2）证明：连接， ∵为的直径， ∴ （直径所对的圆周角是直角）． ∴ ， 又∵是的半径， ∴是的切线（经过半径外端与半径垂直的直线是圆的切线）． 故答案为：①；②圆周角是直角；③垂直． （3）解：如解图， 连接，过点C作于点H． 是的切线， ，当时，最小，取最小值． 为等边三角形， ， ， 的最小值为． 题型八 圆与三角形的综合 【例8】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 【变式8-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的直径，弦于点C，过点F作的切线，交的延长线于点D，G为的中点，连接．若，． (1)求的半径． (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，，，根据垂径定理可得，根据切线的性质定理可得，即，进而可得，再解得，然后证明，设，易得，，在中，利用勾股定理解得，即可求出半径， （2）用三角函数求出的长即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，， 是的切线， ， ， ， ， 于点，， ， 设， 为的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，即的半径为4． （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式8-2】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，四边形为内接四边形，交于点E，延长、交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，连结交于H，若，，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）作于点G，则，得出，证明，得出，证明，根据等角对等边证明结论即可； （2）连接、、，作于点L，则，证明，得出，说明与重合，即圆心O在的高上，设，则，得出，，，得出，求出，得出，即可得出答案； （3）延长交于点I，交于点Q，作于点K，则，证明，设，则，，根据，求出，根据，得出，设，则，，得出，根据，得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图①，作于点G，则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图①，连接、、，作于点L，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴与重合，即圆心O在的高上， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． （3）解：如图②，延长交于点I，交于点Q，作于点P，作于点K，则， ∵，平分，，， ∴，，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的面积是． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，圆内接四边形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式8-3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1)四边形为菱形，见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用圆周角定理求出圆心角的度数，再结合为劣弧中点的条件，证明和为等边三角形，进而判定四边形的形状； （2）方法：利用切线性质得到，结合圆周角定理与等腰三角形性质，通过角的计算进行等量代换，证明； 方法：构造圆的直径，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合同弧所对圆周角相等，通过角的互余关系完成等量代换，证明． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 连接， ， ， 为劣弧的中点， ，， ， 又， ， 又， 和均为等边三角形， ， 四边形为菱形； （2）证明：方法：， ， ， ， 在中，， ， 又与圆相切于点， ， ， 又， ； 方法：连接并延长交圆于点，连接， 为圆的直径， ， 又， ， 直线与圆相切于点， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、切线的性质、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定，熟练运用圆的相关定理和特殊四边形的判定方法是解答本题的关键． 题型九 圆与四边形的综合 【例9】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 【变式9-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【详解】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 【变式9-2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【答案】【特殊体会】 【初步探究】，见解析 【深入探究】①与相切；② 【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论； 初步探究：由已知、根据“圆周角所对的弦是直径”得：是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论； 深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得 ，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论； ② 延长交于点，连接，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 初步探究：．如题图2． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 深入探究：①与相切． 如图，连接、． ∵， ∴． ∵与相切， ∴． ∴， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴与相切． ②． 如图，延长交于点， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形的综合探究，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质和判定和勾股定理，综合性很强，对以上知识熟练是解题的关键． 【变式9-3】（25-26九年级上·广东韶关·阶段检测）已知，经过矩形的四个顶点，过点B作，垂足为K，过点D作分别与，及的延长线相交于点E，F，G，H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形为矩形； (3)若F是的中点，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题属于圆的综合题，考查了矩形的性质与判定、圆的内接四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．能准确找到全等三角形是解题的关键． （1）证明，即可求证； （2）根据圆内接四边形的性质可得，即可求证； （3）证明，可得，从而得到，再由平行线分线段成比例，可得，进而得到，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 题型十 圆与函数综合、其他问题 【例10】（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是________.            【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用以及圆的确定，取中点，再取中点，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，连接，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，当点共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ∴，， ∵，， ∴点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆弧， ∵点为的中点， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧， 当点共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为． 故答案为：． 【变式10-1】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线及直线的表达式； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2) 证明：由（1）可得抛物线的对称轴为． ∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点． ∴当时，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，且． (3) 【分析】（1）利用点A及B的坐标运用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再根据坐标系中的两点距离公式分别求出，，，然后利用勾股定理逆定理即可证明． （3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解： 将代入直线，得， 解得， ∴直线的解析式为； 将代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，勾股定理以及逆定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 【变式10-2】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题综合考察了函数图象的性质，最值问题，难度较大，综合运用函数图象，几何图形性质是解题的关键． （1）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M，先求b值，再确定，由，得到，从而求得； （2）设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作，当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度，由，先求得，再求出，最后得到t的范围； （3）先由直线恒过定点，得到，即在直线上，因为，所以直线和正方形相交，分点F在上和点E在上两种情况，求出m的取值范围． 【详解】（1）解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则，， ∴，， 如图1，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M， 由题意得：与反比例函数只有一个交点，故， 整理得：， 则， 解得：（负值已舍去）， 则， 解得：， 故点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故； （2）解：如图2，设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作， 当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度， ∵，的半径为， ∴， 由，可知， ，， 在中， ∵， ∴， 则， 在中， ， ∵， ∴，即， 解得：或； （3）解：∵直线恒过定点， ∴， 整理得：， ∴且， 解得：且，即， ∴在直线上， ∵， ∴直线和正方形相交， ∵点， ∴点E在直线上运动； ①当点E所对顶点F在上时，如图3， 即点E、F关于原点对称， ，， ∵点F在上， ∴， 解得：， 当点E向上运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向下运动， ∴； ②当点E运动到时，如图4， ， 将E点坐标代入的表达式得：， 解得：， 当点E向下运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向上运动， ∴； 综上，或． 【变式10-3】（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，设的半径为，对于内的点和弦，给出如下定义：若点关于直线的对称点在的外部，且，则称点是弦的“限角对称点”． (1)如图1，当时， ①点．在点中，点___________是弦的“限角对称点”； ②若点是弦的“限角对称点”，则弦的长度最大值是___________； (2)已知，设直线与轴，轴分别交于，两点，若线段上始终存在点，使点是某条弦的“限角对称点”，求出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题灵活考查坐标系中点的对称，对称的性质，三角形外角的性质，圆的基本性质，根据条件，找到对应情况的图形是解题关键． （1）先将条件利用对称的性质，转化为的关系，再分析，简化计算， ①根据点A，B的坐标判断的形状，作出对应点，对应三角形，利用三角形外角的性质判断与的关系，再根据图象判断对称点与圆的位置关系即可； ②先通过圆的性质，找到弦最大值的情况，再利用勾股定理求解即可； （2）先求出M，N的坐标，再利用（1）中结论，找到的取值范围，再根据找到的最大值与最小值的情况，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵点和点关于直线对称， ∴， 故“限角对称点”的定义中，条件“”等价于“”， ①由题意，作出对应点图象如下，取点， ∵，，，，横坐标相同， ∴点A，，D，在同一直线上，且轴， ∵， 又由题意可知，的半径为2，即， ∴是等边三角形， ∴， 由外角的性质，可得，， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 其中，，故不为弦的“限角对称点”， 由图象可知，点，关于直线的对称点显然在外部，且，， 故点，是弦的“限角对称点”； ②求解前，为得到弦最大值情况，先论证三个结论， 结论1：如图所示情况，令，由外角的性质可知， 于是，得结论1：若点C为内一点，且不为圆心，则当为定值时，在远离点C一侧的圆弧上时的长度大于在靠近点C一侧的圆弧上时的长度； 结论2：如图所示情况，， 显然，当与同在远离点C的一侧时，当时，； 结论3：如图所示情况，为定值k，即点C在半径为k的的同心圆上， 设为符合条件的任意一点，为定值，假设此时为满足条件的弦的最大值，且， 取点A，，使得，， 由假设，得，故点A在上， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴在垂直于的直径上， ∴点在所在圆中，相对的最远端， ∴， 又，， ∴两者相矛盾，该情况不存在， 故可得结论3：若点C在内，为定值，当，且在远离点C一侧的圆弧上时，弦取得最大值； 由上述3个结论，可得弦取得最大值的情况为，，如下图，设交x轴于点D， ∵， ∴点C在的垂直平分线上， 由垂径定理，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得，即， 解得（负值已舍去）， ∴， 此时，， ， ∴此时点C关于的对称点在，满足题意， 故弦的最大值为； （2）解：如图，作于点P， 令，得， ∴， ∴， 令，得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，为等腰直角三角形， 以为半径，点O为圆心作圆，由题意，可假设与y轴负半轴交于点B，与x轴正半轴交于点A， 则，，，， ∴， 由外角的性质，，即， ∴， 又由图象，显然点P关于的对称点在的外部， ∴此时点P满足“限角对称点”的定义， ∵点C在内，且在上， ∴，即， 由（1）可知，在题给条件下，当，，且在远离点C的一侧的圆弧上时，取得最大值， 故当一定时，该种情况下，取得最大值，即r取得最大值，且为的“限角对称点”， 当点C在上，的最大值为， 如图，作，取点A，B，使得，，交y轴于点P， 由（1）可知，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， 又， ∴此时， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $