2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 该同步练习以“二次函数与一元二次方程、不等式”为核心，通过“诊断分析-探究应用-拓展提升”三级分层，构建从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|一元二次不等式定义、二次函数零点等单一知识点|判断正误题强化概念理解，夯实抽象能力| |技能应用层|一元二次不等式解法（含参数）|例题+变式题递进训练运算技能，发展推理能力| |综合拓展层|三个“二次”关系的跨情境应用|含参数问题及集合综合题，培养模型观念|

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 【学习目标】 　　1.了解一元二次不等式的概念. 　　2.(1)了解二次函数的零点定义,能发现二次函数零点与方程根的关系;(2)会结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 　　3.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系. 　　4.理解一元二次不等式的解法:能够借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. ◆ 知识点一　一元二次不等式 1.定义:一般地,我们把只含有　　　　未知数,并且未知数的最高次数是　　　　的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是　　　　　　　　　　　　　　　,其中a,b,c均为常数,a≠0.  2.解集:使一元二次不等式成立的未知数的值叫作一元二次不等式的解,所有的解所组成的集合叫作一元二次不等式的解集. ◆ 知识点二　二次函数的零点 1.定义: 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的　　　　叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点.  2.根与系数的关系:若α,β是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则α+β=-,αβ=. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式mx2+2x-3<0是关于x的一元二次不等式. (　 ) (2)不等式x2-2x+3>0的解集为R. (　 ) (3)二次函数y=x2-x-6的零点为(-2,0)与(3,0). (　 ) ◆ 知识点三　二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 　　　　  　　　　  　　　　  ax2+bx+c<0(a>0)的解集 　　　　  　　　　  　　　　  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}. (　 ) (2)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实数根,则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　 ) 2.函数y=x2-x-6的图象如图所示,根据图象,你能说出方程x2-x-6=0的解吗?你能说出不等式x2-x-6>0的解集吗?x2-x-6<0的解集呢? ◆ 探究点一　解一元二次不等式 例1 求下列不等式的解集. (1)x2-5x-6>0; (2)(2-x)(x+3)<0; (3)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 变式 求下列不等式的解集. (1)-2x2+3x-2<0;　(2)4x2-x+3≤3x+2; (3)-2<x2-3x≤10;　(4)-3x2+5x-2>0. [素养小结] 求一元二次不等式解集的通法: (1)化成标准形式(ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a>0); (2)求Δ, 解方程,画图象; (3)根据图象写出解集. 注:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,可以直接由方程的根及不等号方向得到解集. ◆ 探究点二　解含参数的一元二次不等式 例2 (1)解关于x的不等式x2-(2+a)x+2a<0. (2)解关于x的不等式mx2+(m-2)x-2>0. 变式 解关于x的不等式2x2+ax+2>0(a∈R). [素养小结] 含参数的一元二次不等式的解法 ◆ 探究点三　三个“二次”的关系 例3 已知x1,x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+m2-1=0的两个实数根. (1)若+=4,求m的值; (2)若x1,x2是两个不相等的正数,求实数m的取值范围. 变式 (1)(多选题)已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a<0 B.c<0 C.a+b+c=0 D.a-b+2c>0 (2)已知函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,则不等式cx2+2bx-a<0的解集为 (　 ) A.{x|-6<x<-2} B. C. D. [素养小结] 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式时要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题. 拓展 已知集合A={x|x2+(2-m)x+3-m=0},集合B={x1,x2},B⊆A. (1)若+=6,求实数m的值; (2)若0<x1<x2<2,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 【课前预习】 知识点一 1.一个　2　ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 知识点二 1.实数x 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)当m=0时,原不等式为2x-3<0,此时mx2+2x-3<0不是关于x的一元二次不等式. (2)因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式x2-2x+3>0的解集是R. (3)令x2-x-6=0,解得x=-2,x=3,所以二次函数y=x2-x-6的零点为-2,3. 知识点三 {x|x<x1或x>x2}　 R　{x|x1<x<x2}　⌀　⌀ 诊断分析 1.(1)×　(2)√　[解析] (1)当a>0时,解集为{x|x1<x<x2};当a<0时,解集为{x|x<x1或x>x2}. (2)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实数根,则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R. 2.解:方程x2-x-6=0的解是x=-2或x=3.不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3}.不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2<x<3}. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.结合二次函数y=x2-5x-6的图象知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}. (2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0,方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}. (3)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2,即9x2-12x+4>0,解方程9x2-12x+4=0,得x1=x2=.结合二次函数y=9x2-12x+4的图象知,原不等式的解集为. 变式　解:(1)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实数根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0,方程(2x-1)2=0的根为x=,所以不等式4x2-x+3≤3x+2的解集为. (3)原不等式等价于 不等式①可化为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1;不等式②可化为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2<x≤5}. (4)原不等式可化为3x2-5x+2<0, 方程3x2-5x+2=0的两根为x1=,x2=1,所以不等式3x2-5x+2<0的解集为. 探究点二 例2　解:(1)原不等式等价于(x-a)(x-2)<0,方程(x-a)(x-2)=0的两根为x1=a,x2=2. 当a<2时,原不等式的解为a<x<2; 当a=2时,原不等式无解; 当a>2时,原不等式的解为2<x<a. 综上,当a<2时,原不等式的解集是{x|a<x<2};当a=2时,原不等式的解集是⌀;当a>2时,原不等式的解集是{x|2<x<a}. (2)当m=0时,不等式化为-2x-2>0,解得x<-1;当m>0时,不等式化为(mx-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>;当-2<m<0时,<-1,不等式化为(x+1)<0,解得<x<-1;当m=-2时,不等式化为(x+1)2<0,此时无解;当m<-2时,0>>-1,不等式化为(x+1)<0,解得-1<x<. 综上,当m=0时,不等式的解集是{x|x<-1};当m>0时,不等式的解集是;当-2<m<0时,不等式的解集是;当m=-2时,不等式的解集为⌀;当m<-2时,不等式的解集是. 变式　解:Δ=a2-16,下面分三种情况讨论. ①当Δ<0,即-4<a<4时,方程2x2+ax+2=0无实数根,所以原不等式的解集为R. ②当Δ>0,即a>4或a<-4时,方程2x2+ax+2=0的两个根为x1=(-a-),x2=(-a+),所以原不等式的解集为. ③当Δ=0,即a=4或-4时,方程2x2+ax+2=0有两个相等的实数根,当a=-4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1},当a=4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠-1}.综上,当-4<a<4时,原不等式的解集为R;当a>4或a<-4时,原不等式的解集为;当a=-4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1};当a=4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠-1}. 探究点三 例3　解:(1)由Δ=4(m+2)2-4(m2-1)≥0,可得m≥-,因为x1+x2=2(m+2),x1x2=m2-1,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=[2(m+2)]2-2(m2-1)=2m2+16m+18=4,解得m=-1或m=-7(舍去),故m的值为-1. (2)因为x1,x2是两个不相等的正数,所以 即所以m>1或-<m<-1,所以实数m的取值范围是-<m<-1或m>1. 变式　(1)ACD　(2)D　[解析] (1)因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},所以a<0且即对于选项A,a<0,故A正确;对于选项B,c=-2a>0,故B错误;对于选项C,a+b+c=a+a+(-2a)=0,故C正确;对于选项D,a-b+2c=a-a+2(-2a)=-4a>0,故D正确.故选ACD. (2)因为函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,所以2和6是方程ax2+2bx-c=0的两个实数根,由根与系数的关系得解得所以不等式cx2+2bx-a<0即为-12ax2-8ax-a<0.因为a>0,所以不等式可化为12x2+8x+1>0,解得x<-或x>-,所以不等式的解集为,故选D. 拓展　解:(1)由题意可知,方程x2+(2-m)x+3-m=0有两个不等实根x1,x2,所以Δ=(2-m)2-4(3-m)=m2-8>0,解得m<-2或m>2.由根与系数的关系可得x1+x2=m-2,x1x2=3-m,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(m-2)2-2(3-m)=m2-2m-2=6,即m2-2m-8=0,解得m=-2(舍去)或m=4,故实数m的值为4. (2)由题得方程x2+(2-m)x+3-m=0在0<x<2时有两个不等实根,所以解得2<m<3, 故实数m的取值范围是2<m<3. 学科网（北京）股份有限公司 $