1.3 矩形的性质与判定 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，以平行四边形为基础延伸矩形的特殊性质，包括四个角为直角、对角线相等及轴对称性，系统梳理判定方法，并关联直角三角形斜边上的中线性质，构建完整知识支架。 资料通过典例与变式分层设计，结合拉杆箱、坐标系滑动点等实际情境，培养学生几何直观与空间观念，在性质与判定的综合应用中提升推理能力，过关验收助力巩固，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

1.3 矩形的性质与判定 内 容 导 航 题型1 矩形的性质 题型2 矩形的判定 题型3 矩形的判定与性质 题型4 直角三角形斜边上的中线 考 点 演 练 题型1 矩形的性质 解｜题｜知｜识 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【典例1】如图，把3个相同的矩形填充到菱形ABCD中，已知菱形ABCD的周长为，则每个矩形的周长为（　　） A． B．4cm C． D．8cm 【答案】B 【解答】解：如图， ∵AG＝AE﹣EG＝AE﹣AG＝HE＝FG， ∴△AFG是等腰三角形， ∴∠B＝45°， ∴AE＝BE， ∵菱形ABCD的周长为， ∴AB＝2cm， ∴AE＝BE＝2cm， ∵AE+CE＝2cm， ∴CE＝（22）cm， ∴FG＝2﹣（22）＝（4﹣2）cm， ∴每个矩形的周长为（22+4﹣2）×2＝4cm． 故选：B． 【变式1】如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形ODMA，OBNC都是矩形，若AB＝3，CD＝2，则OM2+ON2＝（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【解答】解：∵点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵四边形ODMA，OBNC都是矩形，AB＝3，CD＝2， ∴∠OBN＝∠OAM＝90°，BN＝OC，AM＝OD，OA2+OB2＝AB2＝9，OD2+OC2＝CD2＝4， ∴OM2＝OA2+AM2＝OA2+OD2，ON2＝OB2+BN2＝OB2+OC2， ∴OM2+ON2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝9+4＝13， 故选：C． 【变式2】矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AB∥CD，BC＝AD＝1，∠C＝90°， ∴∠BAM＝∠AMD， ∵AM平分∠DMB， ∴∠AMD＝∠AMB， ∴∠BAM＝∠AMB， ∴BM＝AB＝2， ∴CM， ∴DM＝CD﹣CM＝2； 故选：D． 【变式3】如图1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图2是它的平面示意图．行李箱的正面可看成一个矩形．若AC＝70cm，则下列说法正确的是（　　） A．BD＜70cm B．BD＝70cm C．BD＞70cm D．无法确定BD的长 【答案】B 【解答】解：根据题意可知， 行李箱的正面可看成一个矩形．若AC＝70cm， 所以BD＝70cm． 故选：B． 题型2 矩形的判定 解｜题｜知｜识 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 【典例1】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得▱ABCD是矩形（　　） A．AB＝AD B．∠ABC＝∠BCD C．∠ABD＝∠CBD D．AO⊥BO 【答案】B 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴CD＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AO⊥BO， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（　　） A．AB∥CD B．AB＝BC C．∠B＝∠D D．AC＝BD 【答案】D 【解答】解：A、由AB∥CD，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意； B、由AB＝BC，能判定平行四边形ABCD是菱形，不一定是矩形，故不符合题意； C、由∠B＝∠D，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意； D、由AC＝BD，能判定平行四边形ABCD是矩形，故符合题意； 故选：D． 【变式2】已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 【答案】D 【解答】解：A、已知四边形ABCD是平行四边形， ∴当∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形， ∴可以判定▱ABCD为矩形， 故该选项不符合题意； B、已知四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， 当∠B＝∠C时，则∠B＝∠C＝90°，此时▱ABCD为矩形， ∴可以判定▱ABCD为矩形， 故该选项不符合题意； C、已知四边形ABCD是平行四边形， 当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形， ∴可以判定▱ABCD为矩形， 故该选项不符合题意； D、已知四边形ABCD是平行四边形， 当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形， ∴不能判定▱ABCD为矩形， 故该选项符合题意． 故选：D． 【变式3】以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B．OA＝OB＝OC＝OD C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD 【答案】D 【解答】解：如图： A、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误； B、∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误； C、∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误； D、∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 根据OA＝OC，OB＝OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确； 故选：D． 题型3 矩形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【典例1】如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【解答】解：∵四边形COED是矩形， ∴CE＝OD， ∵点D的坐标是（1，3）， ∴OD， ∴CE， 故选：C． 【变式1】如图，在等边△ABC中，，BD⊥BC交∠BCA的平分线于点D，点E为BD上一点，点F为CD上一点，DE＝CF，连接AE、AF，则AE+AF的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点D作DG⊥CD，取DG＝AC，连接GE，AG，过点A作AM⊥BC于点M，过点G作GN⊥AM，交AM的延长线于点N，延长DB交GN于点H，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠BCD＝30°， ∵DB⊥BC， ∴∠CBD＝90°， ∴∠CDB＝90°﹣30°＝60°，∠CBH＝180°﹣90°＝90°， ∵DG⊥CD， ∴∠GDC＝90°， ∴∠GDE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠GDE＝∠ACF， ∵，DE＝CF， ∴△GDE≌△ACF， ∴GE＝AF， ∴AE+AF＝AE+GE≥EG，当且仅当A、E、G三点共线时取等， ∵AM⊥BC， ∴， 在Rt△ABM中，， ∵GH⊥AM，AM⊥BC， ∴GH∥BC， ∴∠DHN＝∠DBC＝90°， ∴∠DHG＝∠DHN＝90°， ∵∠GDH＝30°， ∴， 在Rt△DGH中，， ∵∠DBC＝90°，∠DCB＝30°， ∴， 在Rt△BCD中，BD2+BC2＝CD2， 即， 解得：BD＝4，负值舍去， ∴BH＝DH﹣BD＝2， ∵∠HBM＝∠BMN＝∠BHN＝90°， ∴四边形BHNM为矩形， ∴MN＝BH＝2，， ∴AN＝AM+MN＝6+2＝8，， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　） A．8 B．6 C．4.8 D．2.4 【答案】C 【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC16＝8，OB＝ODBD12＝6， ∴∠AOB＝90°， ∴AB10， ∵AB•OHOA•OB＝S△AOB， ∴10OH8×6， 解得OH＝4.8， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∴EF＝OP， ∴OP≥OH， ∴EF≥4.8， ∴EF的最小值为4.8， 故选：C． 【变式3】下列说法正确的有（　　）个． ①菱形的对角线相等； ②对角线互相垂直的四边形是菱形； ③有两个角是直角的四边形是矩形； ④正方形既是菱形又是矩形； ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误； ③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误； ④正方形既是菱形又是矩形，故正确； ⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误； 故选：A． 题型4 直角三角形斜边上的中线 解｜题｜知｜识 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【典例1】直角三角形两直角边长为6和8，则此三角形斜边上的中线的长是（　　） A．10 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解答】解： 在Rt△ACB中，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得：AB10， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴CDAB＝5， 故选：B． 【变式1】一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 【答案】B 【解答】解：∵点A、B对应的刻度为1、7， ∴AB＝7﹣1＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°，点D为线段AB的中点， ∴CDAB6＝3（cm）， 故选：B． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝6cm，D是AC的中点，则BD的长为（　　） A．3cm B． C．6cm D．6.5cm 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝60°， ∴∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝6cm， ∴AC＝2AB＝12cm， ∵D是AC的中点， ∴， 故选：C． 【变式3】如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据勾股定理，AB， BC2， AC3， ∵AC2+BC2＝AB2＝26， ∴△ABC是直角三角形， ∵点D为AB的中点， ∴CDAB． 故选：B． 过 关 验 收 1．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD＝8，AO＝CO＝BO， ∵M是CD边的中点，O是矩形ABCD的对角线AC的中点， ∴OM∥AD，OM是△ADC的中位线， ∵OM＝3， ∴AD＝2OM＝6， ∵CD＝AB＝8， ∴， ∴， 故选：A． 2．数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形ABCD进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在AD边上的点O处，则∠DAC的度数为（　　） A．30° B．20° C．条件不足，无法计算 D．22.5° 【答案】D 【解答】解：如图， 由作图知，AO＝OC，OE⊥AC， ∴∠DAC＝∠ACO， 由作图知，OC平分∠BCD， ∴∠BCO， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠ACO＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠ACB＝22.5°， 故选：D． 3．如图，平面直角坐标系中，点A（0，2），点C（4，0），四边形AOCB是矩形，AC与BO交于M，以点O为圆心，OM的长为半径作圆弧交x轴于点N，则点N的横坐标为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形AOCB是矩形，AC与BO交于M，点A（0，2），点C（4，0）， ∴点M是AC的中点， ∴点M的坐标为，即（2，1） ∴， ∴点N的横坐标为． 故选：C． 4．如图，在矩形ABCD中，AE＝3，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE．则BD的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵ED＝3BE ∴BE＝EO， ∵AE⊥BD， ∴AB＝AO， ∴OA＝AB＝OB， 即△OAB是等边三角形， ∴2BE＝AB， ∵AE＝3， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，已知矩形OABC的顶点O（0，0），C（0，3），对角线AC，OB相交于点D．按以下步骤作图：①分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，连接MN恰好经过点B，若MN交x轴于点E，则点E的坐标为（　　） A． B．（3，0） C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得，OC＝AB＝3，BC＝AO，DB＝DA，MN垂直平分AD， ∴BD＝BA， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABD＝60°， ∴， 在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝3， ∴AC＝2AB＝6， 由勾股定理可得，， 在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝3， ∴BE＝2AE， 由勾股定理可得，AE2+AB2＝BE2，即AE2+32＝4AE2， 解得， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点点B的坐标是（2，3），则线段AC的长度为（　　） A． B． C． D．5 【答案】C 【解答】解：连接OB，如图： ∵顶点B的坐标为（2，3）， ∴， ∵四边形OABC是矩形， ∴， 即线段AC的长度为， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 7．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（　　） ①∠AEF＝60°；②FC＝2DF；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点， ∴OG＝AG＝GEAE， ∵∠AOG＝30°， ∴∠OAG＝∠AOG＝30°， ∴∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°， ∴△OGE是等边三角形， ∴∠AEF＝60°，故①正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，AB∥CD， ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF， 设CF＝AE＝2a，则OE＝OG＝a， ∴AOOEa， ∵O为AC中点， ∴AC＝2AO＝2a， ∴BCACa， ∴ABBC＝3a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝3a， ∴DF＝CD﹣CF＝3a﹣2a＝a， ∴FC＝2DF；故②正确； ∵OG＝a，BCa， ∴OGBC，故③错误； ∵S△AOEaaa2， S矩形ABCD＝3aa＝3a2， ∴S△AOES矩形ABCD，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②④共3个． 故选：C． 8．如图，点E为矩形ABCD边CD的中点，点F为边上一点，且∠FAE＝∠EAD，若BF＝8，FC＝2，则AF的长为　 　 ． 【答案】12． 【解答】解：延长AE、BC交于G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，BC＝AD， ∴∠DAE＝∠G， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∵∠AED＝∠CEG， 在△ADE和△GCE中， ， ∴△ADE≌△GCE（AAS）， ∴CG＝AD， ∵BF＝8，FC＝2， ∴BC＝8+2＝10， ∴CG＝AD＝10， ∴FG＝CG+FC＝10+2＝12， ∵∠FAE＝∠EAD， ∴∠FAE＝∠G， ∴AF＝FG＝12． 故答案为：12． 9．在矩形ABCD中，AB＝2，O是BD的中点，点E在直线AD上，且DE＝3，若△BOE与△DOE关于直线OE对称，则AD的长为　 ． 【答案】或． 【解答】本题考查了矩形性质，勾股定理，对称的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．解：因为△BOE与△DOE关于直线OE对称， 所以点B与点D关于直线OE对称，因此BE＝DE＝3． 在矩形ABCD中，AB＝2． 当点E在边AD上时，如图①， 在Rt△ABE中，∠A＝90°，由勾股定理得， 所以． 当点E在DA的延长线上时，如图②， 在Rt△ABE中，∠EAB＝90°，同理， 所以． 故AD的长为或． 故答案为：或． 10．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　） A．MB＝MO B．OMAC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 【答案】B 【解答】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OMAC，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN， 即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵OMAC， ∴MN＝AC， ∴四边形AMCN是矩形． 故选：B． 11．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（　　） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 【答案】A 【解答】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意； B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意； C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意； 故选：A． 12．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 【答案】B 【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意； B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意； C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，不符合题意； D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意． 故选：B． 13．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．若四边形EMFN是矩形，则原四边形ABCD应满足的条件是（　　） A．AC⊥BD B．∠ABC+∠DCB＝90° C．AC＝BD D．AB＝CD 【答案】B 【解答】解：∵E，F，N，M分别是AD，BC，BD，AC的中点， ∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF， ∴EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线， ∴，，，，EN∥AB，FN∥CD， ∴EN＝FM，FN＝EM， ∴四边形EMFN为平行四边形， 当AB⊥CD时，EN⊥FN，则此时平行四边形EGFH为矩形， 而当∠ABC+∠DCB＝90°可证明AB⊥CD， 故选：B． 14．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，且，求证：四边形CDEF是矩形． 【答案】∵AD＝DC，CF＝FB， ∴DFAB， ∵CEAB， ∴CE＝DF， ∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点， ∴DE、EF为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，EF∥AC， ∴四边形CDEF为平行四边形． ∵DF＝CE， ∴平行四边形CDEF为矩形． 【解答】证明：∵AD＝DC，CF＝FB， ∴DFAB， ∵CEAB， ∴CE＝DF， ∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点， ∴DE、EF为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，EF∥AC， ∴四边形CDEF为平行四边形． ∵DF＝CE， ∴平行四边形CDEF为矩形． 15．如图，在平行四边形ABCD中，O是边AD的中点，连接BO，并延长交CD的延长线相交于点E，连接AE、BD． （1）求证：△AOB≌△DOE； （2）请添加一个与线段BE有关的条件，使四边形ABDE为矩形．（不需要证明） 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DE， ∴∠ABO＝∠DEO，∠BAO＝∠EDO， ∵点O是AD的中点， ∴AO＝DO， ∴△AOB≌△DOE（AAS）； （2）BE＝AD（答案不唯一）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DE， ∴∠ABO＝∠DEO，∠BAO＝∠EDO， ∵点O是AD的中点， ∴AO＝DO， ∴△AOB≌△DOE（AAS）； （2）解：当BE＝AD时，四边形ABDE是矩形，理由如下： ∵△AOB≌△DOE， ∴AB＝DE， ∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵BE＝AD， ∴四边形ABDE是矩形． 16.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD的中点，G，H在对角线AC上，且，连接GF，EH． （1）求证：△AFG≌△CEH； （2）连接GE，FH，当AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形EHFG是矩形？请证明你的结论． 【答案】（1）见解析； （2）当AC＝2AB时，四边形EHFG是矩形，证明见解析． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠FAG＝∠ECH， ∵E，F分别是边BC和AD的中点， ∴AF＝CE， 在△AFG和△CEH中， ， ∴△AFG≌△CEH（SAS）； （2）解：当AC＝2AB时，四边形EHFG是矩形， 证明：连接EF交AC于O， 由（1）知，△AFG≌△CEH， ∴FG＝EH，∠AGF＝∠CHE， ∴∠FGH＝∠EHG， ∴FG∥HE， ∴四边形EHFG是平行四边形， ∴OG＝OH， ∵OA＝OC，， ∴OG＝OH＝AG＝CHAC， ∵AO＝OC，CE＝BE， ∴OEAB， ∵ABAC， ∴OEAC， ∴OE＝OG＝OF＝OH， ∴EF＝GH， ∴四边形EHFG是矩形． 17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，延长CF交AD于点P．当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由见解析． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF． ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴， ∴DF＝BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝OA． ∴AC＝2OA． ∵AC＝2AB， ∴OA＝AB， ∵E是OB的中点， ∴∠OEG＝90°， 同理可得∠OFC＝90°， ∴∠OEG+∠OFC＝180°， ∴CF∥EG． ∵OA＝OC，EG＝AE， ∴CG∥EF， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形． 18．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，OE垂直平分BC．求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O， ∴， ∵OE垂直平分BC， ∴OB＝OC， ∴2OB＝2OC，即AC＝BD， 所以四边形ABCD是矩形． 19．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F． （1）求证：△BDF≌△DCE； （2）下列是两位同学的对话： 小杰：若添加条件AB＝AC，则四边形AFDE是菱形． 小兰：若添加条件∠BAC＝90°，则四边形AFDE是矩形． 请选择其中一位同学的说法加以证明． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】（1）证明：∵D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠B＝∠CDF，∠BDE＝∠C， 在△BDF与△DCE中， ， ∴△BDF≌△DCE（ASA）； （2）解：选择小杰：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DF∥AC， ∴∠FDB＝∠C， ∴∠FDB＝∠B， ∴∠B＝∠C＝∠FDB＝∠EDC， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（ASA）， ∴DF＝DE， ∴平行四边形AFDE是菱形； 选择小兰：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AFDE是矩形． 20．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则EF的最小值是（　　） A．1.2 B．2.4 C．1.5 D．2.5 【答案】B 【解答】解：如图，连接MC， ∵∠ACB＝90°，ME⊥AC，MF⊥BC， ∴四边形MECF是矩形， ∴MC＝EF， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB， ∴CM⊥AB时，CM取得最小值，此时PF取得最小值， ∵， ∴CM， ∴EF长度的最小值是2.4． 故选：B． 21．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　） A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 【答案】A 【解答】解：连接CM，如图所示： ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEMF是矩形， ∴EF＝CM， ∵点P是EF的中点， ∴CPEF， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵△ABC的面积AB×CMAC×BC， ∴CM2.4， ∴CPEFCM＝1.2， 故选：A． 22．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是（　　） A．2.4＜x≤4 B．2.4≤x≤4 C．2.4＜x＜4 D．2.4≤x＜4 【答案】D 【解答】解：连接AP． ∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝36+64＝100，BC2＝100， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝∠BAC＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴AP＝EF， ∵∠BAC＝90°，M为EF中点， ∴AMEFAP， 当AP⊥BC时，AP值最小， 此时S△BAC6×810×AP， AP＝4.8， 即AP的范围是AP≥4.8， ∴2AM≥4.8， ∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）． 当P和C重合时，AM＝4， ∵P和B、C不重合， ∴x＜4， 综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4． 故选：D． 23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝10，AD＝8，EF＝8，则GH的最小值是　 　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接PA，PC，AC， ∴BC＝AD＝8，∠B＝∠BCD＝∠BAD＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∵PG⊥BC，PH⊥CD， ∴∠PHC＝∠PGC＝90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH＝PC， ∵P是线段EF的中点， ∴， 当AP+PC＝AC时，PC的值最小，即GH的值最小，最小值为， 故答案为：． 24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H．下列结论：①BD＝DG； ②；③CH＝EH；④．其中正确的有 　 　 （填正确的序号）． 【答案】①②③④． 【解答】解：连接DF、HF，如图所示： ∵∠ABC＝90°，BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， 由旋转得：△ABC≌△ADE， ∴AD＝AB，∠ADE＝90°，∠DEA＝∠DAE＝45°， ∴，∠BAE＝90°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴∠GFB＝90°，EF＝AB＝AD＝ED，∠DEF＝90°﹣∠AED＝45°， ∴∠GBF＝90°﹣∠ABD＝22.5°， ∵∠EDC＝∠EFC＝90°，ED＝EF，EC＝EC， ∴△EDC≌△EFC（HL）， ∴CD＝CF， ∴， ∴∠GFD＝90°﹣∠CFD＝67.5°＝∠FGD， ∴BD＝FD＝GD， ∴点D是BG的中点， 即BD＝DG，故①正确； ∵∠GDC＝∠ADB＝67.5°， ∴∠EDG＝90°﹣∠GDC＝22.5°， ∵△EDC≌△EFC， ∴， ∴DH＝EH， ∵∠HDC＝∠HCD＝67.5°， ∴DH＝CH， ∴CH＝EH＝DH，故③正确； ∵CH＝EH，∠EFC＝90°， ∴， ∵∠HDF＝∠DBF+∠DFB＝45°， ∴△HDF是等腰直角三角形， ∴， ∵CE＝2DH，BD＝DF， ∴，故②正确； 设DF交CE于O， ∵△HDF是等腰直角三角形，∠DHC＝∠FHC＝45°， ∴△DOH和△FOH都是等腰直角三角形， ∴OD＝OH＝OF， 设OD＝OH＝OF＝a， ∴DG＝DF＝2a，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 即，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 25．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵FC＝AE， ∴CD﹣FC＝AB﹣AE， 即DF＝BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴平行四边形DEBF是矩形； （2）解：∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵DC∥AB， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DFA＝∠DAF， ∴AD＝DF＝5， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE4， 由（1）得：四边形DEBF是矩形， ∴BF＝DE＝4． 26．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证BD＝CD； （2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． ②△ABC满足　 　 条件时，四边形AFBD是菱形（无需证明）． 【答案】（1）见解析； （2）①当AB＝AC时，四边形AFBD为矩形，理由见解析；②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠ECD． ∵E是AD的中点， ∴DE＝AE， 在△AEF与△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC， ∵AF＝BD， ∴BD＝CD； （2）解：①当AB＝AC时，四边形AFBD为矩形， 证明如下： ∵AF＝BD，AF∥BD， ∴四边形AFBD为平行四边形， ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC， ∴∠BDA＝90°， ∴四边形AFBD为矩形； ②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形． 证明：由①知四边形AFBD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，BD＝DC， ∴AD＝BD＝DC， ∴四边形AFBD是菱形． 27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，两直线相交于点E． （1）求证：四边形OBEC是矩形． （2）若，CE＝2，求菱形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵CE∥BD，BE∥AC， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形OBEC是矩形； （2）解：∵四边形OBEC是矩形， ∴OC＝BE，OB＝CE， ∵，CE＝2， ∴OC＝2，CE＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，BD＝2OB＝4， ∴菱形ABCD的面积． 28．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）连接EF，若AD＝18，AB＝12，AE＝5，求EF的长． 【答案】（1）在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC， ∵AE＝CF， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF， ∴DE＝BF， 又∵AD∥BC， ∴四边形DEBF是平行四边形． （2）． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC， ∵AE＝CF， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF， ∴DE＝BF， 又∵AD∥BC， ∴四边形DEBF是平行四边形． （2）解：过点E作EH⊥BC于点H，如图所示， ∴∠EHB＝∠EHF＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，AD＝18，AB＝12，AE＝5， ∴BC＝AD＝18，CF＝AE＝5，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠EHB＝∠A＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABHE是矩形， ∴EH＝AB＝12，BH＝AE＝5， ∴HF＝CB﹣CF﹣BH＝18﹣5﹣5＝8， 在Rt△EFH中，由勾股定理得． 29．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，在△AFC中，∠AFC＝90°，连接BE，BF，EF，若∠ACB＝50°，∠ECF＝24°，则∠EFB的度数为（　　） A．14° B．16° C．18° D．20° 【答案】B 【解答】解：∵∠ABC＝90°，点E为AC的中点， ∴EB＝ECAC， ∴∠ECB＝∠EBC＝50°， ∵∠AEB是△EBC的一个外角， ∴∠AEB＝∠EBC+∠ECB＝100°， ∵∠AFC＝90°，点E为AC的中点， ∴EF＝ECAC， ∴∠EFC＝∠ECF＝24°， ∵∠AEF是△ECF的一个外角， ∴∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝48°， ∴∠BEF＝∠AEB+∠AEF＝148°， ∵BEAC，EFAC， ∴BE＝EF， ∴∠EFB＝∠EBF16°， 故选：B． 30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝6，AC＝8，则DF的长为（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点， ∴AD＝CD， AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD， ∴四边形ADCE是菱形， 如图，过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝6，AC＝8， ∴BC＝10， ∴AH． ∵△AHD≌△DFC， ∵AD⊥DF， ∴∠ADH+∠FDC＝90°， ∵AH⊥BD， ∴∠ADH+∠DAH＝90°， ∴∠FDC＝∠DAH， ∵∠AHD＝∠DFC＝90°， ∵AD＝DF， ∴△AHD≌△DFC， ∴DF＝AH． 故选：C． 31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是三角形的中线，CE是三角形的一条内角平分线，若∠A＝65°，那么∠CED的度数是　 　 ． 【答案】110°． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB， ∴∠ACE∠ACB＝45°， ∴∠CED＝∠A+∠ACE＝65°+45°＝110°． 故答案为：110°． 32．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 　 　 ． 【答案】13 【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8， ∴在Rt△BCE中，EMBC＝4， 在Rt△BCF中，FMBC＝4， 又∵EF＝5， ∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝4+4+5＝13． 33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CEAE＝2，则CD＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接BE， ∵CEAE＝2， ∴AE＝6，AC＝8， 而根据作图可知MN为AB的垂直平分线， ∴AE＝BE＝6， 在Rt△ECB中，BC4， ∴AB4， ∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线， ∴CDAB＝2． 故答案为：2． 34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OC是斜边AB上的中线，AB＝8，则OC的长是 　　 ． 【答案】4 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OC是斜边AB上的中线，AB＝8， ∴OCAB＝4， 故答案为：4． 35．直角三角形斜边的中线长是4cm，则它的两条直角边中点的连线长为 　　 cm． 【答案】4 【解答】解：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 所以斜边的长为2×4＝8cm， 所以它的两条直角边中点的连线长为8＝4cm． 故答案为：4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 矩形的性质与判定 内 容 导 航 题型1 矩形的性质 题型2 矩形的判定 题型3 矩形的判定与性质 题型4 直角三角形斜边上的中线 考 点 演 练 题型1 矩形的性质 解｜题｜知｜识 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【典例1】如图，把3个相同的矩形填充到菱形ABCD中，已知菱形ABCD的周长为，则每个矩形的周长为（　　） A． B．4cm C． D．8cm 【变式1】如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形ODMA，OBNC都是矩形，若AB＝3，CD＝2，则OM2+ON2＝（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 【变式2】矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图2是它的平面示意图．行李箱的正面可看成一个矩形．若AC＝70cm，则下列说法正确的是（　　） A．BD＜70cm B．BD＝70cm C．BD＞70cm D．无法确定BD的长 题型2 矩形的判定 解｜题｜知｜识 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 【典例1】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得▱ABCD是矩形（　　） A．AB＝AD B．∠ABC＝∠BCD C．∠ABD＝∠CBD D．AO⊥BO 【变式1】如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（　　） A．AB∥CD B．AB＝BC C．∠B＝∠D D．AC＝BD 【变式2】已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 【变式3】以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B．OA＝OB＝OC＝OD C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD 题型3 矩形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【典例1】如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 【变式1】如图，在等边△ABC中，，BD⊥BC交∠BCA的平分线于点D，点E为BD上一点，点F为CD上一点，DE＝CF，连接AE、AF，则AE+AF的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　） A．8 B．6 C．4.8 D．2.4 【变式3】下列说法正确的有（　　）个． ①菱形的对角线相等； ②对角线互相垂直的四边形是菱形； ③有两个角是直角的四边形是矩形； ④正方形既是菱形又是矩形； ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分． A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 直角三角形斜边上的中线 解｜题｜知｜识 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【典例1】直角三角形两直角边长为6和8，则此三角形斜边上的中线的长是（　　） A．10 B．5 C．4 D．3 【变式1】一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝6cm，D是AC的中点，则BD的长为（　　） A．3cm B． C．6cm D．6.5cm 【变式3】如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形ABCD进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在AD边上的点O处，则∠DAC的度数为（　　） A．30° B．20° C．条件不足，无法计算 D．22.5° 3．如图，平面直角坐标系中，点A（0，2），点C（4，0），四边形AOCB是矩形，AC与BO交于M，以点O为圆心，OM的长为半径作圆弧交x轴于点N，则点N的横坐标为（　　） A．2 B．3 C． D． 4．如图，在矩形ABCD中，AE＝3，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE．则BD的长是（　　） A． B．6 C． D．12 5．如图，已知矩形OABC的顶点O（0，0），C（0，3），对角线AC，OB相交于点D．按以下步骤作图：①分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，连接MN恰好经过点B，若MN交x轴于点E，则点E的坐标为（　　） A． B．（3，0） C． D． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点点B的坐标是（2，3），则线段AC的长度为（　　） A． B． C． D．5 7．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（　　） ①∠AEF＝60°；②FC＝2DF；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，点E为矩形ABCD边CD的中点，点F为边上一点，且∠FAE＝∠EAD，若BF＝8，FC＝2，则AF的长为　 　 ． 9．在矩形ABCD中，AB＝2，O是BD的中点，点E在直线AD上，且DE＝3，若△BOE与△DOE关于直线OE对称，则AD的长为　 ． 10．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　） A．MB＝MO B．OMAC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 11．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（　　） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 12．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 13．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．若四边形EMFN是矩形，则原四边形ABCD应满足的条件是（　　） A．AC⊥BD B．∠ABC+∠DCB＝90° C．AC＝BD D．AB＝CD 14．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，且，求证：四边形CDEF是矩形． 15．如图，在平行四边形ABCD中，O是边AD的中点，连接BO，并延长交CD的延长线相交于点E，连接AE、BD． （1）求证：△AOB≌△DOE； （2）请添加一个与线段BE有关的条件，使四边形ABDE为矩形．（不需要证明） 16.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD的中点，G，H在对角线AC上，且，连接GF，EH． （1）求证：△AFG≌△CEH； （2）连接GE，FH，当AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形EHFG是矩形？请证明你的结论． 17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，延长CF交AD于点P．当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 18．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，OE垂直平分BC．求证：四边形ABCD是矩形． 19．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F． （1）求证：△BDF≌△DCE； （2）下列是两位同学的对话： 小杰：若添加条件AB＝AC，则四边形AFDE是菱形． 小兰：若添加条件∠BAC＝90°，则四边形AFDE是矩形． 请选择其中一位同学的说法加以证明． 20．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则EF的最小值是（　　） A．1.2 B．2.4 C．1.5 D．2.5 21．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　） A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 22．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是（　　） A．2.4＜x≤4 B．2.4≤x≤4 C．2.4＜x＜4 D．2.4≤x＜4 23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝10，AD＝8，EF＝8，则GH的最小值是　 　 ． 24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H．下列结论：①BD＝DG； ②；③CH＝EH；④．其中正确的有 　 　 （填正确的序号）． 25．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长． 26．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证BD＝CD； （2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． ②△ABC满足　 　 条件时，四边形AFBD是菱形（无需证明）． 27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，两直线相交于点E． （1）求证：四边形OBEC是矩形． （2）若，CE＝2，求菱形ABCD的面积． 28．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）连接EF，若AD＝18，AB＝12，AE＝5，求EF的长． 29．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，在△AFC中，∠AFC＝90°，连接BE，BF，EF，若∠ACB＝50°，∠ECF＝24°，则∠EFB的度数为（　　） A．14° B．16° C．18° D．20° 30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝6，AC＝8，则DF的长为（　　） A． B．4 C． D．5 31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是三角形的中线，CE是三角形的一条内角平分线，若∠A＝65°，那么∠CED的度数是　 　 ． 32．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 　 　 ． 33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CEAE＝2，则CD＝　 　 ． 34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OC是斜边AB上的中线，AB＝8，则OC的长是 　　 ． 35．直角三角形斜边的中线长是4cm，则它的两条直角边中点的连线长为 　　 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $