5.4.2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用二次函数图象求一元二次方程近似根”，核心知识点为二次函数与x轴交点横坐标即方程根，通过区间逼近法确定根的范围。课堂导入以问题“估计x²+2x-10=0的根”切入，结合图象观察先定位根的大致区间，再用计算器列表计算缩小区间，搭建从直观到精确的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，通过“作图-定位-列表-比较”四步流程，结合实例（如x²+2x-10=3转化为函数y=x²+2x-13求根）培养学生数学思维。资料包含专项练习、举一反三及考试考法，帮助学生形成模型意识，教师可借助清晰步骤和多样例题提升教学效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第五章 二次函数 5.4.2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学5.4.2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根专项练习 核心知识点回顾：利用二次函数图象求一元二次方程近似根，核心依据：一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$的根，对应二次函数$$y=ax^2+bx+c$$图象与x轴交点的横坐标。当方程无法快速因式分解或根为无理数时，可通过图象观察、取值试算、区间逼近法求近似根。核心方法：观察函数值正负变化，若相邻两个自变量对应的函数值一正一负，则方程的根在这两个自变量之间；不断缩小取值区间，即可得到符合精度要求的近似实数根。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 利用二次函数图象求方程近似根，本质是寻找抛物线与x轴交点的（） A. 纵坐标 B. 横坐标 C. 原点距离 D. 对称轴距离 2. 若函数$$y=x^2-2x-1$$，当x=2时y=-1，x=3时y=2，则方程$$x^2-2x-1=0$$的一个根在（） A. 2～3之间 B. 1～2之间 C. 3～4之间 D. -1～0之间 3. 当二次函数两个相邻自变量的函数值满足什么条件时，区间内存在方程的根（） A. 同为正数 B. 同为负数 C. 一正一负 D. 数值相等 4. 图象估根适用于哪种一元二次方程（） A. 整数根方程 B. 无法精准求解、含无理根的方程 C. 无实数根方程 D. 重根方程 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 方程$$ax^2+bx+c=0$$的近似根，就是抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与________交点的横坐标。 6. 若x₁、x₂对应的函数值一正一负，则方程必有一个根在________之间。 7. 二次函数$$y=x^2-3x+1$$，x=0时y=1，x=1时y=-1，则一根在________之间。 8. 图象估根的核心思想是________区间逼近，逐步提高根的精确度。 三、解答题（共56分） 9.（18分）简述利用二次函数图象求一元二次方程近似根的完整步骤。 10.（18分）已知二次函数$$y=x^2-2x-2$$，通过取值试算，确定方程$$x^2-2x-2=0$$正根的取值区间（精确到0.1）。 11.（20分）结合函数图象性质，说明为什么函数值一正一负的区间内必然存在方程的实数根。 参考答案与详细解析 1. B 解析：函数图象与x轴交点处y=0，对应方程的根，交点横坐标即为方程的解。 2. A 解析：x=2时函数值为负，x=3时函数值为正，正负交替，根在2至3区间内。 3. C 解析：函数值跨零点正负变化，说明图象穿过x轴，区间内存在零点即方程实数根。 4. B 解析：整数根、重根可直接求解，无实根无交点，图象估根用于无理近似根求解。 5. x轴 6. $$x_1、x_2$$ 7. 0～1 解析：0到1之间函数值由正变负，图象穿过x轴，存在实数根。 8. 缩小 9. 解：①构造二次函数$$y=ax^2+bx+c$$；②画出或分析函数图象，确定与x轴交点大致区间；③在区间内取值试算，根据函数值正负锁定根的范围；④不断缩小区间，逐步逼近，得到符合精度的近似根。 10. 解：取值计算：x=2时y=-2，x=3时y=1，正根在2～3之间；x=2.7时y=-0.11，x=2.8时y=0.24，函数值正负交替。因此方程正根近似值为2.7（精确到0.1）。 11. 解：二次函数是连续光滑的抛物线，无间断断点。若两个自变量对应的函数值一正一负，说明函数图象在该区间内从x轴一侧跨越到另一侧，图象必然与x轴产生交点，交点横坐标即为方程实数根，因此该区间内一定存在方程的根。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 问题 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x²+2x-10=0的根吗? 如图是函数y=x²+2x-10的图象。 由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间， 另一个在2和3之间。 思考：一元二次方程x²+2x-10=0的根与二次函数y=x²+2x-10的图象与x轴交点的横坐标有什么关系？ 探究新知 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 问题 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x²+2x-10=0的根吗? 如图是函数y=x²+2x-10的图象。 由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间， 另一个在2和3之间。 如何确定它们的十分位？ 探究新知 问题 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x²+2x-10=0的根吗? (1)先求-5和-4之间的根。如图，利用计算器进行探索： 因此，x=-4.3是方程的一个近似根。 x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 注意：之所以取x=-4.3作为方程的近似根而不是x=-4.4，是因为当x=-4.3时，其函数值 更接近0。 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 问题 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x²+2x-10=0的根吗? (2)另一个根可以类似地求出： 因此，x=2.3是方程的另一个近似根。 x 2.1 2.2 2.3 2.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 思考：我们得出的结论是否正确？你能用我们学过的知识进行验证吗？ 可以用一元二次方程的求根公式验证。 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 ∴x1=x2= 问题 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x²+2x-10=0的根吗? (2)另一个根可以类似地求出： 因此，x=2.3是方程的另一个近似根。 x 2.1 2.2 2.3 2.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 利用二次函数y=ax²+bx+c的图象求一元二次方程ax²+bx+c=0的近似根： (1)作图：作出二次函数y=ax²+bx+c的图象。 (2)定位：确定二次函数的图象与x轴交点的个数，看交点在哪两个整数之间。 (3)列表：在两个整数之间取值，借助计算器用表格的形式求出相应的y值，当x由x₁取到x₂时，对应的y值出现y₁和y₂异号且|y₁|≠|y₂|时，x₁，x₂中必有一个是方程的近似根。 (4)比较：比较|y₁|和|y₂|，若|y₁|<|y₂|，则x₁是方程的近似根；若|y₁|>|y₂|，则x₂是方程的近似根。 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 知识点 用图象法求一元二次方程的近似根 1.根据下面表格中的对应值，判断方程（， ， ，为常数）的一个解 的取值范围是( ) 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 C A. B. C. D. 返回 举一反三 8 （第2题） 2.如图是函数 的图象，对称轴为直 线，则方程的负数解 的取 值范围是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 9 （第3题） 3.［教材随堂练习 变式］利用函数图象求 的实数根为___________________ （结果保留小数点后一位）。 或 返回 举一反三 10 如何利用如图所示的二次函数图象求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根? 将一元二次方程变形为x²+2x-13=0 。 由图可知此一元二次方程有两个根， 一个根在-5和-4之间，另一个根在2和3之间。 y y=x²+2x-13 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 如何利用如图所示的二次函数图象求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根? 先求-5和-4之间的根，利用计算器进行探索： 因此，x=-4.7是方程的一个近似根。 x -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 y 1.21 0.44 -0.31 -1.04 y y=x²+2x-13 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 如何利用如图所示的二次函数图象求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根? 然后求2和3之间的根，利用计算器进行探索： 因此，x=2.7是方程的另一个近似根。 x 2.5 2.6 2.7 2.8 y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 y y=x²+2x-13 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 利用图象法求一元二次方程-x²+2x+5=0的近似根。 解：令y=-x²+2x+5，画出二次函数的图象如图所示。 由图象可知，方程有两个实数根，一个在-2和-1之间，另一个在3和4 之间。 先求在-2和-1之间的根，利用计算器进行探索，如下表： 因此，x=-1.4是方程的一个近似根。 例1 x -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 -1.5 y 1.59 1.16 0.71 0.24 -0.25 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 利用图象法求一元二次方程-x²+2x+5=0的近似根。 解：令y=-x²+2x+5，画出二次函数的图象如图所示。 由图象可知，方程有两个实数根，一个在-2和-1之间，另一个在3和4 之间。 再求在3和4之间的根，利用计算器进行探索，如下表： 因此，x=3.4是方程的另一个近似根。 所以方程-x²+2x+5=0的近似根为x₁=-1.4，x₂=3.4。 例1 x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y 1.59 1.16 0.71 0.24 -0.25 知识点1 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 4. 如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为 ， ，则方程 的一个解可能是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 16 5.已知二次函数中部分和 的值如下表所示： 0.25 0.56 0.89 则方程 的一个较大的根的范围是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 17 （第1题） 1.[天津期末] 已知二次函数 的图象如图所示，当 时， 的取值范围是( ) A A. B. C. D.或 返回 考试考法 18 （第2题） 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点，对称轴为直线 。 当时， 的取值范围是( ) D A. B. C. D.或 返回 考试考法 19 3.如图，一次函数 与二次函数 的图象相交于 ， 两点，则关于 的不等式 的解集为( ) A A. B. C. D.或 返回 考试考法 20 用图象法求一元二次方程的近似根 （作图；定位；列表；比较） 二次函数与一元二次方程 课堂小结 谢谢观看 THANKS $