☆ 问题解决活动：怎样围面积最大课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决面积优化问题，以“篱笆围矩形”经典问题导入，通过校园菜园、劳动实践基地等情境，构建从基础计算到最值探究的学习支架，衔接二次函数性质与实际应用。 其亮点在于以真实情境引导学生用数学眼光发现问题，通过问题链培养数学思维（推理与运算能力），用函数表达式和图表等数学语言表达模型。采用项目式学习和分层训练，学生能提升应用意识，教师可高效实施教学。

第五章　二次函数 ☆ 问题解决活动：怎样围面积最大 　 1 用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，如何设计长和宽才能使围成的面积最 大？这是一个经典的优化问题，我们可以用二次函数的知识完美解决. 　 【例1】综合与实践 矩形菜园最大面积探究 情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面 积问题.若校园空地上有一面墙（长度12 m），用22 m长的篱笆围出 一个矩形菜园. 　 问题 初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和22 m长的 篱笆围出矩形菜园ABCD，设CD＝x m，矩形菜园 的面积为S m2.完成下题： （1）BC＝ m.（用含x的代数式表 示） （2）若矩形菜园面积为56 m2，则AB的长为多少 米？ （22－2x） 解析：设CD＝x m，则BC＝（22－2x）m. 故答案为（22－2x）. 　 （2）若矩形菜园面积为56 m2，则AB的长为多少米？ 解：根据题意，得x（22－2x）＝56， 整理得x2－11x＋28＝0，解得x1＝4，x2＝7. ∵22－2x≤12， ∴x≥5， ∴x＝7. 答：AB的长为7米. 　 问题 续探 （3）矩形菜园面积能否超过56 m2？如果能，请在图 2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边 长）. 解：由题意得S＝x（22－2x）＝－2x2＋22x＝－2 （x2－11x）＝－2（x－5.5）2＋60.5， ∵－2＜0， ∴当x＝5.5时，S有最大值，最大值为60.5， 此时AB＝22－2×5.5＝11（m）， 矩形菜园面积最大的方案示意图，如图所示， ∴矩形菜园面积能超过56 m2. 　 如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD. 当AB＝5 m时，花圃面积 为 m2，花圃ABCD面积的最大值为 m2. 45 ​ 　 【例2】项目式学习 主题 矩形劳动实践基地最大面积探究 背景 习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造.”为 促进学生全面发展、健康成长，某校计划在校园围墙内建一个矩形 劳动实践基地，其中一边靠墙. 素材 绘制设计 如图，兴趣小组利用墙和篱笆围出这个矩形劳动实践基 地，在平行于墙的边上留一个1米宽的门. 　 素材 操作测量 经测量，墙长为18米，另外三边用长为29米的篱笆围成 （门除外）； 数学建模 设垂直于墙的一边长为x米，其中6≤x＜15，平行于墙 的一边长为y米，矩形劳动实践基地的面积为S平方米. 　 任务 （1）请直接写出y与x，S与x的函数表达式； （2）当S＝100平方米时，求垂直于墙的一边长； （3）兴趣小组根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14米，垂直 于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求 出这个最大值. 解：（1）∵2x＋y＝29＋1， ∴y＝－2x＋30（6≤x＜15）， ∴S＝x（－2x＋30）＝－2x2＋30x（6≤x＜15）. 　 解：（2）当S＝100时，－2x2＋30x＝100，解得x1＝5，x2＝10. ∵6≤x＜15， ∴x＝10. 答：垂直于墙的一边长为10 m. 　 解：（3）∵－2x＋30≤14，解得x≥8， ∴8≤x＜15， S＝－2x2＋30x＝－2（x－ ）2＋ . ∵a＝－2＜0， ∴开口向下. ∵对称轴为直线x＝ ， ＜8， ∴当8≤x＜15时，S随x的增大而减小， ∴当x＝8时，S最大值＝112. 答：垂直于墙的一边长为8 m时，这个矩形劳动实践基地面积最大，最大值 为112 m2. 　 某兴趣小组接到美化校园一角的任务.如图，同学们计划借助直 角墙角∠BAD（两边足够长）围一个矩形花园ABCD，并在CD上留宽为1 m的门.同学们购买了35 m长的篱笆，设AB＝x m，花园的面积为S m2.完成 下列作答. （1）当S＝288时，求x的值. 解：由题可知，BC＋CD＝35＋1＝36（m）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝x m， ∴BC＝（36－x）m， ∴S＝x（36－x）. 当S＝288时，288＝x（36－x），解得x1＝12，x2＝24. 答：x的值为12或24. 　 （2）如图，点P处有一棵树与墙AD的距离是20 m，要将这棵树围在花园内 （含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值. 解：将S＝x（36－x）变形为S＝－（x－18）2＋324. 由函数表达式可知，S关于x的二次函数图象开口向下，当x＞18时，S随x 的增大而减小. ∵x≥20， ∴当x＝20时S最大. 把x＝20代入S＝x（36－x），得S＝320. 答：花园面积的最大值为320 m2. 　 1. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，用40米长 的篱笆围成一个矩形花园ABCD（墙足够长，篱笆只围AB，BC两边），设 AB＝x米，花园面积为S平方米. （1）写出S关于x的函数表达式，当S＝256时，求x的值； 解：由题意得S＝x（40－x）＝－x2＋40x， 当S＝256时，－x2＋40x＝256， 整理得x2－40x＋256＝0，解得x1＝32，x2＝8， ∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋40x；当S＝256时，x的值为32或8. 　 （2）求花园面积最大时AB的长，并求此时S的值. 解：S＝－x2＋40x＝－（x－20）2＋400， ∵－1＜0， ∴当x＝20时，S最大＝400. ∴花园面积最大时AB的长为20米，此时S的值为400平方米. 　 2. 如图，有长为24 m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为15 m），设花圃的宽AB为x m，面积为S m2. （1）求S与x的函数表达式及x值的取值范围； 解：根据题意，得S＝x（24－3x）， 即所求的函数表达式为S＝－3x2＋24x. 又∵0＜24－3x≤15， ∴3≤x＜8. 　 （2）要围成面积为36 m2的花圃，AB的长是多少米？ 2. 如图，有长为24 m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为15 m），设花圃的宽AB为x m，面积为S m2. 解：根据题意，设AB的长为x m，则BC的长为（24－3x）m， ∴－3x2＋24x＝36， 整理，得x2－8x＋12＝0，解得x＝2或6. ∵3≤x＜8， ∴x＝6， ∴AB的长为6 m. 　 （3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？ 解：S＝24x－3x2＝－3（x－4）2＋48， ∵3≤x＜8，且对称轴为直线x＝4，开口向下， ∴当AB的长是4 m时，围成的花圃的面积最大. 2. 如图，有长为24 m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为15 m），设花圃的宽AB为x m，面积为S m2. 　 3. 如图，现利用一面长度为10 m的墙，以及21 m长的篱笆围一个矩形菜园 ABCD，为了方便进出，在BC边上开了一个宽度为1 m的小门.当AB为多少 米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 解：设AB长为x m，矩形面积为S m2， 则S＝x（22－2x）＝－2x2＋22x. ∵a＝－2＜0， ∴对称轴为直线x＝－ ＝5.5， 二次函数图象开口向下. ∵0＜22－2x≤10， ∴6≤x＜11， ∴当x＝6时，S取得最大值，为6×（22－2×6）＝6×10＝60（m2）. 答：当AB为6 m时，矩形面积最大，最大面积为60 m2. 　 4. 用一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的菜园，有如下两种方案： 方案一：如图1，围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，其余的三边 AB，BC，CD用篱笆，其中AD≥AB； 方案二：如图2，围成一个扇形菜园，一条半径EF是墙，其余用篱笆. 小明同学认为方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最 大面积，请你通过计算说明小明同学说法是否正确. 　 解：小明同学说法不正确.理由如下： 方案一：设AB边长为x m，矩形ABCD面积为S1 m2，则AD边长为（36－ 2x）m， ∴S1＝x（36－2x）＝－2x2＋36x＝－2（x－9）2＋162， ∵－2＜0， ∴当x＝9时，S1有最大值为162 m2， 此时AB＝9 m，AD＝36－2×9＝18（m）＞9 m，满足题意. 　 方案二：设EF＝r m，扇形菜园面积为S2 m2，则弧长为（36－r）m， ∴S2＝ lr＝ ×（36－r）r ＝－ （r－18）2＋162， ∵－ ＜0， ∴当r＝18时，S2有最大值为162 m2， ∴两种方案最大面积相等，小明同学说法不正确. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：（1）（22－2x）　 解析：设CD＝x m，则BC＝（22－2x）m. 故答案为（22－2x）. （2）根据题意，得x（22－2x）＝56， 整理得x2－11x＋28＝0，解得x1＝4，x2＝7. ∵22－2x≤12，∴x≥5，∴x＝7. 答：AB的长为7米. 　 （3）由题意得S＝x（22－2x）＝－2x2＋22x＝－2（x2－11x）＝－2（x －5.5）2＋60.5， ∵－2＜0， ∴当x＝5.5时，S有最大值，最大值为60.5， 此时AB＝22－2×5.5＝11（m）， 矩形菜园面积最大的方案示意图，如图所示， ∴矩形菜园面积能超过56 m2. 　 变式训练1　45　 【例2】　解：（1）∵2x＋y＝29＋1， ∴y＝－2x＋30（6≤x＜15）， ∴S＝x（－2x＋30）＝－2x2＋30x（6≤x＜15）. （2）当S＝100时，－2x2＋30x＝100，解得x1＝5，x2＝10. ∵6≤x＜15，∴x＝10. 答：垂直于墙的一边长为10 m. 　 （3）∵－2x＋30≤14，解得x≥8， ∴8≤x＜15， S＝－2x2＋30x＝－2（x－ ）2＋ . ∵a＝－2＜0， ∴开口向下. ∵对称轴为直线x＝ ， ＜8， ∴当8≤x＜15时，S随x的增大而减小， ∴当x＝8时，S最大值＝112. 答：垂直于墙的一边长为8 m时，这个矩形劳动实践基地面积最大，最大值 为112 m2. 　 变式训练2　解：（1）由题可知，BC＋CD＝35＋1＝36（m）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝x m， ∴BC＝（36－x）m， ∴S＝x（36－x）. 当S＝288时，288＝x（36－x），解得x1＝12，x2＝24. 答：x的值为12或24. 　 （2）将S＝x（36－x）变形为S＝－（x－18）2＋324. 由函数表达式可知，S关于x的二次函数图象开口向下，当x＞18时，S随x 的增大而减小. ∵x≥20， ∴当x＝20时S最大. 把x＝20代入S＝x（36－x），得S＝320. 答：花园面积的最大值为320 m2. 　 【随堂小测】 1. 解：（1）由题意得S＝x（40－x）＝－x2＋40x， 当S＝256时，－x2＋40x＝256， 整理得x2－40x＋256＝0，解得x1＝32，x2＝8， ∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋40x；当S＝256时，x的值为32或8. （2）S＝－x2＋40x＝－（x－20）2＋400， ∵－1＜0， ∴当x＝20时，S最大＝400. ∴花园面积最大时AB的长为20米，此时S的值为400平方米. 　 2. 解：（1）根据题意，得S＝x（24－3x）， 即所求的函数表达式为S＝－3x2＋24x. 又∵0＜24－3x≤15，∴3≤x＜8. （2）根据题意，设AB的长为x m，则BC的长为（24－3x）m， ∴－3x2＋24x＝36， 整理，得x2－8x＋12＝0，解得x＝2或6. ∵3≤x＜8，∴x＝6，∴AB的长为6 m. （3）S＝24x－3x2＝－3（x－4）2＋48， ∵3≤x＜8，且对称轴为直线x＝4，开口向下， ∴当AB的长是4 m时，围成的范围的面积最大. 　 3. 解：设AB长为x m，矩形面积为S m2， 则S＝x（22－2x）＝－2x2＋22x. ∵a＝－2＜0， ∴对称轴为直线x＝－ ＝5.5，二次函数图象开口向下. ∵0＜22－2x≤10，∴6≤x＜11， ∴当x＝6时，S取得最大值，为6×（22－2×6）＝6×10＝60（m2）. 答：当AB为6 m时，矩形面积最大，最大面积为60 m2. 　 4. 解：小明同学说法不正确.理由如下： 方案一：设AB边长为x m，矩形ABCD面积为S1 m2，则AD边长为（36－ 2x）m， ∴S1＝x（36－2x）＝－2x2＋36x＝－2（x－9）2＋162， ∵－2＜0，∴当x＝9时，S1有最大值为162 m2， 此时AB＝9 m，AD＝36－2×9＝18（m）＞9 m，满足题意. 方案二：设EF＝r m，扇形菜园面积为S2 m2，则弧长为（36－r）m， ∴S2＝ lr＝ ×（36－r）r ＝－ （r－18）2＋162， ∵－ ＜0，∴当r＝18时，S2有最大值为162 m2， ∴两种方案最大面积相等，小明同学说法不正确. 　 $