5.3.3利用二次函数求最大利润问题-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决最大利润问题，核心知识点涵盖总利润公式、解题步骤及自变量取值范围检验。通过回顾二次函数性质，结合服装厂批发、旅馆日租金等实际情境问题导入，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以丰富实际情境（如果园产量、粽子销售）培养数学眼光，强调自变量取值范围的现实意义。通过规范解题步骤（设未知数、列函数、求最值）发展数学思维，引导学生用函数模型表达利润关系提升数学语言能力。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助系统例题与练习提高教学效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第五章 二次函数 5.3.3利用二次函数求最大利润问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学5.3.3利用二次函数求最大利润问题专项练习 核心知识点回顾：最大利润问题是二次函数重要实际应用题型，解题核心公式：总利润＝单件利润×销售数量。解题通用步骤：根据题意设涨价或降价的未知数，分别表示出变化后的单件利润与销售数量，代入公式列出二次函数解析式。此类函数一般为开口向下的抛物线，顶点处取得最大值。解题关键：实际问题中自变量具有实际取值范围（价格、销量均为正数），必须检验顶点横坐标是否在取值范围内，在范围内可取顶点最值，不在范围内则在区间端点取最值。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 商品销售利润计算的核心公式是（） A. 总利润＝售价－进价 B. 总利润＝单件利润×销售数量 C. 总利润＝销售额－成本 D. 总利润＝单件利润÷销量 2. 某销售利润函数为$$y=-3x^2+60x+120$$，该函数的最值情况是（） A. 有最大利润 B. 有最小利润 C. 无最值 D. 无法判断 3. 商品涨价销量减少、降价销量增加，求解实际最大利润首先要确定（） A. 函数对称轴 B. 自变量取值范围 C. 函数开口方向 D. 商品进价 4. 利润函数$$y=-(x-10)^2+300$$，在有效取值范围内的最大利润是（） A. 10 B. 290 C. 300 D. 310 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 二次函数解决利润问题的核心公式：总利润=________×________。 6. 利润二次函数$$y=ax^2+bx+c$$，当________时，抛物线开口向下，存在最大利润。 7. 商品进价8元，售价为x元，则该商品的单件利润为________元。 8. 利润函数$$y=-2x^2+16x+80$$，当x=________时，利润取得最大值。 三、解答题（共56分） 9.（18分）某商品进价每件15元，售价25元时，每日可售出80件。售价每涨价1元，日销量减少4件，设涨价x元，日总利润为y元，求商品的最大日利润及对应售价。 10.（18分）某文具进价每件10元，原价销售每日可卖出60件。市场调查发现，每件降价1元，每日销量增加15件，设降价x元，日利润为y元，求最大日利润。 11.（20分）某商品进价30元，售价50元时每周可卖出200件，每涨价2元，周销量减少20件，求该商品每周可获得的最大利润以及对应销售价格。 参考答案与详细解析 1. B 解析：总利润标准计算公式为单件利润乘以销售数量，是利润题型解题基础。 2. A 解析：二次项系数a=−3＜0，抛物线开口向下，函数存在最大值，对应最大利润。 3. B 解析：价格、销量均为正整数，自变量存在取值限制，必须先确定取值范围再求最值。 4. C 解析：顶点式抛物线开口向下，顶点纵坐标为函数最大值，即最大利润300。 5. 单件利润；销售数量 6. $$a<0$$ 7. $$x-8$$ 8. 4 解析：由对称轴公式$$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{16}{-4}=4$$，此时利润最大。 9. 解：涨价x元后，单件利润为$$25-15+x=10+x$$，日销量为$$80-4x$$。列解析式：$$y=(10+x)(80-4x)=-4x^2+40x+800$$。$$a=-4<0$$，对称轴$$x=5$$，符合取值范围。当$$x=5$$时，最大利润$$y=900$$元，对应售价30元。答：售价30元时，最大日利润为900元。 10. 解：降价x元后，单件利润为$$10-x$$，日销量为$$60+15x$$。列解析式：$$y=(10-x)(60+15x)=-15x^2+90x+600$$。对称轴$$x=3$$，代入得最大利润$$y=735$$元。答：最大日利润为735元。 11. 解：设涨价x次，每次涨价2元，单件利润为$$20+2x$$，周销量为$$200-20x$$。列解析式：$$y=(20+2x)(200-20x)=-40x^2+3600x+4000$$。对称轴$$x=4.5$$，取整数验证得x=4或5时，最大利润7200元，对应售价58元或60元。答：最大周利润7200元。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识点1 利用二次函数解决实际问题 问题 服装厂生产某品牌的短袖上衣，成本是每件20元。根据市场调查，以26元的单价批发给经销商，经销商愿意购进5 000件，并且表示批发单价每降0.5元，愿意多购进500件。为了获得最大利润，该服装厂应将批发单价定为多少? 若设厂家将批发单价定为x元。 (1)每件上衣的利润可以表示为 。 (2)销量可以表示为 。 （x-20）元 件 探究新知 知识点1 利用二次函数解决实际问题 解：设厂家将批发单价定为x元，获得的利润是y元。 由题意，得y=(5 000+×500)(x-20)， 整理，得y=-1 000(x-31)(x-20) =-1 000(x-25.5)²+30 250。 ∵a =-1 000<0，且20<x≤26， ∴当x=25.5时，二次函数有最大值。 因此，厂家将批发单价定为25.5元时可以获利最多。 探究新知 知识点1 利用二次函数解决实际问题 二次函数解决最大利润问题： 步骤：(1)建立利润与价格之间的函数关系式； (2)结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3)在自变量的取值范围内确定最大利润。 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出。 探究新知 知识点1 利用二次函数解决实际问题 二次函数解决最大利润问题： 常见的数量关系： 利润=售价-成本， 总利润=每件商品的利润×销量， 利润率=×100%。 探究新知 某旅馆有客房120间，当每间客房的日租金为160元时，每天都客 满。经市场调查发现，每间客房的日租金增加10元，每天客房出租数就会减少6间。如果不考虑其他因素，那么该旅馆将每间客房的日租金增加到多少元时，客房日租金的总收入最高?最高总收入是多少? 例1 知识点1 利用二次函数解决实际问题 探究新知 解：设每间客房的日租金增加10x元，客房日租金的总收入为y元，则每 天客房出租数减少6x间， y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)²+19 440。 ∵x≥0，且120-6x>0， ∴0≤x<20。 当x=2时，y取得最大值，y最大=19 440， 160+10x=160+10×2=180。 因此，每间客房的日租金增加到180元时，客房日租金的总收入最高，最 高总收入为19 440元。 知识点1 利用二次函数解决实际问题 探究新知 知识点1 最大利润问题 1.某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润（元）与降价 （元） 之间的关系式是 ，则获得的利润最大为( ) D A.15元 B.400元 C.800元 D.1 250元 返回 举一反三 8 2.某种商品每件进价为20元，调查发现：在某段时间内若以每件 元 （，且为整数）出售，可卖出 件，要使利润最大， 每件的售价应为( ) B A.24元 B.25元 C.28元 D.30元 返回 举一反三 9 3.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外。若按每吨5万元 出售，平均每天可售出 。市场调查反映：如果每吨降价1万元，平 均每天销售量相应增加 。该果商每吨降价____万元才能使每天的利 润最大。 0.5 返回 举一反三 10 问题 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高总产量，但如果多种树，树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 橙子的总产量y(单位：个)与增种橙子树的数量x(单位：棵)之间的关系式为y=(600-5x)(100+x)=-5x²+100x+60 000 知识点1 利用二次函数解决实际问题 探究新知 x 0 5 6 10 14 15 20 y 60 000 60 375 60 420 60 500 60 420 60 375 60 000 y=-5x²+100x+60 000 (1)在图中画出这个函数的图象，并描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。 列表、描点、连线，如图所示。 当0≤x<10时，橙子的总产量随橙子树的增种而增加； 当x=10时，橙子的总产量最大； 当10<x≤20时，橙子的总产量随橙子树的增种而减少。 知识点1 利用二次函数解决实际问题 探究新知 y=-5x²+100x+60 000 (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上? 由图象知，当增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、 11棵、12棵、13棵或14棵橙子树时，可以使橙子 的总产量在60400个以上。 知识点1 利用二次函数解决实际问题 探究新知 4.端午节前夕，某商店购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现： 日销售量（袋）与售价 （元/袋）满足如图所示的一次函数关系。 （1）求与 之间的函数表达式； 举一反三 14 解：设与之间的函数表达式为，将， 代入， 得解得 与之间的函数表达式为 。 举一反三 15 （2）当售价定为每袋多少元时，日销售利润最大？最大日销售利润是 多少元？ 解：设日销售利润为元，由题意得 ， ， 当时，有最大值，最大值为810， 当售价定 为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元。 返回 举一反三 16 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m。 例2 (4-4) 知识点1 利用二次函数解决实际问题 解析：如图，建立平面直角坐标系， 则A(-2，0)，B(2，0)，C(0，2)， 由此可设抛物线的表达式为y=ax²+2， 将点A(-2，0)的坐标代入，得a=-0.5， ∴抛物线的表达式为y=-0.5x²+2。 当y=-2时，-2=-0.5x²+2，解得x=±2， 故水面宽度增加（4-4）m。 探究新知 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m。 例2 (4-4) 知识点1 利用二次函数解决实际问题 实际生活中有很多问题可以转化为数学中的二次函数问题，如桥洞的形状、跳水运动的轨迹、球类飞行的轨迹、喷头喷出水的轨迹等问题。 探究新知 知识点1 利用二次函数解决实际问题 二次函数解决抛物线型实际问题： 步骤:①读懂题意，建立适当的平面直角坐标系; ②设出二次函数表达式，结合图形或已知条件，用待定系数法求出二次函数表达式; ③根据二次函数的图象和性质解决问题。 探究新知 知识点2 其他问题 5.某车的刹车距离与开始刹车时的速度 之间满足二次函数 ，若该车某次的刹车距离为 ，则开始刹车时的速度 为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 20 6.为加强劳动教育，某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现： ①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米 种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株， 平均单株产量减少0.8千克。设每平方米种植株 为整数，且 。已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番 茄，当每平方米种植___株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最 大产量为_____千克。 6 312 返回 举一反三 21 7.[淄博期中] 有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力 与讲 授概念所用时间 之间满足二次函数关系 。 值越大，表示接受能力越强。 根据这一结论回答下列问题： （1）将二次函数关系式化成顶点式； 解： 。 举一反三 22 （2）在什么范围内，学生的接受能力逐渐增强？ 在什么范围内，学 生的接受能力逐渐降低？ 解：当 时，学生的接受能力逐渐增强； 当 时，学生的接受能力逐渐降低。 返回 举一反三 23 8.某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月 可销售200个。经调查发现，每个该电子产品售价每涨价1元，其每月的 销售量就减少8个。设每个电子产品涨价 元，以下说法错误的是( ) D A.每售出一个该电子产品，其利润为 元 B.每月的销售量为 个 C.涨价越多赚的越少 D. 返回 举一反三 24 二次函数的应用 解决实际问题 最大利润问题 抽象 数学 构建 二次函 利用二次函数的 问题 数模型 图象和性质求解 抛物线形实际问题 课堂小结 谢谢观看 THANKS $