5.5《问题解决活动：怎样围面积最大》 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决实际最值问题，通过张伯伯用60m篱笆围鸭舍的情境导入，从无墙到有墙再到不同墙长限制，搭建几何问题转化为二次函数建模的学习支架，衔接二次函数最值规律与实际应用。 其亮点是以问题链驱动探究，如情境启航的4个问题引导学生用数学眼光观察现实，协作破冰的分类表格培养数学思维的推理意识，教师示范拓展到半圆和墙角围法强化模型观念。采用问题解决式教学，帮助学生掌握建模步骤提升应用意识，也为教师提供完整的情境创设、探究活动和检测设计方案。

第五章 二次函数 问题解决活动：怎样围面积更大 新版北师大数学九年级上册 学习目标 1.通过分析一面墙围矩形问题，经历几何问题---二次函数问题---最值问题的完整建模过程. 2.通过对比不同墙长限制下的最优围法,理解二次函数最值与自变量取值范围的关系. 3.通过分类探究与拓展思考,掌握利用二次函数解决实际最值问题的通用步骤. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 张伯伯想用60m长的篱笆和房屋的一面外墙围一个矩形鸭舍,怎样围才能使鸭舍的面积最大？ 本节课我们将依次解决 1.这个问题到底在问什么？有哪些隐藏条件？ 2.没有墙限制时怎么围？有墙时会发生什么变化？ 3.墙长不同时,最优围法一样吗？ 4.不围矩形的话,还有更大面积的围法吗？ 问题构建 问题1:二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最值规律是什么？ a＞0时,在x=-处取最小值; a＜0时,在x=-处取最大值. 问题2:无墙限制时,60m篱笆围矩形,最大面积是多少？ 围成边长15m的正方形,最大面积225m². 追问1:你能简单说说你是如何得出上面结论的呢？ 追问2:如果有一面墙可以利用,面积会更大吗？大多少？ 问题构建 理解问题（一）・审题是关键 问题3:题目中的已知条件和目标问题分别是什么？ 已知条件：篱笆总长60m;利用一面外墙;围成矩形 目标问题：使矩形面积最大 问题4:用篱笆和一面墙围矩形有几种不同围法？请画出示意图. 矩形的长平行于外墙 （篱笆围1长+2宽） 矩形的宽平行于外墙 （篱笆围1宽+2长） 问题构建 理解问题（二）・隐藏的关键条件 问题5:这两种围法中,外墙长度分别限制了矩形的哪条边？ 限制了平行于外墙的那条边的最大长度 问题6:解决这个问题前,我们还必须明确哪个条件？为什么这个条件重要？ 必须明确外墙的实际长度. 原因:它决定了二次函数自变量的取值范围，而二次函数的最值不一定在顶点处取得. 回顾:抛物线在一定范围内求最值的方法 问题构建 探究一:外墙足够长的情况 问题7:假设外墙无限长,计算两种围法的最大面积 解:设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(60-2x)m 面积S=x(60-2x) =-2x²+60x =-2(x-15)²+450 当x=15时,S的最大值为450m² 此时平行于墙的边长等于30m. 两种围法本质相同,最大面积都是450m²（是无墙时的2倍） 最优围法特点:平行于墙的边长=2×垂直于墙的边长 问题构建 探究二：外墙长度有限制的情况 问题8:如果外墙长度只有20m,还能按照刚才的最优围法（平行于墙的边长30m）来围吗？为什么？ 不能,因为外墙只有20m,平行于墙的边长不能超过20m,而刚才的最优围法需要30m的墙长. 追问1:当外墙长度为20m时,如何围才能使面积最大？ 解:设垂直于外墙的边长为xm,则平行于外墙的边长为(60-2x)m 自变量x的取值范围：60-2x≤20,x≥20,同时x>0,60-2x>0,x<30所以x的取值范围是20≤x<30 S=-2x²+60x， 当x取最小值20时,S有最大值 S的最大值=-2×20²+60×20=-800+1200=400m² 此时平行于外墙的边长=60-2×20=20m,正好等于外墙长度. 问题构建 追问2:如果外墙长度为40m,又该如何围才能使面积最大？ 解:设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(60-2x)m 自变量x的取值范围：60-2x≤40,x≥10 同时x>0,60-2x>0,x<30 所以x的取值范围是10≤x<30 S=x(60-2x) =-2x²+60x =-2(x-15)²+450 当x=15时,S的最大值为450m² 此时平行于墙的边长等于30m. 此时平行于外墙的边长=60-2×15=30m≤40m,符合要求 协作破冰 追问3:请总结一下,当外墙长度L为不同值时,最优围法分别是什么？ 外墙长度L 自变量取值范围 顶点是否在范围内 最优围法 最大面积 L≥30m 0<x<30 是（x=15） 平行于墙边长30m,垂直 15m 450m² L<30m x≥ 否（顶点 x=15<(） 平行于墙边长=L，垂直 = L× 核心规律：顶点在范围内取顶点最值,不在范围内取端点最值 协作破冰 追问4:如果外墙长为20m,那么怎样围能使矩形鸭舍的面积为200m²-400m²？ 方法一：借助方程计算 解:设垂直于外墙的边长为xm,则平行于外墙的边长为(60-2x)m S=x(60-2x)=-2x²+60x 当S=200时：-2x²+60x=200 解得x=15±5 因为x≥20所以x=15+5 ≈26.18m 当S=400时：-2x²+60x=400 解得x₁=10（舍去）,x₂=20 所以当垂直于外墙的边长x满足20m≤x≤ (15+5√5)m时,鸭舍的面积就在200m²-400m²之间 协作破冰 追问4:如果外墙长为20m,那么怎样围能使矩形鸭舍的面积为200m²-400m²？ 方法二：借助图象估算 将横轴单位长度设定为5，纵轴单位长度设定为100 画出函数图象后,作出直线y=200和直线y=400与二次函数的交点，根据x≥20的要求，找到对称轴右侧的交点向x轴作垂线，观察交点横坐标可得 教师示范 问题9:如果我们不限制必须围矩形,而是可以围任意形状的鸭舍（仍然利用一面墙和60m篱笆）,怎样围面积最大？ 当围成一个半圆时面积最大 设半圆的半径为rm,则半圆的弧长为m 由题意得=60 半圆的面积 S==≈573m² 这个面积比矩形的最大面积450m²还要大. 教师示范 问题10:如果有两面互相垂直的外墙可以利用（墙角）,用60m长的篱笆围一个矩形鸭舍,怎样围面积最大？ 解:设矩形的两边长分别为xm和ym 则x+y=60 S=xy =x(60-x) =-x²+60x =-(x-30)²+900 所以当x=y=30m时,围成边长为30m的正方形时面积最大,最大面积是900m² 巩固拓展 问题11:本节课的研究我们经历了怎样的研究过程？ 理解题意 画出示意图 设未知数 借助二次函数性质求最值 确定自变量取值范围 建立函数关系式 检验结果的合理性 反思求解过程 当堂检测 1.用20m长的篱笆靠一面足够长的墙围一个矩形菜园,怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解:设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(20-2x)m S=x(20-2x) =-2x²+20x =-2(x-5)²+50 因为a=-2<0， 所以当x=5时,S有最大值50 此时平行于墙的边长=20-2×5=10m 答：当垂直于墙的边长为5m,平行于墙的边长为10m时,面积最大,最大面积为50m². 当堂检测 2.用40m长的篱笆靠一面墙围一个矩形养鸡场,已知墙的长度只有15m,怎样围才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 解:设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(40-2x)m 自变量取值范围：40-2x≤15得x≥12.5；40-2x>0得x<20 所以12.5≤x<20 S=-2x²+40x, 对称轴为直线x=10 因为a=-2<0,抛物线开口向下,在对称轴右侧,y随x增大而减小所以当x=12.5时,S有最大值 S的最大值=-2×12.5²+40×12.5=-312.5+500=187.5m² 答：当垂直于墙的边长为12.5m,平行于墙的边长为15m时,面积最大,最大面积为187.5m². 当堂检测 3.用36m长的篱笆靠一面足够长的墙围一个矩形花圃,并在花圃内部用篱笆隔出2个相同的小矩形（隔栏垂直于外墙）,怎样围才能使花圃的总面积最大？最大面积是多少？ 解:设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(36-3x)m S=x(36-3x) =-3x²+36x =-3(x-6)²+108 因为a=-3<0, 所以当x=6时,S有最大值108 此时平行于墙的边长=36-3×6=18m 答：当垂直于墙的边长为6m,平行于墙的边长为18m时,总面积最大,最大面积为108m². 反思总结 1.在解决一面墙围矩形求最大面积的问题时,我们经历了哪些步骤？其中最关键的一步是什么？ 2.二次函数的最值在顶点处取得的前提条件是什么？当顶点不在自变量的取值范围内时,如何求二次函数的最值？ 3.通过本节课的学习,你认为利用二次函数解决实际最值问题需要注意哪些问题？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第154页 第1题 二、素养类作业 课本第157页 第13题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $