5.3.1确定二次函数的表达式-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式确定，核心知识点涵盖一般式、顶点式、交点式及待定系数法。通过推铅球、投篮等实际问题导入，连接二次函数形式选择与实际应用，构建从知识回顾到情境探究的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，如铅球运动抽象为顶点式模型，多样例题（一般式解三点、顶点式求最值等）发展数学思维，表格总结表达式适用条件规范数学语言。详细解析助学生巩固，教师可高效落实教学重点。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第五章 二次函数 5.3.1确定二次函数的表达式 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学5.3.1确定二次函数的表达式专项练习 核心知识点回顾：确定二次函数表达式常用三种方法，根据已知条件灵活选择。一般式 $$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$，已知任意三个点坐标时使用，列三元一次方程组求解；顶点式 $$y=a(x-h)^2+k(a eq0)$$，已知顶点坐标、对称轴或最值时使用，计算更简便；交点式 $$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a eq0)$$，已知抛物线与x轴两个交点坐标时使用。核心思想：待定系数法，设式、代点、列方程、求系数、写解析式。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 已知二次函数图象的顶点坐标，求解析式优先选择（） A. 一般式 B. 顶点式 C. 交点式 D. 任意形式 2. 抛物线与x轴交于(1,0)、(3,0)两点，求解析式最简便的是（） A. 一般式 B. 顶点式 C. 交点式 D. 以上都不对 3. 二次函数过(0,2)、(1,3)、(2,6)三点，求解析式需要解的方程组个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知抛物线顶点为(1,-2)，且过点(2,1)，则解析式中a的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. -3 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 已知三个任意点坐标，优先选用________求二次函数表达式。 6. 二次函数顶点式为________，顶点坐标为$$(h,k)$$。 7. 抛物线与x轴交于$$x_1、x_2$$，可设________求解解析式。 8. 抛物线顶点(0,3)，且过点(1,4)，解析式为________。 三、解答题（共56分） 9.（18分）已知二次函数图象经过点(0,1)、(1,0)、(2,-1)，用一般式求函数表达式。 10.（18分）已知抛物线顶点坐标为(2,-3)，且经过点(3,1)，用顶点式求二次函数表达式。 11.（20分）已知抛物线与x轴交于(-1,0)、(3,0)，且过点(0,-3)，用交点式求函数表达式。 参考答案与详细解析 1. B 解析：已知顶点坐标，直接代入顶点式，只需计算一个系数a，计算量最小，为最优选择。 2. C 解析：已知抛物线与x轴两个交点，直接套用交点式，无需复杂方程组，解题最简便。 3. C 解析：一般式含a、b、c三个未知系数，代入三个点坐标，列三个方程求解。 4. C 解析：设顶点式$$y=a(x-1)^2-2$$，代入(2,1)得$$1=a-2$$，解得a=3。 5. 一般式 6. $$y=a(x-h)^2+k(a eq0)$$ 7. 交点式$$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a eq0)$$ 8. $$y=x^2+3$$ 解析：设$$y=ax^2+3$$，代入(1,4)得a=1。 9. 解：设一般式$$y=ax^2+bx+c$$，代入三点：代入(0,1)得c=1；代入(1,0)得$$a+b+1=0$$；代入(2,-1)得$$4a+2b+1=-1$$。联立解得a=1，b=-2。解析式：$$y=x^2-2x+1$$。 10. 解：设顶点式$$y=a(x-2)^2-3$$，代入点(3,1)，得$$1=a(3-2)^2-3$$，解得a=4。整理得解析式：$$y=4(x-2)^2-3=4x^2-16x+13$$。 11. 解：设交点式$$y=a(x+1)(x-3)$$，代入(0,-3)得$$-3a=-3$$，解得a=1。展开整理：$$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$$。即为所求二次函数表达式。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 问题 一名学生推铅球时，铅球运动的高度y(单位：m)是向前运动的水平距离x(单位：m)的二次函数，它们之间的关系如图所示，其中(4，3)是图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗? 思考：应该如何假设二次函数的表达式？ 探究新知 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 y是x的二次函数，且已知顶点坐标，可以设顶点式y=a(x-h)2+k (a ≠0)，图象过点(10，0)，将其代入表达式即可求出待定系数a。 探究新知 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 由已知图象的顶点为(4，3)，可设这个二次函数的 表达式为y=a(x-4)²+3， 把(10，0)代入，得a×(10-4)²+3=0，解得a=-。 所以这个二次函数的表达式为y=-(x-4)²+3，即y=-x²+x+。 探究新知 如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B。已知球出手的位置A到地面的距离为2.25m，到篮圈中心B的水平距离为4m，篮圈中心B到地面的距离为3.05m。建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线y=ax²+c(-3≤x≤1)。求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度。 例1 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 O y/m x/m B A 3.05 3 4 2.25 探究新知 解：由题意可知，抛物线经过点A(-3，2.25)，B(1，3.05)。 将这两个点的坐标分别代入表达式y=ax²+c，得 解这个方程组，得 所以，这条抛物线的表达式为 y=-0.1x²+3.15。 当x=0时，y取得最大值，y最大=3.15。 因此，球运动的最大高度是3.15m。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 O y/m x/m B A 3.05 3 4 2.25 探究新知 求二次函数表达式采用的一般方法是待定系数法。 步骤：(1)设二次函数的表达式； (2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)； (3)解方程(或方程组)，求出待定系数； (4)写出二次函数的表达式。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 探究新知 知识点1 利用“一般式”求二次函数表达式 1.已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是 ， 那么二次函数的表达式为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 8 2.[教材P142随堂练习T2变式] 已知二次函数，当 时，；当时，，则， 的值分别为( ) B A.1，2 B.1， C.，2 D.， 返回 举一反三 9 3.若二次函数的图象经过，， 三点，则该二次函数 的表达式为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 10 思考 (1)二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和 (-2，13)，求这个二次函数的表达式。 设这个二次函数的表达式为y=ax²+bx+c， 因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1， 所以此图象经过点(0，1)。 又因为图象经过点(2，5)和(-2，13)， 所以把(0， 1)，(2，5)，(-2，13)分别代入所设表达式，得 所以这个二次函数的表达式为y=2x²-2x+1。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 探究新知 已知三点，求二次函数表达式： 可以将二次函数表达式设为一般式 (y=ax2+bx+c) 。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 探究新知 如图所示，二次函数图象经过点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式。 解： ∵(-3，0)，(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点。 所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)。 其中x1、x2为交点的横坐标。因此得y=a(x+3)(x+1)。 再把点(0，-3)代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得 a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1)，即y=-x2-4x-3。 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 探究新知 已知抛物线与x轴的交点，求二次函数表达式： 可以将二次函数表达式设为交点式 ( y=a(x-x1)(x-x2) ) 。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 探究新知 4.已知二次函数的函数值和自变量 的部分对应取值 如下表，则 的值为____。 … 1 2 3 … … 6 … 返回 举一反三 15 知识点2 利用“顶点式”求二次函数表达式 5.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点 ，且它的顶 点是原点，则这个二次函数的表达式为_________。 返回 举一反三 16 6.[厦门期中] 某二次函数的图象如图所示，则它的表达式是__________ ______________。 返回 举一反三 17 7.与抛物线形状相同、开口方向相反，且顶点坐标为 的抛物线的表达式是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 18 思考 (2)确定二次函数的表达式需要几个条件? 表达式 类型 函数表达式 适用条件 一般步骤  一般式    顶点式  交点式 (拓展) y=ax²+bx+c y=a(x-h)²+k  y=a(x-x₁)(x-x₂) 已知抛物线上任意三个点的坐标。 已知抛物线与x轴的两个交点的坐标(x₁，0)，(x₂，0)和抛物线上另一个点的坐标。 已知抛物线的顶点坐标(h，k)和抛物线上一点 (非顶点)的坐标。 ①设：根据已知条件，设出合适的二次函数表达式； ②代：把已知点的坐 标代入，得到关于待定系数的方程(组)； ③解：解方程(组)，求出待定系数的值； ④写：写出二次函数的表达式。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 探究新知 根据下列条件，分别求出对应二次函数的表达式。 (1)已知一个二次函数的图象经过(0，0)，(1，-3)，(2，-8)三点。 解：(1)设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c。 ∵函数图象经过(0，0)，(1，-3)，(2，-8)三点， ∴ 解得 ∴该二次函数的表达式为y=-x²-2x。 例2 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 探究新知 根据下列条件，分别求出对应二次函数的表达式。 (2)已知二次函数的图象的顶点坐标为(1，-1)，且经过原点(0，0)。 解：(2)设二次函数的表达式为y=a(x-1)²-1。 ∵函数图象经过原点(0，0)， ∴ a(0-1)²-1=0，解得a=1， ∴该二次函数的表达式为y=(x-1)²-1，即y=x²-2x。 例2 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 探究新知 根据下列条件，分别求出对应二次函数的表达式。 (3)已知一个二次函数的图象与x轴两交点的横坐标分别为-3，4，且图象经过点(2，8)。 解：(3)设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x-4)。 ∵函数图象经过点(2，8)， ∴ a×(2+3)×(2-4)=8，解得a=-， ∴该二次函数的表达式为y=-(x+3)(x-4)， 即y=-x²+x+。 例2 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 探究新知 8.已知二次函数的图象经过点，且当时，有最小值 ， 求该二次函数的表达式。 解：由题意可得，二次函数图象的顶点坐标为 ， 设该二次函数的表达式为 , 将点 的坐标代入表达式， 得，解得 , 该二次函数的表达式为 。 返回 举一反三 23 知识点3 利用“交点式”求二次函数表达式 9. 已知抛物线与轴交于点， ，且经过 点，则可设该抛物线的函数表达式为______ ， 将点的坐标代入，得方程________，解得 ___，故该抛物线的 函数表达式为_________________。 2 1 2 返回 举一反三 24 10.如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点 ， ，连接。求抛物线的表达式和 的长。 举一反三 25 解： 抛物线交轴于， 两点， 可设抛物线的表达式为 。 ， ， 把点的坐标代入，得 ， ， ， 化为一般式为 。 ， ， 由勾股定理得 。 返回 举一反三 26 一般式：y=ax²+bx+c (适用于已知抛物线上任意三点坐标) 二次函数的应用 确定二次函数表达式 顶点式：y=a(x-h)²+k (适用于已知顶点坐标) 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) (适用于已知抛物线与x轴的交点坐标) 课堂小结 谢谢观看 THANKS $