5.2.2二次函数y=ax2 与y=ax2+c的图象与性质-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2\)与\(y=ax^2+c\)的图象性质，涵盖开口方向、对称轴、顶点坐标及\(a\)、\(c\)的影响与平移规律。通过引导学生绘制函数图象、对比不同\(a\)值函数的异同，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其特色在于以探究式学习培养几何直观，如对比\(y=2x^2\)与\(y=x^2\)图象发现\(a\)对开口大小的影响，通过例1三种方法比较函数值训练推理能力，表格总结性质规范数学语言。含中考题等实例，助力学生理解应用，教师可提升教学效率，学生发展数学思维与应用意识。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第五章 二次函数 5.2.2二次函数y=ax2 与 y=ax2+c 的图象与性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学5.2.2二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象与性质专项练习 核心知识点回顾：本节重点掌握二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象和平移性质。两者图象均为抛物线，对称轴均为y轴，顶点在y轴上。a决定开口方向与开口大小：a>0开口向上，有最小值；a<0开口向下，有最大值；|a|越大，抛物线开口越小。函数y=ax²+c可由y=ax²上下平移得到：c>0向上平移c个单位，c<0向下平移|c|个单位。平移不改变开口方向、开口大小与对称轴，仅改变顶点纵坐标与函数最值。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 抛物线y=2x²的开口方向是（） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 抛物线y=−3x²+2的对称轴是（） A. x轴 B. y轴 C. 直线x=2 D. 直线y=2 3. 将抛物线y=4x²向下平移3个单位，所得解析式为（） A. y=4x²+3 B. y=7x² C. y=4x²−3 D. y=x² 4. 关于抛物线y=−2x²+5的性质，说法正确的是（） A. 开口向上 B. 最小值为5 C. 最大值为5 D. 对称轴是x轴 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 抛物线y=ax²的顶点坐标是________，对称轴是________。 6. 若抛物线y=ax²+c开口向下，则a的取值范围是________。 7. 抛物线y=5x²−4可由y=5x²向________平移________个单位得到。 8. 抛物线y=−x²+6的最大值是________。 三、解答题（共56分） 9.（18分）简述参数a、c对抛物线y=ax²+c的图象分别产生的影响。 10.（18分）已知抛物线y=−2x²+3，写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。 11.（20分）已知抛物线y=3x²，如何平移可得到y=3x²−4？并说明平移前后两个抛物线的相同点与不同点。 参考答案与详细解析 1. A 解析：a=2>0，根据二次函数性质，二次项系数为正数，抛物线开口向上。 2. B 解析：y=ax²+c型函数无一次项，图象对称轴固定为y轴，不受a、c取值影响。 3. C 解析：抛物线上下平移规律：上加下减，向下平移3个单位，解析式整体减3，得y=4x²−3。 4. C 解析：a=−2<0，开口向下，抛物线有最高点，顶点(0,5)，函数最大值为5。 5. (0,0)；y轴 6. a<0 解析：a小于0时，二次函数抛物线开口向下。 7. 下；4 解析：c=−4，依据上加下减原则，由原抛物线向下平移4个单位。 8. 6 解析：开口向下，顶点(0,6)，函数最大值为6。 9. 解：参数a：决定开口方向与开口大小，a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大，开口越窄，|a|越小，开口越宽。参数c：决定抛物线上下平移位置，仅改变顶点纵坐标与函数最值，不改变开口、对称轴与增减趋势。 10. 解：a=−2<0，开口向下；对称轴为y轴；顶点坐标(0,3)；抛物线开口向下，有最大值，当x=0时，函数最大值为3，无最小值。 11. 解：平移方式：将抛物线y=3x²整体向下平移4个单位。相同点：开口方向、开口大小、对称轴完全相同。不同点：顶点坐标不同，最值不同，图象整体位置上下偏移。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 问题 画二次函数y=2x2的图象。 (1)完成下表。 (2)画出二次函数y=2x2的图象。 x           y=2x²             … -2 -1 0 1 2 … … 8 2 0 2 8 … 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x 探究新知 问题 画二次函数y=2x2的图象。 (3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次函数y=2x2图象是一条抛物线。 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 探究新知 问题 画二次函数y=2x2的图象。 (3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? y=2x²与y=x²的图象的相同之处： 开口方向、对称轴和顶点坐标都相同； 当x<0时，y的值都随x值的增大而减小； 当x>0时，y的值都随x值的增大而增大； 都有最低点，有最小值0。 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 探究新知 问题 画二次函数y=2x2的图象。 (3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 不同之处： y=2x²的图象开口小，y=x²的图象开口大。 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 探究新知 问题 画二次函数y=2x2的图象。 (3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次函数y=2x²的图象开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是(0，0)。 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 探究新知 (1)画出二次函数y=x2的图象，它与二次函数y=x2，y=2x2的图象有什么相同 和不同? 图象如图所示，它们的开口方向、对称轴、顶点坐标相同。 开口大小不同。 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 探究新知 (2)如何画二次函数y=-2x2和y=-x2的图象?先想一想，再画一画。 列表、描点、连线。 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 x           y=-2x2             … -2 -1 0 1 2 … … -8 -2 0 -2 -8 … x           y=-x2             … -2 -1 0 1 2 … … -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 探究新知 (2)如何画二次函数y=-2x2和y=-x2的图象?先想一想，再画一画。 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 思考：两个图象有什么相同和不同？ 它们的开口方向、对称轴、顶点坐标相同。 开口大小不同。 探究新知 2. 如图，杜老师在黑板上画出了二次 函数的图象，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 3.若二次函数的图象经过点 ，则该图象必经过点( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 返回 举一反三 11 4.抛物线，， 共有的性质是( ) C A.开口向下 B.都有最低点 C.对称轴都是轴 D.随 的增大而减小 返回 举一反三 12 二次函数y=ax2的图象是什么形状?其中的a对图象有什么影响? 二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。 当a>0时，它的开口向上；当a<0时，它的开口向下。 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 a的绝对值越大，开口越小。 探究新知 二次函数y=ax² a>0 a<0 图象 开口方向 开口大小 对称轴 顶点坐标 |a|越大，抛物线的开口越小； |a|越小，抛物线的开口越大。 y轴(或直线x=0) (0，0) 向上 向下 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 探究新知 二次函数y=ax² a>0 a<0   增减性  最值  联系 当x<0时，y的值随x值的增大而减小； 当x>0时，y的值随x值的增大而增大。 当x<0时，y的值随x值的增大而增大； 当x>0时，y的值随x值的增大而减小。 当x=0时，y取最小值， 且y最小=0。 当x=0时，y取最大值， 且y最大=0。 若把函数y=ax²的图象和函数y=-ax²的图象画在同一平面直角坐标系中，则两图象既关于x轴成轴对称，又关于原点成中心对称。 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 探究新知 已知点A(-1，m)，B(-2，n)在二次函数y=-x²的图象上，试比较m和n的大小。 解：方法一(利用增减性比较) ∵二次函数y=-x²的图象开口向下， ∴当x<0时，y的值随x值的增大而增大。 又∵-1>-2， ∴m>n。 例1 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 探究新知 已知点A(-1，m)，B(-2，n)在二次函数y=-x²的图象上，试比较m和n的大小。 解：方法二(直接代入求值比较) ∵点A(-1，m)，B(-2，n)在二次函数y=-x²的图象上， ∴m=-(-1)²=-1，n=-(-2)²=-4， ∴m>n。 例1 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 探究新知 已知点A(-1，m)，B(-2，n)在二次函数y=-x²的图象上，试比较m和n的大小。 解：方法三(画出图象比较) 画出y=-x²的草图，如图所示。 在图上标出A，B两点，由图可知，m>n。 例1 知识点1 二次函数y=ax²的图象和性质 探究新知 知识点1 二次函数 的图象与性质 1.抛物线 的开口向____，顶点坐标为______，对称轴是_____。 当_____时，随 的增大而减小； 当_____时，随 的增大而增大； 当___时， 有最____值，是___。 上 轴 0 小 0 返回 举一反三 19 5.已知点，，都在二次函数 的图象 上，则，， 的大小关系为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 20 知识点2 二次函数 的图象与性质 6.在平面直角坐标系中，二次函数 的大致图象是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 21 7.关于二次函数 ，下列说法错误的是( ) C A.函数的最大值为1 B.图象与轴的交点坐标为 C.当时，的值随 值的增大而减小 D.图象的对称轴是 轴 返回 举一反三 22 8.已知抛物线经过点，，且 ，则 ___（填“ ”“”或“ ”）。 返回 举一反三 23 9.与抛物线 顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物 线的函数表达式是___________。 返回 举一反三 24 知识点3 二次函数与 图象之间的平移 10.[上海中考] 将函数 的图象向下平移2个单位长度后，得到的 新图象对应的函数表达式为____________。 返回 举一反三 25 11.在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 ， 的图象。 解：如图。 举一反三 26 （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； [答案] 抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为 ； 抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为 。 （2）抛物线可由抛物线 向____平移___个单位 长度得到。 上 1 返回 举一反三 27 12. 已知二次函数，当时， 的取值范围 为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 28 13.二次函数与一次函数 在同一平面直角坐标系中的 图象可能是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 29 14.[天津自主招生] 如图是四个二次函数的图象， 则，，， 的大小关系为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 30 15.将二次函数的图象向下平移 个单位长度后，所得到 的二次函数的图象与轴两交点之间的距离为2，则 的值为___。 5 返回 举一反三 31 16.如图，抛物线与轴交于， 两点， 与轴交于点，四边形 为平行四边形。 （1）求，， 三点的坐标； 解：在中，令，则；令，则 ， 解得， 。 所以，， 。 举一反三 32 （2）若抛物线向上平移后恰好经过点 ，求平移后抛物线的函数表达式。 解：易知 ， 因为四边形 是平行四边形， 所以， 。 因为 ， 所以 。 举一反三 33 设平移后抛物线的函数表达式为 ，则 ， 解得 ， 所以平移后抛物线的函数表达式为 。 返回 举一反三 二次函数y=ax² a>0 a<0 图象 开口方向 开口大小 对称轴 顶点坐标 |a|越大，抛物线的开口越小； |a|越小，抛物线的开口越大。 y轴(或直线x=0) (0，0) 向上 向下 课堂小结 二次函数y=ax² a>0 a<0   增减性  最值  联系 当x<0时，y的值随x值的增大而减小； 当x>0时，y的值随x值的增大而增大。 当x<0时，y的值随x值的增大而增大； 当x>0时，y的值随x值的增大而减小。 当x=0时，y取最小值， 且y最小=0。 当x=0时，y取最大值， 且y最大=0。 若把函数y=ax²的图象和函数y=-ax²的图象画在同 一平面直角坐标系中，则两图象既关于x轴成轴对称，又关于原点成中心对称。 课堂小结 谢谢观看 THANKS $