第15章 综合与实践 最短路径问题 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以基础巩固、中档深化、提升拓展三层设计，构建从单一知识点应用到复杂情境建模的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|两点之间线段最短、单一对称变换|选择题1-2、填空题5直接考查核心原理，情境简单，培养几何直观| |中档|结合三角形、坐标系的变换应用|选择题3-4、填空题6-8、解答题9-10引入平移与轴对称结合，体现推理能力| |提升|多步变换与实际问题建模|解答题11-15涉及双河建桥、太空探索等复杂情境，强化模型意识与应用能力|

综合与实践 最短路径问题 同步练习 一、选择题： 1.如图，直线是一条河，，是两个村庄计划在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水现有如下四种铺设方案图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上一动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 3.地和地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从地到地的路径最短的是假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直 A. B. C. D. 4.如图，锐角三角形中，，点为边上一点不含端点，点关于，所在直线的对称点分别为点，，连接若，，点到直线的距离为，则的长可以是． A. B. C. D. 二、填空题： 5.如图，点，在直线异侧，在直线上求作一点，使最小，实际上只需连接交直线于点即可这样做的理由是          ． 6.如图，在中，，，，是的角平分线，，分别是，上的动点，点在上，且，则的最小值为          ． 7.如图，在等腰三角形中，，，垂直平分，交于点，交于点，点是线段上的动点。若的面积是，，则的周长最小值是          。 8.如图，，点为内一点，点，分别在，上．当的周长最小时，的度数是          ． 三、解答题： 9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，， 画出关于轴对称的，点的坐标为           是轴上的一个动点，是线段上的一个动点，要使最小，画出点和点的位置，并直接写出的最小值． 10.如图，为了做好十一期间的交通安全工作，某市交警执勤小队从处出发，先到公路上设卡检查，再到公路上设卡检查，最后再到达地执行任务，请为执勤小队规划路线，使得他们所走的总路程最短保留作图痕迹，不写作法 11.小明和小强周末去公园玩，计划去儿童乐园边上玩沙子，草坪边上搭帐篷、看雕塑展览． 如图，小明到集合点，然后到儿童乐园边上玩沙子，再到草坪边上搭帐篷，最后回到集合点，试分别在边和上各找一点，，使得走过的路程最短保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线 如图，小强到集合点，然后到儿童乐园边上玩沙子，再到草坪边上搭帐篷，最后到公园雕塑展览售票处点买票，试分别在边和上各找一点，，使得走过的路程最短保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线 如图，小明从公园大门边上的处出发，先到儿童乐园边上的处玩沙子，再到草坪边上的处搭帐篷，最后回到处，如何确定，，的位置，使得小明走的路线最短请画图表示保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线 12.【问题情境】 如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小，请求出点的坐标． 【方法分析】 小刚的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小． 请在图中按照小刚的方法完成作图． 小刚进一步发现，连接，利用列方程，可求出点的坐标请按照小刚的思路求出点的坐标． 【实际应用】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案平面示意图如图假定长江两岸为互相平行的直线，，且与相距，铁路所在直线垂直于位于点处的化工厂与相距，与铁路相距，位于点处的火车站与相距若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使，两点之间的路径最短请完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离． 13.如图，，两村之间有一条两岸互相平行的河，河宽为现要在河上造一座桥桥必须与河岸垂直，使，之间的路程最短，试画出造桥位置．对于此题，我们可以这样解决： 如图，把点向下平移个单位长度到点，连接交于点；过点作于点，则就是造桥位置． 请仿照以上材料，解决如下问题： 如图，，两村之间有两条互相平行的河．一条河宽，另一条河宽，现欲在两条河上各造一座桥桥必须与河岸垂直，使，之间的路程最短，试画出造桥位置． 14.综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗古从军行中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题将军饮马如图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢 【分析问题】 小亮：如图，作关于的对称点，连接与交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗 小亮：如图，在上另取一点，连接，，，只要证明即可请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 任务一：如图，将军牵马从军营处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到处，试分别在和上各找一点，，使得将军走过的路程最短保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路线用实线 任务二：如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这两条河现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，，则这两座桥，造在何处可使由村到村的路程最短要求在图上标出道路和桥的位置 15.综合与实践 问题情境 如图，在太空探索中，宇航员需要从空间站出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图，若只需在能源站补充燃料，可作关于能源站边缘直线的对称点，连接，与直线的交点即为最优补充燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图，在直线上另取任意一点，连接，，，只要证明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上，____，____，____． 在中，，____，即最小． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的，转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决请补全上述推理论证． 推理论证：如图，在直线上另取任意一点，连接，，，只要证明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上，          ，          ，          ． 在中，，          ，即最小． 【两定两动】请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图中画出最短路径． 【一定两动】如图，在中，，若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】两点之间，线段最短 6.【答案】3 7.【答案】5 8.【答案】60 9.【答案】【小题1】 解：如图，△A'BC即为所求， C -5-432-10 45 A (4,2)； 【小题2】 答案与解析 第1页，共5页 如图： 5 -4 32-10 -2 3 5 10.【答案】解：如图所示，当交警执勤小队沿A→C→D→B的路线走时，他们所走的总路程最短 m B 11.【答案】【小题1】 如图1，分别作点N关于OP,OM的对称点G,D,连接GD分别交OP,OM于点E,F,则路线NE一EF一NF 即为所求 G 图1 ,NE=GE,NF=DF,NE+EF+NF=GE+EF+DF,根据两点之间线段最短可得路线 NE-EF-NF即为所求. 【小题2】 第2页，共5页 如图2，作点N关于OP的对称点G,作点T关于OM的对称点Q,连接GQ分别交OP,OM于点H,I,则路线 NH-HI一IT即为所求. H M 图2 ~NH=GH,IT=IQ,NH+HI+IT=GH+HI+IQ,根据两点之间线段最短可得路线NH一HI一IT即 为所求。 【小题3】 如图3，在OM上任意取一点R,分别作点R关于OP,PM的对称点X,Y,连接XY分别交OP,PM于点L, K. ~LR=LX,KR=KY,∴LR+LK+KR=XL+LK+KY,根据两点之间线段最短可得LR+LK+KR的最 小值为XY的长. 连接PX,PR,PY,根据作图可得PX=PR=PY,在△PXY中，要使XY的长最小，则需PX的长最小，即 PR的长最小，当PR⊥OM时，PR的长最小，故当点R为OM边上的高的垂足时，小明走的路线最短. 如图4，路线KL一LR一RK即为所求. 图3 图4 12.【答案】【小题1】 ①图略.②由作图可知，A'(-3,0),0A=3.SAAOB=SA4oc+S△B0c,20A×3=0A.0C+ 20Gx1.0G=景c03 【小题2】 作点A关于L1的对称点A',连接A'B交l2于点N,作MN⊥l2交1于点M,作A'E⊥MN于点D,交铁路所在的直 线于点E,则桥应修在MN处.由题可知，AC=A'C=600m,A'E=2400m,BF=2400m, 第3页，共5页 MN=1200m...A'C=MD ND EF=600m,BE EF BF =3000 m.DE NF=xm.SAA'BE= S△NBF+S梯形A'EFN, AE,BE=BF.NF+NF+AN回)-EP,×2400×3000=3×2400x+号 ×600(x+2400).∴x=1920.∴桥与铁路的距离为1920m. 13.【答案】解：如图所示： G E ===== D 14.【答案】【小题1】 点B,B关于I对称，CB=CB,CB=CB',AC+CB=AC+CB=AB',AC+CB=AC+CB. AB'<AC'C'B',AC+CB<AC'C'B, ∴.作B关于的对称点B,连接AB与交于点C,点C就是饮马的地方，此时按路线AC一CB走的路程就是最 短的. 【小题2】 任务一：如图(1)所示，分别作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接CD,分别交OA,OB于E,F,则按路 线PE一EF一FP走的路程最短， E B D 图(1) 第4页，共5页 任务二：如图(2)所示，分别过点P和点Q作L1,3的垂线，垂足分别为A,B, 的河的宽，在BQ上截取QD等于靠近Q村的河的宽，连接CD分别交l2,4于E, 的垂线，垂足分别为F,N,连接PF,QN,则此时由P村到Q村的路程最短 M ▣ D Q。 图(2) 15.【答案】【小题1】 CB C'B AB AC+CB 【小题2】 解：如图： 能 陨石黄 B B 【小题3】 过点B作AC的垂线，垂足为Q,交AD于点P,此时PC+PQ的最小值为BQ的长 第5页，共5页 在PA上截取PC等于靠近P村 M,分别过点E,M作l1,l3综合与实践最短路径问题同步练习 一、选择题： 1.如图，直线是一条河，P,Q是两个村庄计划在l上的某处修建一个水泵站M,向P,Q两地供水现有如 下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是() A M D. 'M M 2.如图，在△ABC中，AB=5,AC=12,BC=13,DE是BC的垂直平分线，M是直线DE上一动点，则 MA+MB的最小值为() A.5 B.10 C.12 D.13 3.A地和B地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN,使从A地到B地的路径AMNB最短的是().（假定 河的两岸是平行线，桥与河岸垂直) D (AM∥BN)E (BMLa) (AM不平行于BM) (AN⊥b) 第1页，共7页 4.如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=30°，点D为AC边上一点（不含端点），点D关于BA,BC所在直线的 对称点分别为点A1,A2,连接A1A2.若AB=5.4cm,BC=5cm,点B到直线AC的距离为4.9cm,则A1A2的 长可以是(). A A D B A2 A.4.8cm B.5cm C.5.4cm D.5.5cm 二、填空题： 5.如图，点A,B在直线异侧，在直线I上求作一点P,使PA+PB最小，实际上只需连接AB交直线于点P 即可这样做的理由是一、 4 ·B 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7,BD是△ABC的角平分线，P,N分别是BD,AC 上的动点，点M在BC上，且BM=1,则PM+PN的最小值为一· 7.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD 1 BC,EF垂直平分AB,交AB于点E,交BC于点F,点G是 线段EF上的动点。若△ABC的面积是6cm2,BC=6cm,则△ADG的周长最小值是cm。 D 第2页，共7页 8.如图，∠AOB=60°，点P为∠AOB内一点，点M,N分别在OA,OB上.当△PMN的周长最小时，∠MPN 的度数是 三、解答题： 9.如图，在平面直角坐标系x0y中，△ABC的顶点分别为A(-3,-1),B(0,3),C(-4,2) 3 ☆- -4322-10 1 2 (1)画出△ABC关于y轴对称的△A'BC',点C'的坐标为 (2)E是y轴上的一个动点，F是线段AB上的一个动点，AB=5.要使AE+EF最小，画出点E和点F的位置， 并直接写出AE+EF的最小值. 10.如图，为了做好十一期间的交通安全工作，某市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查，再 到公路上设卡检查，最后再到达B地执行任务，请为执勤小队规划路线，使得他们所走的总路程最短.（保 留作图痕迹，不写作法) m ●B A· 第3页，共7页 11.小明和小强周末去公园玩，计划去儿童乐园边上玩沙子，草坪边上搭帐篷、看雕塑展览. P 图1 图2 图3 (1)如图1，小明到集合点N,然后到儿童乐园边OP上玩沙子，再到草坪边0M上搭帐篷，最后回到集合点 N,试分别在边OP和OM上各找一点E,F,使得走过的路程最短.（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路 径用实线) (2)如图2，小强到集合点N,然后到儿童乐园边OP上玩沙子，再到草坪边OM上搭帐篷，最后到公园雕塑 展览售票处（点T)买票，试分别在边OP和OM上各找一点H,I,使得走过的路程最短.（保留作图痕迹，辅助 线用虚线，最短路径用实线) (3)如图3，小明从公园大门边PM上的K处出发，先到儿童乐园边0P上的L处玩沙子，再到草坪边OM上的R 处搭帐篷，最后回到K处，如何确定K,L,R的位置，使得小明走的路线最短？请画图表示（保留作图痕 迹，辅助线用虚线，最短路径用实线) 12.【问题情境】 如图1，在平面直角坐标系中，A(3,0),B(1,3),在y轴上找一点C,使得AC+BC的值最小，请求出点C的 坐标. 长江1， y .B(1,3) 化工厂 铁路 火车站 A(3,0) B恤 图1 图2 (1)【方法分析】 小刚的做法是先画出点A关于y轴的对称点A',连接A'B交y轴于点C,则此时AC+BC的值最小. 第4页，共7页 ①请在图1中按照小刚的方法完成作图. ②小刚进一步发现，连接0B,利用S△AoB=S△Aoc+S△Boc列方程，可求出点C的坐标.请按照小刚的思 路求出点C的坐标， (2)【实际应用】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个 工业运输用桥方案（平面示意图如图2）.假定长江两岸为互相平行的直线L1,2,且l1与L2相距1200m,铁路 所在直线垂直于l1.位于点A处的化工厂与L1相距600m,与铁路相距2400m,位于点B处的火车站与l2相距 2400m.若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使A,B两点之间的路径最短？请完成作图，并通过 计算求出桥与铁路的距离。 13.如图1，A,B两村之间有一条两岸互相平行的河，河宽为a.现要在河上造一座桥（桥必须与河岸垂直）， 使A,B之间的路程最短，试画出造桥位置.对于此题，我们可以这样解决： 如图2，把点A向下平移a个单位长度到点A',连接A'B交L2于点C;过点C作CD1L1于点D,则CD就是造桥 位置. 请仿照以上材料，解决如下问题： 如图3，A,B两村之间有两条互相平行的河.一条河宽α，另一条河宽b,现欲在两条河上各造一座桥（桥 必须与河岸垂直)，使A,B之间的路程最短，试画出造桥位置. •A B B 图1 图2 B 图3 第5页，共7页 14.综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣 的数学问题--将军饮马如图(1)，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边饮马后再到点B宿营，他 时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【分析问题】 小亮：如图(2)，作B关于的对称点B',连接AB'与交于点C,点C就是饮马的地方，此时按路线AC-CB 走的路程就是最短的， 小慧：你能详细解释原因吗？ B B 0 -B 图(1) 图(2) 图(3】 图(4) 小亮：如图(3)，在l上另取一点C',连接AC',BC',B'C',只要证明AC+CB<AC'+CB即可请写出小 亮的证明过程 (2)【解决问题】 任务一：如图(4)，将军牵马从军营P处出发，先到河边0A饮马，再到草地0B牧马，最后回到P处，试分别 在OA和OB上各找一点E,F,使得将军走过的路程最短.（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路线用实线） 任务二：如图(5)所示，在P,Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这 两条河.现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF,MN,则这两座桥EF,MN造在何处可使由P 村到Q村的路程最短？（要求在图上标出道路和桥的位置） Q· 图(5) 第6页，共7页 15.综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最 后返回空间站B.为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径. 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站边缘直线的对称点B',连接AB',与直线 的交点即为最优补充燃料点C,此时路径AC+CB最短. 推理论证：如图3，在直线l上另取任意一点C',连接AC',BC',B'C',只要证明AC+CB<AC'+C'B'即 可 证明：直线是点B,B的对称轴，点C,C在l上，∴.CB=一_，CB=一一，·.AC+CB=AC+ CB'= 在△AC'B中，AB'<AC'+C'B',.<AC'+C'B',即AC+CB最小. 能 陨石带 A B D 图1 图2 图3 B 图4 (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A,B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线 段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决请补全上述推理论证。 推理论证：如图3，在直线L上另取任意一点C',连接AC',BC',B'C',只要证明AC+CB<AC'+C'B'即 可. 证明：直线l是点B,B'的对称轴，点C,C在l上，·CB=一，C'B'=一，·AC+CB=AC+ CB'=_ 在△ACB'中，AB'<AC+CB',<AC+CB,即AC+CB最小. (2)【两定两动】请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径， (3)【一定两动】如图4，在△ABC中，AB=AC,AD1BC.若点P在AD上移动，点Q在AC上移动，如何确 定PC+PQ的最小值？ 第7页，共7页