数学活动&高效同步练习 综合与实践最短路径问题-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（人教版2024）

数学活 活动①美术字与轴对称 1.(3分)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图 形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形 的是( 中 B. c国 神 活动2利用轴对称设计图案 2.(3分)如图是其公司商品标志图案，下列说 法：①图案是按照轴对称设计的：②图案是按 照平移设计的：③图案的外层“S”是按轴对称 设计的：④图案的内层“A”是按轴对称设计 的.其中正确的个数有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 活动3等腰三角形中相等的线段 3.(9分)阅读与思考 (1)【特例呈现】 如图1所示，数学活动课上，在折叠等腰三角 形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边 中点到两腰的距离相等.请利用图2证明这个 命题 已知：如图2，在等腰△ABC中，AB=AC,点D 为BC中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. 求证：DE=DF (2)【一般探索】 在动手操作探究过程中，小明又发现，对于任 意的等腰三角形，若将“点D为BC中点”改 为“点D为三角形外部一点，满足点D到等腰 15分钟同步练习，情炼高效抓 动 三角形的两顶点B,C的距离相等”，都能得到 点D到两腰所在直线的距离相等，如图3所 示.请补全已知，并证明， 已知：在等腰△ABC中，AB=AC,DE⊥AB于点 E,DF⊥AC于点F, 求证：DE=DF (3)【问题拓展】 小明继续探究：利用已有学习经验，尝试改变 条件和结论位置，提出猜想：对于平面上的一 点D,若满足点D到一个三角形的两顶点B,C 的距离相等，且点D到边AB,AC所在直线的 距离相等，那么这个三角形是等腰三角形.小 第 明认为这个猜想一定成立，但他的同学小强 认为这个猜想不一定成立，你同意谁的想法？ 若同意小明的想法，请画图并说明理由：若同 意小强的想法，请画出反例 D 图1 图2 图3 点BR八年级数学上册 33 高效同步练习综合与 知识点①牧民饮马问题 1.生活情境·铺设管道(3分)直线l是一条河， P,Q是两个村庄，欲在1上的某处修建一个水 泵站，向P,Q两地供水，现有如下四种铺设方 案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最 短的是( B C.T D. 2.(3分)如图所示，在四边形ABCD中，AD=2, ∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD,在AD上 找一点P,使PC+PB的值最小，则PC+PB的 最小值为() A.4 B.3 C.5 D.6 知识点②造桥选址问题 3.(3分)如图，平行河岸两侧各有一城镇P,Q, 根据发展规划，要修建一条公路连接P,Q两 镇.已知相同长度造桥总价远大于陆上公路 造价，为了尽量减少总造价，应该选择方 案( 0 B 第3题图 第4题图 34 15分钟同步炼习，精炼高效圳 实践最短路径问题 4.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD,CE是 △ABC的两条中线，点P是AD上一个动点， 则BP+EP的最小值等于线段() A.BC B.CE C.AD D.AC 5.跨学科试题·语文(8分)唐朝著名诗人李颀 的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登 山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一 个有趣的数学问题.如图1，诗中将士在观望 烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮 马后再到B点宿营.请问在何处饮马才能使 总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决 这个问题 (1)如图2，作点B关于直线1的对称点B,连 接AB'与直线1交于点C,点C就是所求的 位置 理由：如图3，在直线1上另取不同于点C的 任一点C',连接AC',BC,B'C', 因为点B、B'关于直线I对称，点C、C在直线I 上， 所以CB= ,C'B= 所以AC+CB=AC+CB'= 在△AC'B'中，依据 可得AB'<AC+CB', 所以AC+CB<AC'+C'B, 即AC+CB最小 (2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形， N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD= 6,M是AD上的一个动点，连接BM,MW,则 BM+MN的最小值是 图1 考点BR人年领数学上册选B. 7.B【解析】AB=AC,∠BAC=120°，∠B=∠C=30°.DE 1AB,DFLAC,争足为E,F,DE=2BD,DF=2DC,DE+ DF-8D 2 DCs- (BD+DC)=2BC=4m.放选B. 8.(1)证明：△ABC为等边三角形，，∠C=LCAB=ABC= 60°，AB=AC.在△ABE和△CAD中，AB=CA,∠BAE=∠C,AE= CD,△ABE≌△CAD(SAS),BE=AD. (2)解：由(1)知△ABE≌△CAD.∴，AD=BE,∠ABP=∠DAE ∠BPQ=∠ABP+∠B.AD=∠BAC=60°.BQ⊥AD,∴.∠BQP =90°，∴.∠PBQ=30°，∴.BP=2PQ=6.,PE=1,∴.AD=BE=6+ 1=7, 数学活动 1.A2.A 3.(1)【特例星现】证明：连接AD.:AB=AC,点D是BC的中点， .AD平分∠BAC.:DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF: (2)I一般探索】BD=CD 证明：连接AD,交BC于点M.,AB=AC,BD=CD,∴点A,D在 线段BC的垂直平分线上，：.AD垂直平分BC.AB=AC,ADI BC,∴AD平分∠BAC.DE⊥AB,DF⊥AC,DE YE =DF: (3)问意小强可学的说法，如图，当点D在BC的 垂直平分线上，在LBAC外角平分线上，满足条B乙下C 件，但△ABC不是等腰三角形. 高效同步练习综合与实践最短路径问题 1.C 2.A【解析】延长CD至C,使CD=CD.,∠ADC=90°，，点C 与点C关于AD对称，连接CB交AD于P,此时PC+BP'= BC最小.∠A+∠ADC=90°+90°=180°，∴.CDAB.∴，∠C'= ∠ABC,∠BCC'=180°-∠ABC=120°.CD=CD,.CC= 2CD.,'BC=2CD,∴.CC=BC,∠C=∠ABC=∠CBC=30 过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E,剥BE=AD=2,在Rt △BEC中，∠C'=30°，BE=2,∴BC=2BE=4,即PB+PC的值 最小值为4.故选A 3.C4.B 5.解：(1)CB'C'B'AB”三角形的任意两边之和大于第三边 (2)6【解析】连接MC,NC.:△ABC是等边三角形，AD是 BC边上的中线，.AD垂直平分BC,.BM=CM,.BM+MN CM+MN≥NC,.当点N,M,C三，点共线时，BM+MN有最小值 即NC的长度，：AD=6,N是AB的中点，△ABC是等边三角 形，.NC=AD=6,.BM+MN的最小值为6. 追梦第十五章章末复习轴对称 一、选择题 1.B2.D3.B4.C 二、填空题 5.16.367.12 号 2【解析】：在△MBM,中，LA=70,AB=4,B,∠BM,A= 70°，A,A2=A,B,∠B4,A是△A,A,B,的外角，∠B,AA,= ∠BA,A 2=350:同理可得，∠B,A4=17.5”,∠B,A4,=乞× 17.5-3 4∠AA,B1 .70 27 三、解答题 9.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示： (2)如图，△AB,C,即为所求： (3)如图，点P即为所求： 74 同步练习，情炼高效抓考 10.解：(1)①如图，点D即为所求： ②射线AE即为所求； (2):DF垂直平分线段AB,.DB=DA,,∠DAB=∠B=30 ∠C=40°，.∠BAC=110°，.∠CAD=110°-30°=80°： AE平分LDAC,∠DAE=,LDAC=40 11.解：(1)：△ABC是等边三角形，∴.∠A=∠B=∠ACB=60°. DE∥AB,.∠B=∠EDC=60°，∠A=∠CED=60°.，EF⊥ED, ∴.∠DEF=90°，..∠F=30° (2)由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，.△DCE是等 边三角形，.CE=DC=DE=2.又.在Rt△DEF中，∠F=30°. .DF=2DE=4. 12.解：(1)= (2)= 理由如下：过点E作EF∥BC,交AC于点F在等边△ABC中 ∠ABC=∠ACB=∠BAC=6O°，AB=BC=AGC.EF∥BC,, ∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,,∠AEF=∠AFE=∠BMC= 60°，AE=AF=EF,AB-AE=AC-AF,即BE=CF.ED= EC,∴.∠EDB=∠ECB.,∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB= ∠ECB+∠FCE..∠BED=∠FCE.在△DBE和△EFC中 ED=CE ∠DEB=∠ECF,∴△DBE≌△EFC(SAS).DB=EF.∴，AE EB=CF =BD: (3)CD的长是3或1.【解析】①如图1，过点E作EF⊥CD 于点FAB=AC=1,AE=2,,B是AE的中点，：△ABC是 等边三角形，AB=AC=BC=1,LABC=60°，.∠DBE= 1 LABC=60°，BE=1,∠AEF=30,BF=)BE= .CF 1 3 =2+1=2~ED=EC,EF1CD,GD=2CF=3:②知图2， 过A作AN⊥BC于N,过E作EM⊥CD于M.,AB=BC=1, AB=2,BE=3.LABC=60°，LBEM=30°，BM=2BE =..CM-BM-BC=EC=ED.EM 1 CD.CD=2CM =1.棕上，CD的长是3或1. 图1 图2 高效同步练习16.1.1同底数幂的乘法 1.B2.C 3.D【解析】：x+y-3=0,.x+y=3,,2“×2'=2=2'=8.故 选D. 4.B【解析】5×10=50,2×2=2,2=2，a+b=G.故 选B, 5.C6.C 7.6【解析】2×22=213=2=20，n+4=10,得n=6. &解：()原式=（之）（产 1 (2)原式=(b-a)2·(b-a)3+(b-a)°·(b-a)=(b-a)3+(b a)°=2(b-a). 9.解：x·x=x“,且y·y=y.m-n+2n+1=11,m-1 +4-n=5,解得m=6,n=4,,mn2=6×4=96. 10.B11.C 12.C【解析】：2=5，∴，21=2×2'=5×8=40.故选C 13.54 14.12【解析】a7=a°·cm36.a'=6,a▣6，，a'+a=12. ZBR八年级数学上册