第15章 第31课时 综合与实践：最短距离（课后作业）-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（人教版2024）

宝典刺练|数学·八年级上册（R) 第31课时 综合与实践：最短路径问题 A基础巩固·。· 落实课标 1.把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是( A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.两点之间，线段最短 D.以上都不对 点拨：本题考查了“两点之间，线段最短”.由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量 缩短两地之间的路程，就用到两点间线段最短」 2.如图，直线a是一条输气管道，M,N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个 供气站O,向M,N两村庄供应天然气.在下面四种方案中，铺设管道最短的是( ) 0 A B D 点拨：本题考查了最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”.由 于所给条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。 3.如图，从A地到B地有①，②，③三条路可以走，则第 条路最短，另两条路的长短关 系是 点拨：本题主要考查线段的和差，理解题意，结合图形求解即可 第3题图 第4题图 B能力提升·。· 灵活应用 4.【2024秋·河南焦作·期末】如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,EF垂直平分线段BC,P 是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 点拨：解决本题的关键是连接PC,利用线段的垂直平分线的性质得出PB=PC,求出PA十 PC的最小值可得结论， 5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线 EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则△CDM周长的最小值为 ( A.6 B.8 C.9 D.10 点拨：本题考查的是利用轴对称和垂线段最短确定最短路径问题，熟知等腰三角形三线合 一的性质是解答此题的关键 36 数学·课后巩固作业 …●…●● 6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A(1,2),B(4,1),C(2,4). YA --}-- -1----- (1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C; (2)在图中x轴上作出一点P,使PA十PB的值最小 点拨：本题主要考查了作已知图形关于对称轴的轴对称图形，利用轴对称确定最短路径问题. 7.【人教版八上P95活动二任务2改编】如图，牧羊人从羊圈A地出发，先让羊群在草地边 (射线)吃草，再让羊群去河边（射线）l饮水，最后将羊群带到休息区B地休息.请你帮牧 羊人确定最短的出行路线， 草地 公 B休息区 河流 -1 点拨：本题考查利用轴对称确定最短路径问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问 题：作点A关于m的对称，点A',作点B关于l的对称点B',连接A'B'交m,l分别于点C, D,连接AC,BD,即可求解. C拓展探究●。· 深度思考 8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,AB=5,D,E,F分别是 AB,BC,AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是 ( ) D A.2.5 B.3.5 C.4.8 D.6 点拨：本题考查利用轴对称和垂线段最短确定最短路径问题，解题的关键是灵活运用轴对 称及垂线段最短解决问题， 37高效课堂宝典训练数学入年级上册(R) C拓展探究 ∴∠ACD=∠BCE=90°，Rt△ADC≌Rt△BEC(HL). 8.解：(1)△ABC为等边三角形，∠B=60°，∴BP=BQ .∠ACB=∠ECD=90°一∠ACE=60°，∠CBF= 时，△BPQ为等边三角形 ∠CAD=90°-60°=30°. 根据题意，得AP=3tcm,BQ=2tcm, .∠CFB=180°-∠CBF-∠BCF=90° 16 .BE⊥AC; BP=(16-30cm.16-3t=2,解得t= (2)解：：Rt△ADC≌Rt△BEC,BE=AD=6. :-9时，△BPQ是等边三角形， :∠CBE=30,∠BCE=90,CE=2BE=3. (2)根据题意，得AP=3tcm,BQ=2tcm, ,∠ECF=∠ACD-∠ECD=30°，BE⊥AC, ∴.BP=(16-3t)cm. EF=号CE=是.∴BF=BE-EF=号. ∠BQP=90°，∠PBQ=60°，∠BPQ=30° ÷BQ-2BP,即21=2(16-3， C拓展探究： 6.A 解得=9当：=9时，∠BQP是直角 微专题6特殊三角形常见辅助线的作法 第31课时综合与实践：最短路径问题 A基础巩固 A基础巩固 1.证明：过点A作AD⊥BC于点D,如答图所示， :∠B=∠C,AB=AC,.BD=CD, 1.C2.C3.②相等 M,N是边BC的三等分点， B能力提升 .BM-MN-CN, 4.105.C .'BD-BM=CD-CN, 6.解：(1)如答图，△A'BC即为所求； 即MD=ND, (2)如答图，点P即为所求. .AD为线段MN的垂直平分线， M D N Y ∴.AM=AN 答图 2.解：(1).∠NBC=60°，∠NAC=30°， .∠ACB=60°-30°=30°，∴.AB=BC, ,AB=15×2=30海里， .BC=30海里， m 0 草地 从海岛B到灯塔C的距离为30海里； A 羊圈 (2)过C作CP LAB于P,如答图， 则线段CP的长度即为小船与灯塔C的最 ?B休息区 短距离， 河流 DB ,∠NBC=60°，∠BPC=90°， .∠PCB=90°-60°=30°， 6题答图 7题答图 7.解：如答图，AC+CD十BD=A'C+CD十BD=A'B',故 ·PB=之BC-15海里， 牧羊人应让羊群在点C处吃草，在点D处饮水，才能使他 .15÷15=1(小时)， 答图 出行路线最短 ∴这条船继续向正北航行，在上午的11 C拓展探究 时小船与灯塔C的距离最短。 8.C B能力提升 微专题5手拉手模型 3.(1)证明：：△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°， :E为AB的中点，∴CE⊥AB,CE是∠ACB的平分线， A基础巩固 .∠BEC=90°，∠BCE=30°，∴.2EB=BC, 1.A2.B ED=EC,∴.∠EDC=∠ECD=30°， 3.(1)证明：：∠BAD=∠CAE,∴.∠BAC=∠DAE. ∴.∠DEB=60°-30°=30°， (AB=AD. .BD=BE,∴.2BD=BC: 在△ABC与△ADE中， ∠BAC=∠DAE, (2)解：如答图，过点E作EF∥BC,交 LAC-AE. AC于点F, ∴.△ABC≌△ADE(SAS). △ABC为等边三角形， (2)解：由(1)，得△ABC≌△ADE, ∴.∠AFE=∠ACB=∠ABC=∠A=6O, ∴.∠ADE=∠B. .△AEF为等边三角形， ∠BAD=20°，AB=AD,∠ADB=∠B=80. .∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE, 答图 ∴.∠ADE=80°. .ED=EC, ∴.∠CDF=180°-∠ADB-∠ADE=20 ∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC, B能力提升 .∠EDB=∠FEC, ∠EBD=∠EFC, 4.19 在△BDE和△FEC中，∠EDB=∠FEC, 5.(1)证明：，△CDE是等边三角形， ED=EC, .CE=CD,∠D=∠ECD=60°. ∴.△BDE≌△FEC(AAS),.BD=EF, :△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角 .AE=BD=2,.CD=BC+BD=12+2=14. 形，且AD=BE, 36