5.2.4二次函数y=a(x−h)2+k与y=ax2+bx+c 的图象与性质-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数顶点式与一般式的图象及性质，通过从\(y=ax^2\)图象平移入手，引导学生探究顶点式特征，再结合配方将一般式转化为顶点式，搭建旧知到新知的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点在于融入生活情境题（如烟花高度问题）培养数学眼光，通过配方推导顶点坐标公式发展数学思维，用表格对比性质规范数学语言。专项练习分层设计，例题解析详尽，助力学生巩固知识，也为教师提供高效教学资源。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第五章 二次函数 5.2.4二次函数y=a(x−h)2+k 与y=ax2+bx+c 的图象与性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学5.2.4二次函数y=a(x−h)²+k与y=ax²+bx+c的图象与性质专项练习 核心知识点回顾：本节掌握二次函数顶点式与一般式的互化、图象平移与完整性质。顶点式$$y=a(x-h)^2+k$$：顶点$$(h,k)$$，对称轴直线$$x=h$$，由$$y=ax^2$$左右平移h、上下平移k得到。一般式$$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$，可通过配方化为顶点式，顶点坐标公式$$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$$。$$a$$定开口方向与宽窄，$$a、b$$定对称轴位置，$$c$$为抛物线与y轴交点纵坐标。开口向上有最小值，开口向下有最大值。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 抛物线$$y=2(x-3)^2+1$$的顶点坐标是（） A. $$(3,1)$$ B. $$(-3,1)$$ C. $$(3,-1)$$ D. $$(-3,-1)$$ 2. 抛物线$$y=x^2-4x+2$$的对称轴是（） A. 直线$$x=-2$$ B. 直线$$x=2$$ C. y轴 D. 直线$$x=4$$ 3. 将$$y=3x^2$$先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，解析式为（） A. $$y=3(x+2)^2+4$$ B. $$y=3(x-2)^2+4$$ C. $$y=3(x+2)^2-4$$ D. $$y=3(x-2)^2-4$$ 4. 对于$$y=-x^2+2x-1$$，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 有最大值0 C. 有最小值0 D. 对称轴为x=-1 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 二次函数顶点式$$y=a(x-h)^2+k$$的对称轴为________，顶点坐标为________。 6. 抛物线$$y=-2(x+1)^2-3$$开口向________，最________值为________。 7. 一般式$$y=ax^2+bx+c$$的顶点横坐标公式为________。 8. 抛物线$$y=x^2-6x+5$$化为顶点式为________。 三、解答题（共56分） 9.（18分）已知抛物线$$y=2(x-2)^2-5$$，写出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 10.（18分）将二次函数$$y=2x^2-8x+1$$配方化为顶点式，并求出顶点坐标与对称轴。 11.（20分）说明二次函数一般式与顶点式的联系，以及a、b、c、h、k各自的作用。 参考答案与详细解析 1. A 解析：顶点式$$y=a(x-h)^2+k$$顶点为$$(h,k)$$，本题$$h=3，k=1$$，顶点$$(3,1)$$。 2. B 解析：对称轴公式$$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2}=2$$，对称轴为直线$$x=2$$。 3. A 解析：平移规律“左加右减、上加下减”，左移2、上移4，得$$y=3(x+2)^2+4$$。 4. B 解析：$$a=-1<0$$开口向下，有最大值，配方得$$y=-(x-1)^2$$，最大值为0。 5. 直线$$x=h$$；$$(h,k)$$ 6. 下；大；$$-3$$ 解析：a<0开口向下，顶点为最高点，最大值为-3。 7. $$-\dfrac{b}{2a}$$ 8. $$y=(x-3)^2-4$$ 解析：配方得$$y=(x^2-6x+9)-9+5=(x-3)^2-4$$。 9. 解：$$a=2>0$$，开口向上；对称轴直线$$x=2$$；顶点坐标$$(2,-5)$$；最小值为-5，无最大值；当$$x<2$$时y随x增大而减小，$$x>2$$时y随x增大而增大。 10. 解：配方：$$y=2(x^2-4x)+1=2(x^2-4x+4-4)+1=2(x-2)^2-8+1=2(x-2)^2-7$$。顶点式为$$y=2(x-2)^2-7$$，顶点坐标$$(2,-7)$$，对称轴直线$$x=2$$。 11. 解：联系：一般式可通过配方化为顶点式，二者为同一个抛物线的两种表达形式，图象、性质完全一致。参数作用：a决定开口方向与宽窄；b与a共同决定对称轴位置；c决定与y轴交点；h、k分别决定顶点横、纵坐标，控制抛物线左右、上下平移。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 问题1 二次函数y=2(x−1)2+3的图象是什么样的?你能由二次函数y=2x2的图象得到它吗?你是怎么得到的? 将二次函数y=2x²的图象向右平移1个单位长度， 再向上平移3个单位长度，就可以得到二次函数 y=2(x-1)²+3的图象。 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=2(x–1)2+3 y=2x2 探究新知 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 问题2 如何由二次函数y=2x2的图象得到二次函数y=2(x+1)2−3的图象呢? -4 -2 O 2 4 8 6 4 2 -2 y x y=2(x+1)2-3 y=2x2 将二次函数y=2x²的图象向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x+1)² -3的图象。 探究新知 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 问题3 一般地，二次函数y=a(x−h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象有什么关系? 探究新知 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x−h)2+k的图象。 将y=ax²的图象先向右或向左平移|h|个单位长度，再向上或向下平移|k|个单位长度，就得到y=a(x-h)²+k的图象。 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 探究新知 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x−h)2+k的图象。 平移规律简记为：上加下减，左加右减。 上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减。 二次项系数a不变。 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 探究新知 具体的平移过程如下： y=ax2 y=a(x−h)2 y=ax2+k y=a(x−h)2+k 向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度 先向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度 再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 探究新知 知识点1 二次函数 的图象与性质 1.[北京东城区模拟] 抛物线 的顶点坐标是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 8 2.二次函数 的大致图象是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3.将抛物线 先向____平移___个单位长度，再向____平移 _______________________个单位长度后，得到抛物线 。 左 2 下 5（或下；5；左；2） 返回 举一反三 10 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 二次函数 y=a(x-h)²+k a>0 a<0 图象 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 探究新知 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 二次函数 y=a(x-h)²+k a>0 a<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 直线x=h (h，k) 向上 向下 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 探究新知 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 二次函数 y=a(x-h)²+k a>0 a<0 图象 增减性 最值 当x<h时，y的值随x值的增大而减小；当x>h时，y的值随x值的增大而增大。 当x<h时，y的值随x值的增大而增大；当x>h时，y的值随x值的增大而减小。 当x=h时，y取最小值， 且y最小=k。 当x=h时，y取最大值， 且y最大=k。 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 探究新知 对于抛物线y=-(x+1)²+3，给出下列结论： ①抛物线y=-(x+1)²+3可由抛物线y=-x²先向左平移1个单位长度，再向上 平移3个单位长度得到；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(-1，3)；④当x>-1时，y的值随x值的增大而减小。其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 例1 C 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 探究新知 我们已经认识了形如y=a(x−h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二 次函数y=2x2−8x+7的图象和性质吗? 将y=2x2-8x+7的右边配方，得 y=2x²-8x+7 = 2(x-2)²-1。 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 化成y=a(x−h)2+k的形式! 你能画出它的图象吗？ 探究新知 二次函数y=ax²+bx+c的图象的画法 二次函数的图象是一条抛物线，画二次函数图象的常见方法有两种：五点法和平移法。 (1)五点法 ①把二次函数y=ax²+bx+c化成y=a(x-h)²+k的形式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； ②一般地，先取顶点，再在对称轴两侧取两对对称的点； ③用光滑的曲线将描出的点顺次连接。 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 探究新知 二次函数y=ax²+bx+c的图象的画法 二次函数的图象是一条抛物线，画二次函数图象的常见方法有两种：五点法和平移法。 (2)平移法 ①把二次函数y=ax²+bx+c化成y=a(x-h)²+k的形式； ②画出二次函数y=ax²的图象； ③将二次函数y=ax²的图象平移，使其顶点平移到点(h，k)的位置。 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 探究新知 我们已经认识了形如y=a(x−h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二 次函数y=2x2−8x+7的图象和性质吗? 将y=2x2-8x+7的右边配方，得 y=2x²-8x+7 = 2(x-2)²-1。 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 化成y=a(x−h)2+k的形式! 你能画出它的图象吗？ 先画出二次函数y=2x²的图象，然后将这个图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数y=2x²-8x+7的图象。 探究新知 先画出二次函数y=2x²的图象，然后将这个图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数y=2x²-8x+7的图象。 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 -2 -1 0 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 y x y=2x² -1 0 1 2 3 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 y x y=2(x-2)² -1 0 1 2 3 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 y x y=2(x-2)²-1 探究新知 当x<2时，y的值随着x值的增大而减小； 当x>2时，y的值随着x值的增大而增大； 当x=2时，y的值最小，y最小=-1。 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 -1 0 1 2 3 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 y x y=2(x-2)²-1 说一说二次函数y=2x²-8x+7的性质。 探究新知 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标。 (1)y=3x²-6x+7； (2)y=2x²-12x+8。 解： (1)把二次函数y=3x²-6x+7的右边配方，得 y=3(x-1)²+4 因此，二次函数y=3x²-6x+7图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，4)。 (2)把二次函数y=2x²-12x+8的右边配方，得 y=2(x-3)²-10 因此，二次函数y=2x²-12x+8图象的对称轴是直线x=3，顶点坐标是(3，-10) 。 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 探究新知 4.已知抛物线，，， 是抛物 线上三点，则，， 由小到大排列是_____________。 返回 举一反三 22 5.已知函数 。 （1）函数图象的开口方向是______，对称轴是 ___________，顶点坐标为________； 向下 直线 （2）在图中画出这个函数的图象； [答案] 图略。 举一反三 23 （3）当_____时，随 的增大而减小； （4）当 取___时函数能取到最值，是最____（填“大”或“小”）值，函 数的最值是____。 4 大 返回 举一反三 24 求二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴和顶点坐标。 解：把二次函数y=ax²+bx+c的右边配方，得 y=ax²+bx+c =a(x²+x)+c =a[x²+2x+()²-()²]+c =a(x+)² 因此，二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴是直线x= -， 顶点坐标是(-，)。 例2 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 探究新知 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 二次函数 y=ax²+bx+c a>0 a<0 图象 开口方向 对称轴及顶点坐标 对称轴是直线x= -，顶点坐标是(-，)。 向上 向下 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 探究新知 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 二次函数 y=ax²+bx+c a>0 a<0 图象 增减性 当x<-时，y的值随x值的增大而减小； 当x>-时，y的值随x值的增大而增大。 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 当x<-时，y的值随x值的增大而增大； 当x>-时，y的值随x值的增大而减小。 探究新知 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 二次函数 y=ax²+bx+c a>0 a<0 图象 最值 当x=-时， 取得最小值， 且y最小=。 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 当x=-时， 取得最大值， 且y最大=。 探究新知 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax²+bx+c的图象特征与a，b，c的关系： a的符号决定抛物线的开口方向， ab的符号决定抛物线对称轴的大致位置， c的符号决定抛物线与y轴交点的大致位置。 探究新知 二次函数y=ax²+bx+c的图象特征与a，b，c的关系 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质   字母的符号 图象的特征  a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴(直线x=0) ab>0(a，b同号) 对称轴(直线x=-)在y轴左侧 ab<0(a，b异号) 对称轴(直线x=-)在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 探究新知 小李从如图所示的二次函数y=ax²+bx+c的图象中，观察得出了下面四个结论：①b>0；②c>1；③ab>0；④a-b+c<0。 其中正确的结论是 。 例3 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 ③ 探究新知 知识点2 二次函数 的图象与性质 6.二次函数 的大致图象是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 32 7.已知二次函数，当函数值随的增大而增大时， 的 取值范围是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 33 8.对于抛物线 ，下列说法正确的是( ) B A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴为直线 C.抛物线的顶点坐标为 D.当时，随 的增大而减小 返回 举一反三 34 9.如果二次函数的最小值为0，那么 的值为( ) B A.2 B.4 C. D.8 返回 举一反三 35 10.用配方法将二次函数化成 的形 式为_________________，二次函数 的图象可以由 的图象平移得到：先向____平移___个单位长度，再向____平移 _______________________________________个单位长度。 左 2 下 5（或；下；5；左；2） 返回 举一反三 36 11.［教材P138随堂练习T1变式］写出下列二次函数图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标。 （1） ; 解： ， 故抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 。 举一反三 37 （2） ; 解： ， 故抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 。 （3） 。 解： ，故抛物线 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 。 返回 举一反三 38 （第12题） 12.二次函数 的图象如图所示，则一次函 数 的图象一定不经过( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 返回 举一反三 39 （第13题） 13.二次函数 的图象如图所 示，则下列结论中不正确的是( ) D A. B.图象与轴的负半轴交于点 C.函数的最大值为 D. 返回 举一反三 40 14.已知二次函数的图象经过 ， 两点，则 的值可能为( ) A A.9 B.10 C.11 D.12 返回 举一反三 41 15. “黄河胜景，壶口烟花”，在壶口瀑布文化节期间，进 行电子烟花表演，当发射角度与水平面成 角时，烟花在空中的高度 与水平距离满足抛物线 ，则烟花能 达到的最大高度为_____ 。 32.5 返回 举一反三 42 16. 将抛物线 向下平移5个单位 长度后，经过点，则 ___。 2 返回 举一反三 43 17.已知二次函数，当时， 的取值范围是 _____________。 返回 举一反三 44 18.如图是二次函数 图象的一部分， 根据图象回答下列问题： （1）抛物线与轴的一个交点 的坐标是________， 则抛物线与轴的另一个交点 的坐标是______； 举一反三 45 （2）确定 的值； 解：将点的坐标代入，可得 ，解 得 。 举一反三 46 （3）设抛物线的顶点是，试求 的面积。 解： ， 抛物线的顶点的坐标是 。 点到 轴的距离为2。 ，。。 。 返回 举一反三 47 平移法 口诀：上加下减，左加右减 二次函数的图象和性质 y=a(x-h)²+k y=ax²+bx+c 开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下 图象画法 对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h，k) 增减性、最值 开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下 对称轴：直线x= - 顶点坐标：(-，) 增减性、最值 (h=-，k=) 配方 探究新知 谢谢观看 THANKS $