5.3二次函数的图象第3课时-y=a(x-h)²的图象与性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = a(x - h)^2\)的图象与性质，通过“会‘搬家’的喷泉”情境导入，结合复习\(y = ax^2 + c\)的“上加下减”法则，搭建从上下平移到左右平移的学习支架，引导学生探究新知。 其亮点在于以探究活动为核心，通过描点法画图、小组对比\(y = x^2\)与\(y = (x±2)^2\)培养几何直观与推理能力，用思维导图梳理平移法则和性质强化模型观念。分层练习与情境问题结合，学生能深化理解，教师可高效开展教学。

北师大版 · 九年级上册 · 第五章 二次函数 5.3 二次函数的图象 第 3 课时 二次函数 y = a(x−h)² 的图象与性质 数学 · 九年级上册 情境引入：会“搬家”的喷泉 导入 2 公园里有一座喷泉，水柱形状如图（可近似看作抛物线）。 【想一想】 园林改造时，喷水口从 O 处向右移动 2 米到 O′ 处。 (1) 平移后，水柱的形状、大小会改变吗？ (2) 若水柱原对应的函数是 y = x²， 喷口右移 2 米后，水柱对应的函数 关系式是什么？ —— 形状不变，位置改变！ 这背后藏着怎样的数学道理？ 温故知新 复习 3 问题 1：抛物线 y = ax²（a≠0）有哪些性质？ 函数 开口方向 对称轴 顶点 最值 y = ax² (a>0) 向上 y 轴 (x=0) (0, 0) 最小值 0 y = ax² (a<0) 向下 y 轴 (x=0) (0, 0) 最大值 0 问题 2：y = ax² + c 的图象与 y = ax² 有何关系？ y = ax² + k：把 y = ax² 向上（k>0）/向下（k<0）平移 |k| 个单位 口诀：上加下减 —— 上下平移改常数。 今日之问 上节课我们让抛物线 “上下平移”； 如果让它“左右平移” ， 解析式又会怎样变化？ 它的图象与性质 又是什么样呢？ 学习目标 目标 4 01 会用描点法画二次函数 y = a(x−h)² 的图象。 核心素养：几何直观 02 理解 y = a(x−h)² 与 y = ax² 图象之间的平移关系，掌握“左加右减”法则。 核心素养：推理能力 · 数形结合 03 掌握 y = a(x−h)² 的开口、对称轴、顶点及增减性与最值。 核心素养：运算能力 · 模型观念 重点：y = a(x−h)² 的图象与性质 难点：理解平移规律“左加右减”的由来 探究一：画一画 y = (x−2)² 探究 5 任务：在同一坐标系中画出 y = x² 与 y = (x−2)² 的图象。 x −2 −1 0 1 2 3 4 x² 4 1 0 1 4 9 16 (x−2)² 16 9 4 1 0 1 4 观察表格： ① 每一列，(x−2)² 的值与 x² 的值有什么规律？ ② 当 x=2 时，(x−2)² 取到什么值？ ③ 猜想：两条抛物线的形状有什么关系？ 探究一发现：向右平移 2 个单位 发现 6 点 (0,0)→(2,0)，(1,1)→(3,1)：对应点横坐标都加 2 【发现】 ① 形状、大小、开口方向完全相同 ② y = (x−2)² 的图象可由 y = x² 向右平移 2 个单位得到； ③ y = (x−2)²：顶点 (2, 0)，对称轴 x = 2； ④ 追问：为什么是“x−2”却向右移？ ——因为当 x−2 = 0 即 x = 2 时取最小值， 顶点自然落在 x = 2 处。 探究二：小组活动——左右平移 活动 7 【小组动手操作】 每 4 人一组，在同一张方格纸上： ① A 同学画 y = x²； ② B 同学画 y = (x−2)²； ③ C 同学画 y = (x+2)²； ④ D 同学负责填表对比、汇报。 【观察任务】 ⑴ 三条抛物线形状、开口是否相同？ ⑵ 顶点、对称轴分别是什么？ ⑶ y=(x+2)² 是把 y=x² 向哪个方向 平移几个单位得到的？ 发现：y = (x+2)² 即 y = (x−(−2))²，顶点 (−2, 0)， 是把 y = x² 向左平移 2 个单位得到的。 探究三：a 与 h 各起什么作用？ 探究 8 a —— 决定“形状” · a>0 开口向上，a<0 开口向下； · |a| 越大，开口越小（图象越“瘦”）； · |a| 相同 ⇒ 形状完全相同。 h —— 决定“位置” · 对称轴：直线 x = h； · 顶点：(h, 0)； · h>0 图象在 y = ax² 右侧 h 个单位； · h<0 图象在 y = ax² 左侧 |h| 个单位。 归纳提炼：平移法则与图象性质 归纳 9 平移法则（左右平移）： y = ax² ——向右平移 h 个单位（h>0）——▶ y = a(x−h)² ； 向左平移 h 个单位（h>0）——▶ y = a(x+h)² 口诀：左加右减（自变量加减），上加下减（常数项加减） y = a(x−h)²（a≠0） a > 0 a < 0 开口方向 向上，并向上无限延伸 向下，并向下无限延伸 顶点坐标 (h, 0) (h, 0) 对称轴 直线 x = h 直线 x = h 最值 x = h 时，y最小 = 0 x = h 时，y最大 = 0 增减性 x < h 时 y 随 x 增大而减小；x > h 时 y 随 x 增大而增大 x < h 时 y 随 x 增大而增大；x > h 时 y 随 x 增大而减小 别忘了：研究增减性、最值必须指明自变量范围，最好结合图象说理 —— 数形结合。 例题精讲 例题 10 【例】已知抛物线 y = ½(x+2)²， 解决下列问题： 解：(1) ∵ a = ½ > 0，开口向上； h = −2，对称轴为直线 x = −2， 顶点坐标为 (−2, 0)。 (2) 当 x = −2 时，y 最小 = 0； (3) x < −2 时，y 随 x 增大而减小； x > −2 时，y 随 x 增大而增大。 (4) 它由 y = ½x² 向左平移 2 个单位得到。 方法：先定 h（定位置），再看 a（定形状）！ 想一想：若改为 y = −½(x+2)²，结论哪些会变？ 分层练习：基础过关 基础 11 1 抛物线 y = −3(x−2)² 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 答案：开口向下；对称轴 x = 2；顶点 (2, 0) 2 将抛物线 y = 4x² 向左平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是什么？ 答案：y = 4(x+3)² 3 抛物线 y = 2(x+1)² 当 x 取何值时 y 随 x 增大而增大？何时取最值？ 答案：x > −1 时增大；x = −1 时 y最小 = 0 分层练习：能力挑战 挑战 12 【挑战 1】逆向求解析式 抛物线 y = a(x−h)² 与 y = −2x² 形状相同且开口方向相同， 顶点横坐标为 −1，求其解析式。 【解析】形状相同且开口相同 ⇒ a = −2； 顶点横坐标 −1 ⇒ h = −1。 ∴ y = −2(x+1)² 关键：逆向思考——由性质反推 a 与 h。 【挑战 2】平移中的分类讨论 将 y = −½x² 沿 x 轴方向平移后， 恰好经过点 (−1, −2)， 应怎样平移？ 【解析】设平移后 y = −½(x−h)²， 代入点：−½(−1−h)² = −2， (−1−h)² = 4 ⇒ −1−h = ±2， h = 1 或 h = −3（分类讨论） ∴ 向右平移 1 个单位， 或向左平移 3 个单位。 课堂总结：思维导图 总结 13 y = a(x−h)² 图象与性质 图象画法 · 描点法（列表、描点、连线） · 平移法：由 y=ax² 左右平移 平移法则 · 左加右减（改自变量） · 上加下减（改常数项） 图象性质 · 顶点 (h,0)，对称轴 x=h · 开口由 a 定，最值看 a 的符号 · 增减性以 x=h 分界 思想方法 · 数形结合 · 从特殊到一般 · 化归与分类讨论 作业布置 作业 14 必做题 1. 课本习题 5.3 第 3 题：写出下列函数的 开口方向、对称轴与顶点： ① y = 3(x−1)²； ② y = −(x+3)²。 2. 指出 y = 2(x+4)² 可由 y = 2x² 经过 怎样的平移得到？ 选做题（挑战自我） 1. 抛物线 y = a(x−h)² 过点 A(2, 3)、 B(4, 3)，且顶点在 x 轴上， 求解析式。（提示：对称性） 2. 预习：若再上下平移呢？ 猜想 y = a(x−h)²+k 的图象特征。 下节预告：二次函数 y = a(x−h)² + k 的图象与性质 —— 左右上下平移齐上阵！ $