5.3二次函数的应用 课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“确定二次函数的表达式”，通过回顾一次函数待定系数法导入，系统讲解一般式、顶点式、交点式三种方法，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生掌握不同条件下表达式的求解思路。 其亮点在于结合篮球投篮等实际情境，运用数学建模（数学语言）和推理能力（数学思维），通过典例精析与针对练习，归纳清晰步骤培养抽象能力（数学眼光）。学生能提升运算与建模能力，教师可借助结构化内容高效教学。

初中数学教学课件 北师大版新版九年级上册 仅供课堂教学使用 1.7.2013 这是我们课件的封面页母版。设计非常简洁，突出课题名称和教材版本。蓝色主标题显得专业稳重，符合教研资料的风格。底部的小字声明了使用范围，显得规范。 ‹#› 教材总览 第五章 二次函数 5.3二次函数的应用 第1课时 确定二次函数的表达式 学习目标： 1. 会根据已知条件，灵活选用一般式、顶点式求二次函数表达式。 2. 能结合实际问题情境，建立二次函数模型，求解函数解析式。 3.体会待定系数法思想，提升数学建模与运算求解能力。 5.3.1 确定二次函数的表达式 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 2个 2个 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 回顾旧知 课本例题：如图5-6，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B。已知球出手的位置A到地面的距离为2.25 m，到篮圈中心B的水平距离为4 m，篮圈中心B到地面的距离为3.05 m。建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线 y = ax2 + c（-3 ≤ x ≤ 1）。求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度。 典例精析 解：由题意可知，抛物线经过点 A（-3，2.25），B（1，3.05）。将这两个点的坐标分别代入表达式 y = ax2 + c，得： 2.25 = 9a + c， 3.05 = a + c。 a = -0.1， c = 3.15。 所以，这条抛物线的表达式为 y = -0.1x2 + 3.15。 当 x = 0 时，y 取得最大值，y最大 = 3.15。 因此，球运动的最大高度是 3.15 m。 典例精析 1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5）， 8=4a-2b， 5=a-b， ∴ 解得 ∴ y=-x2-6x. { { a=-1, b=-6. 针对练习 顶点法求二次函数的表达式 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 探究新知 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 归纳小结 2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9. 解得 ∴所求的二次函数的表达式是： 针对练习 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 交点法求二次函数的表达式 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 探究新知 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 归纳小结 一般式法求二次函数的表达式 问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 探究新知 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得 ①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4， c=-3. ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3. 待定系数法步骤： 1.设 2.代 3.解 4.还原 探究新知 例2.已知二次函数的图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. ∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5. ∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)， a=2， ∴ 10=a-b+c， 7=4a+2b+c， c=5. 解得 4=a+b+c b=-3， ∴二次函数图像对称轴为直线 ，顶点坐标为 . 典例精讲 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 一般式法求二次函数表达式的方法 归纳小结 3. 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得 4a+2b+1=4， 9a+3b+1=10， 解这个方程组，得 ∴所求的二次函数的表达式是 针对练习 1.本节课你收获了哪些新知识？ 2.通过今天的学习你还有哪些疑惑？ 归纳小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 课堂小结 综合题：如图，已知二次函数 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的表达式； A B C x y O 解:∵该图象经过点（2,0）和(1,－6)， { -2+2b+c=0 c=-6 解得 { b=4 c=-6 ∴二次函数的表达式为： 当堂练习 (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的积． A B C x y O 解:∵二次函数对称轴为 ∴c点坐标为（2,0） $