5.2.3二次函数y=a(x−h)2 的图象与性质-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y=a(x-h)^2 \) 的图象与性质，通过对比 \( y=2x^2 \) 与 \( y=2(x-1)^2 \) 的函数值表格，引导学生发现平移规律，衔接基础抛物线到顶点式的知识脉络，搭建学习支架。 其亮点在于通过列表描点画图象培养几何直观，分析参数 \( a \)、\( h \) 影响发展推理意识，结合平移实例（如 \( y=x^2 \) 平移得 \( y=(x-3)^2 \)）强化模型意识。采用表格对比小结性质，学生能深化理解，教师可借助结构化资源提升教学效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第五章 二次函数 5.2.3二次函数y=a(x−h)2 的图象与性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学5.2.3二次函数y=a(x−h)²的图象与性质专项练习 核心知识点回顾：本节重点学习顶点式二次函数 $$y=a(x-h)^2$$ 的图象与平移规律。该函数图象为抛物线，由基础抛物线 $$y=ax^2$$ 左右平移得到。抛物线顶点坐标为 $$(h,0)$$，对称轴为直线 $$x=h$$。参数 $$a$$ 决定开口方向与开口大小：$$a>0$$ 开口向上，有最小值；$$a<0$$ 开口向下，有最大值；$$|a|$$ 越大，开口越窄。平移规律：左加右减，$$h>0$$ 向右平移 $$h$$ 个单位，$$h<0$$ 向左平移 $$|h|$$ 个单位，左右平移不改变开口大小与开口方向。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 抛物线 $$y=2(x-1)^2$$ 的对称轴是（） A. 直线 $$x=1$$ B. 直线 $$x=-1$$ C. y轴 D. x轴 2. 抛物线 $$y=-3(x+2)^2$$ 的顶点坐标是（） A. $$(2,0)$$ B. $$(-2,0)$$ C. $$(0,2)$$ D. $$(0,-2)$$ 3. 将抛物线 $$y=4x^2$$ 向右平移2个单位，所得解析式为（） A. $$y=4(x+2)^2$$ B. $$y=4(x-2)^2$$ C. $$y=4x^2+2$$ D. $$y=4x^2-2$$ 4. 对于抛物线 $$y=5(x-3)^2$$，下列说法正确的是（） A. 开口向下 B. 最大值为0 C. 最小值为0 D. 对称轴为直线 $$x=-3$$ 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 抛物线 $$y=a(x-h)^2$$ 的顶点坐标为________，对称轴为直线________。 6. 抛物线 $$y=2(x+4)^2$$ 可由 $$y=2x^2$$ 向________平移________个单位得到。 7. 抛物线 $$y=-4(x-5)^2$$ 开口向________，函数最值为________。 8. 抛物线 $$y=3(x-2)^2$$，当x________时，y随x的增大而增大。 三、解答题（共56分） 9.（18分）简述二次函数 $$y=a(x-h)^2$$ 中，参数 $$a$$ 和 $$h$$ 分别对抛物线图象的影响。 10.（18分）已知抛物线 $$y=-2(x+1)^2$$，写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与函数最值。 11.（20分）说明如何由抛物线 $$y=x^2$$ 平移得到 $$y=(x-3)^2$$，并写出平移前后抛物线的相同点与不同点。 参考答案与详细解析 1. A 解析：根据顶点式性质，$$y=a(x-h)^2$$ 对称轴为直线 $$x=h$$，本题 $$h=1$$，对称轴为直线 $$x=1$$。 2. B 解析：原式可化为$$y=-3(x-(-2))^2$$，对应 $$h=-2$$，顶点坐标为 $$(-2,0)$$。 3. B 解析：抛物线左右平移遵循“左加右减”，向右平移2个单位，自变量x替换为 $$x-2$$，解析式为 $$y=4(x-2)^2$$。 4. C 解析：$$a=5>0$$，开口向上，顶点为最低点，最小值为0，对称轴为直线 $$x=3$$。 5. $$(h,0)$$；$$x=h$$ 6. 左；4 解析：$$y=2(x+4)^2=2(x-(-4))^2$$，依据左加右减，向左平移4个单位。 7. 下；0 解析：$$a=-4<0$$，开口向下，顶点在x轴上，函数最大值为0。 8. $$>2$$ 解析：开口向上，对称轴右侧即 $$x>2$$ 时，y随x增大而增大。 9. 解：参数a：决定抛物线开口方向和开口大小，$$a&gt;0$$ 开口向上，有最小值；$$a<0$$ 开口向下，有最大值；$$|a|$$ 越大，开口越窄。参数h：决定抛物线左右平移位置，只改变顶点横坐标与对称轴位置，不改变开口大小、开口方向和函数最值。 10. 解：$$a=-2<0$$，开口向下；对称轴为直线 $$x=-1$$；顶点坐标 $$(-1,0)$$；抛物线开口向下，当 $$x=-1$$ 时，函数有最大值0，无最小值。 11. 解：平移方式：将抛物线 $$y=x^2$$ 向右平移3个单位得到 $$y=(x-3)^2$$。相同点：开口方向、开口大小、函数最值完全相同。不同点：对称轴不同、顶点坐标不同，图象整体水平位置发生偏移，函数增减区间不同。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 问题 画二次函数y=2(x−1)2的图象。 (1)完成下表，你能发现2(x−1)2与2x2的值有什么关系? 二次函数y=2x²中自变量x每取一个确定的值，所得到的函数值都与自变量由原来的x值增加1后对应的二次函数y=2(x-1)²的函数值相等。 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=2x² …                   … y=2(x-1)² …                   … 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50 32 18 8 2 0 2 8 18 探究新知 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 问题 画二次函数y=2(x−1)2的图象。 (2)画出二次函数y=2(x−1)2与y=2x2的图象。 可采用二次函数的通常画法，即经过列表、描点、连线三个步骤。 思考：还可以怎么画? y=2x2 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=2(x–1)2 探究新知 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 问题 画二次函数y=2(x−1)2的图象。 (3)二次函数y=2(x−1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? y=2x2 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=2(x–1)2 二次函数y=2(x−1)2的图象与y=2x2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同。 探究新知 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 问题 画二次函数y=2(x−1)2的图象。 (3)二次函数y=2(x−1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? y=2x2 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=2(x–1)2 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x² y=2(x-1)² 向上 向上 y轴 （直线x=0） 直线x=1 (0，0) (1，0) 探究新知 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 问题 画二次函数y=2(x−1)2的图象。 (3)二次函数y=2(x−1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? y=2x2 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=2(x–1)2 实际上，只要将二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x−1)2的图象。 探究新知 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 问题 画二次函数y=2(x−1)2的图象。 (4)当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而减小? 对于二次函数y=2(x-1)²， 当x>1时，y的值随x值的增大而增大； 当x<1时，y的值随x值的增大而减小。 y=2x2 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=2(x–1)2 探究新知 知识点1 二次函数 的图象与性质 1.（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出函 数，， 的图象。 解：图略。 举一反三 8 （2）观察（1）中所画的图象，填表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 ______ _____ ______ ______ ____________ ________ ______ __________ ______ 向上 轴 向上 直线 向上 直线 返回 举一反三 9 2.二次函数 的大致图象是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 3.点，在二次函数 的图象上，若 ，则( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 11 思考 (1)画出二次函数y=2(x−2)²的图象，它与二次函数y=2x²的图象有什么相同和不同? 二次函数y=2(x-2)²与y=2x²的图象形状相同， 开口都向上，但对称轴和顶点坐标不同。 将二次函数y=2x²的图象向右平移2个单位 长度就可以得到二次函数y=2(x-2)²的图象。 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 探究新知 思考 (2)你能由二次函数y=2x²的图象分别得到二次函数y=2(x+1)²和y=2(x+2)²的图象吗?你是怎么做的? 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 y=2x2 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=2(x +1)2 二次函数y=2(x+1)²的图象与y=2x² 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同。 将二次函数y=2x²的图象向左平移1个单位长度， 就可以得到二次函数y=2(x+1)²的图象。 探究新知 思考 (2)你能由二次函数y=2x²的图象分别得到二次函数y=2(x+1)²和y=2(x+2)²的图象吗?你是怎么做的? 将二次函数y=2x²的图象向左平移2个单位长度， 就可以得到二次函数y=2(x+2)²的图象。 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 y=2x2 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=2(x+2)2 探究新知 思考 (3)二次函数y=a(x−h)²的图象是什么形状?其中的h对图象有什么影响? 二次函数y=a(x-h)²的图象是抛物线，它的形状与二次函数y=ax²的图象形状相同，只是位置不同。 直线x=h是抛物线的对称轴，即h影响图象的位置。 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 探究新知 二次函数y=a(x−h)²的图象是抛物线，它的形状与二次函数y=ax²的图象形状相同，只是位置不同。 将二次函数y=ax²的图象左右平移|h|个单位长度，就可以得到二次函数y=a(x−h)²的图象。 括号内：左加右减 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 向左平移 1个单位 向右平移 1个单位 y=2x² y=2(x-1)² y=2(x+1)² 探究新知 如果将抛物线向右平移2个单位长度后得到抛物线y=x²，那么原抛物线的表达式是( ) A.y=x²+2 B.y=x²-2 C.y=(x+2)² D.y=(x-2)² 例1 C 知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 探究新知 4. 写一个图象的对称轴是直线 的二次函数的表达 式：___________________________。 （答案不唯一） 返回 举一反三 18 5.已知函数 。 （1）函数图象的开口方向是______，对称轴是____________，顶点坐 标为________。 向下 直线 （2）当取哪些值时，随的增大而减小？当取哪些值时，随 的增 大而增大？ 解：当时，随的增大而减小，当时，随 的增大而增大。 返回 举一反三 19 知识点2 二次函数与 的图象的关系 6.将抛物线 向左平移2个单位长度后所得抛物线的表达式是 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 20 7.将抛物线 向____平移___个单位长度，得到抛物线 。抛物线 的对称轴是直线______，顶点坐 标是______。 右 6 返回 举一反三 21 8.已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线 的都相同，顶点 与抛物线 的相同。 （1）写出这条抛物线的表达式； 解：这条抛物线的表达式为 。 （2）将（1）中的抛物线向右平移4个单位长度，写出平移后的抛物线 的表达式。 解：平移后的抛物线的表达式为 。 返回 举一反三 22 9.若二次函数 的图象如图所示，则坐 标原点可能是( ) B A.点 B.点 C.点 D. 点 返回 举一反三 23 10.[温州期中] 已知二次函数，当时，随 的增大 而增大，当时，随的增大而减小。当时， 的值为 ( ) D A.2 B. C.4 D. 返回 举一反三 24 11.若抛物线向右平移 个单位长度后经过点 ，则 ( ) B A. B.4 C.2或4 D.2或 返回 举一反三 25 12.若抛物线经过和两点，则 的值为 ( ) A A. B. C.1 D. 返回 举一反三 26 13. 已知二次函数（ 为常数），当自 变量满足时，与其对应的函数值的最大值为，则 的值 为______。 1或6 返回 举一反三 27 二次函数的 图象和性质 y=ax² y=a(x-h)² 左右平移 图象画法 平移法 口诀：左加右减 课堂小结 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质。 二次函数 y=a(x-h)² a>0 a<0 h>0 h<0 h>0 h<0 图象   开口方向 对称轴 顶点坐标 直线x=h (h，0) 向上 向下 课堂小结 二次函数 y=a(x-h)² a>0 a<0 h>0 h<0 h>0 h<0 图象   增减性 最值 当x<h时，y的值随x值的增大而减小； 当x>h时，y的值随x值的增大而增大。 当x<h时，y的值随x值的增大而增大； 当x>h时，y的值随x值的增大而减小。 当x=h时，y取最小值， 且y最小=0。 当x=h时，y取最大值， 且y最大=0。 课堂小结 谢谢观看 THANKS $