26.4实际问题与二次函数同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，分3课时系统覆盖运动类、面积、利润及实物抛物线问题，采用基础-中档-综合三层递进设计，梯度清晰，强化从单一知识点到综合应用的转化，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|运动类最值、面积最值、简单利润、拱桥/物体运动单一知识点|以选择、填空为主，直接应用二次函数最值公式，夯实概念理解| |中档题|多知识点结合（如“日”字形框架面积、利润与销量关系）|解答题为主，需建立函数模型，强化推理与运算能力| |综合题|复杂情境应用（如带隔墙菜园、生产利润、滑雪轨迹）|含实际约束条件，多步骤求解，发展创新意识与应用能力|

26.4实际问题与二次函数 第 1课时 运动类及面积最值问题 A基础题 知识点1 运动类最值问题 1.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OM，喷头 M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是 则水流喷出的最大高度是 ( ) A.3m B. C.2m D. 2.《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来.经测试，在急刹车时，汽车刹车距离S(m)与滑行时间t(s)之间满足函数关系式 则急刹车时汽车最远要滑行 m才能停下. 3.我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动.已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间t(s)的函数关系是 如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开?这时火箭的高度是多少? 知识点2 面积最值问题 4.如图，将一根长8cm 的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗).设这个长方形的一边长为x cm，它的面积为 y cm²，则 y与x之间的函数关系式为 ，当x= 时，y有最大值，为 5.如图，计划用长为40 m的篱笆围一个矩形围栏，其中一边靠墙(墙长25 m).当矩形围栏的面积最大时，围栏的三边长分别为多少? 【变式】将上题中的“墙长 25 m”改为“墙长18 m”，其他条件不变，当矩形围栏的面积最大时，围栏的三边分别长多少? 中档题 6.如图，用一根60 cm的铁丝制作一个“日”字形框架ABCD，铁丝恰好全部用完.设框架的宽AB为x cm. (1)框架的长 AD 为 cm(用含 x 的代数式表示). (2)矩形框架 ABCD 面积的最大值为 7.窜天猴，又称钻天猴或冲天炮，其特点在于火药燃烧后，能在尾部产生强大的气流，推动主体向上飞行，并在此过程中发出哨音.经研究发现，在摆放角度固定的情况下，窜天猴上升的高度 h(m)与时间t(s)的函数解析式为 当发射2 s时,窜天猴高度达到70 m;当发射5s 时,窜天猴高度达到85 m. (1)h关于t 的函数解析式为 (不写自变量的取值范围). (2)当发射 s时，窜天猴达到最大高度，最大高度为 m. 8.如图所示，正方形EFGH 的顶点在边长为2 的正方形 ABCD的边上.设 AE=x,正方形 EFGH 的面积为y. (1)求y关于x 的函数解析式. (2)正方形 EFGH 有没有最小面积?若有，试确定点 E 的位置；若没有，试说明理由. 综合题 9.如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园 ABCD，墙长为12 米.设AB 的长为x 米，矩形菜园 ABCD 的面积为S平方米. (1)用含x的代数式表示 BC= 米. (2)若S=54,求x的值. (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门(无需篱笆)，当x为何值时，S取最大值?最大值为多少? 第 2课时 利润最值问题 基础题 知识点1 简单销售问题中的利润问题 1.已知某种设备的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间满足函数解析式 4x+5，则最大利润为( ) A.5万元 B.6万元 C.7万元 D.8万元 2.某种商品每件进价为20元，经调查表明，在某段时间内,若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售，可售出(30-x)件.若要使利润最大，则每件商品的售价应为 元. 3.商家销售某种日用品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系(如图所示),其中15≤x≤30. (1)求 y关于x的函数解析式. (2)若该种日用品进价为每件 10元，该商家如何确定销售单价才能使每天获得的利润最大?最大利润是多少? 知识点2“每……每……”销售利润问题 4.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出 400 件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20件.设每件商品涨x元，销售利润为 y元，则y=(30+x-20)(400-20x).对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是( ) A.20x表示涨价后少售出商品的数量 B.30+x-20表示涨价前商品的单件利润 C.400-20x表示涨价后售出商品的数量 D.30+x表示涨价后商品的单价 5. 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团每增加1人，每人的单价就下降10元.设旅游团的人数是x(30<x≤60)，则每人的单价下降 元，每人的单价为 元，旅行社的营业额W= .所以当旅游团的人数为 时，旅行社的营业额 W 最大，最大营业额为 元. 6. 正定古城是“国家历史文化名城”，其文创产品深受游客喜爱.某文创店购进一款正定古城纹样帆布包，进价为每个30元，现以单价60元销售，每天可卖出20个.调查发现，若该纹样帆布包的销售单价每降价1元，日销售量就会增加2个，且销售单价要高于进价.设该纹样帆布包每个降价m元(m为正整数)，降价后的日销售利润为w元. (1)当m的值为多少时，日销售利润与降价前保持不变? (2)当 m的值为多少时，日销售利润最大?最大利润是多少元? 中档题 7.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价0.5元，销售量将减少5千克.现该商场涨价x元(x为整数)，那么每千克应涨价 元才能使每天获得利润最大. 8.“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视.某经销商抓住商机，以每10元/条的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于 18元.经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量y(条)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 15 16 17 每天销售数量y/条 30 28 26 (1)求y与x之间的函数关系式. (2)设销售这种跳绳每天获利w(元)，当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大是多少元? 综合题 9.某公司生产一种建筑材料，生产费用y(万元)由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成.已知该公司每年的材料费用(万元)与产量x(吨)成正比，制造费用(万元)与产量x(吨)的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据. 产量/吨 50 70 生产费用/万元 1 500 1840 (1)求 y与x的函数解析式. (2)已知卖出x吨该建筑材料的价格为 P 万元/吨，其中 (a为常数).设出售x吨该建筑材料的利润为ω万元. ①求ω与x的函数解析式. ②如果生产出来的建筑材料全部卖掉，并且当产量是 150 吨时，所获利润最大，求此时 P 的值. 第 3课时 实物抛物线形问题 基础题 知识点1 拱桥(隧道)类问题 1.如图所示，公路隧道的截面为抛物线形，线段OA 表示水平的路面，以点 O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.若OA=10 m,抛物线的顶点 P 到OA 的距离为9 m,则抛物线对应的函数解析式为( ) C. y=(x+5)²+9 2. 如图，大桥的缆索为抛物线形，两端的索塔均与桥面垂直，且在桥面以上部分高度相同，即AB=CD=93m.缆索最低处的吊杆 MN 的长为3m ，桥面上与点 M 相距 100m处的吊杆 PQ 的长为13 m. (1)请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数解析式. (2)求主桥 AC的长. 知识点2 物体运动类问题 3.射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2m 以内的昆虫.如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分(如图).在一次捕食时，射水鱼射出的水珠向上运动的高度 y(cm)与向前运动的水平距离x(cm)的关系可以近似地表示为 一只昆虫位于射水鱼正前方高度40cm处，射水鱼正好能捕食到这只昆虫，则该昆虫位于射水鱼正前方水平距离 cm处. 4. 如图，一位篮球运动员在距离篮筐中心水平距离4m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心距离地面高度为3.05 m，建立如图所示的平面直角坐标系，试解答下列问题： (1)求抛物线所对应的函数解析式. (2)这次跳投时，球出手处离地面多高? 中档题 5.某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线形拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”(分别记作点 A,B,C,D)四个大字，要求 BC与地面平行，且AD，抛物线最高点的五角星(点E)到BC 的距离为0.6m,BC=2m,AD=4m,如图2所示.甲、乙两位同学得到如下结论： 甲：抛物线的解析式一定为 乙:点 C到 AD 的距离为1.8 m. ( ) A.甲对、乙错 B.甲、乙都对 C.甲错、乙对 D.甲、乙都错 6. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的.正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点 M距水面6m，小孔顶点 N 距水面4.5m 。 (1)求大孔对应抛物线的解析式. (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m 处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3 m，顶部宽4m 的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔?并说明理由. (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为 m. 综合题 7.冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉嘉所在城市新建滑雪场，嘉嘉依据滑雪场地，以地面(OB 所在直线)为x轴，过起跳点 A 作x轴的垂线为 y 轴，构建平面直角坐标系，OA=60米.有一运动员通过助滑坡后从起跳点 A 处腾空跃起，沿运动轨迹APD 运动，最后着陆在滑道 AB 上的点 D 处，然后继续向点 B 滑行，OB=120米.将运动员看作一点，其空中运动轨迹 APD 段可近似看作抛物线 y= 的一部分.已知点 P 为运动员在空中的最高点，点D 为着陆点，且其到地面(OB 所在直线)的距离为5 米. (1)求点 D 的坐标. (2)求抛物线的解析式和点 P 的坐标. (3)该运动员从最高点 P 处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需 40 米的垂直距离.为保证在点 D 处安全着陆，该运动员必须在位于点 F(F为着陆坡AB 上一点)正上方18 米高度的点 E 处停止做转体动作，准备着陆.请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作. 26.4实际问题与二次函数 第1课时 运动类及面积最值问题 1. B 2.15 3.解：由题意，得 ∴火箭点火后13 s降落伞将打开，这时火箭的高度是170 m. 2 4 5.解：设矩形围栏的面积为 S m²，垂直于墙的边长为 xm.由题意，得 S= 0,∴当x=10时，S有最大值，最大值为200.∴围栏的三边长分别为10 m,20 m,10 m. 【变式】解：设矩形围栏的面积为 S m²，垂直于墙的边长为 x m.由题意，得 11≤x<20,∴当x=11时,S有最大值,最大值为198.∴围栏的三边长分别为11 m,18 m,11m. (2)150 7. (2)4 90 8.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,四边形 EFGH也是正方形,∴∠A=∠B=∠HEF=90°,EH=FE.∴∠AEH+∠AHE=90°,∠AEH+∠BEF = 90°. ∴ ∠AHE = ∠BEF.∴△AEH≌△BFE(AAS). ∴BF=AE=x,BE=2-x.在 Rt△BFE 中, ∴y=EF²= (2)∵a=2>0,∴y有最小值.当 时，y取得最小值，此时E为AB 的中点.∴正方形 EFGH有最小面积，此时E为AB 的中点. 9.解:(1)(33-3x) (2)由题意,得S=x(33-3x)=54,解得 9.∵0<33-3x≤12,∴7≤x<11.∴x=9. (3)S=x(33+3-3x)= ∵1.5×2<36-3x≤12,∴8≤x<11.当x=8时,S取最大值，为96. 第2课时利润最值问题 1. C 2.25 3.解:(1)设y= kx+b,由题意,得 解得 ∴y=-10x+400(15≤x≤30).(2)设该商家每天获得的利润为 w元.∴w= 30，∴当x=25时，w取得最大值，最大值为2 250.答：该商家将销售单价定为25元，才能使每天获得的利润最大，最大利润是2 250元. 4. B 5.10(x-30) (1100-10x) - 10x²+1100x 55 30250 6.解:(1)由题意,得(60-30-m)(20+2m)=(60-30)×20,整理,得 解得 (不符合题意，舍去).答：当m=20时，日销售利润保持不变. 600=-2(m-10)²+800,∵-2<0,∴当m=10时,w有最大值,最大值为800.答：当m=10时，日销售利润最大，最大利润为800元. 7.7或8 8.解:(1)设函数关系式为y= kx+b,把x=15,y=30;x=16,y=28代入，得 解得 ∴y.与x 之间的函数关系式y=-2x+60.(2)根据题意,得 200,∵-2<0,10≤x≤18,∴当x=18时,w取得最大值,最大值为192.答：当销售单价为18元时，每天的销售利润最大，最大为192元. 9.解：(1)设材料费用为 制造费用为 则 .将(50,1 500),(70,1 840)代入,得 解得 ∴y与x的函数解析式为 2)①根据题意,得w=P·x-y=(a- ②ω= ∵当产量是150 吨时，利润最大， ,当x=150时,w取得最大值.∴15(a-5)=150,解得a=45.此时 第 3课时 实物抛物线形问题 1. D 2.解：(1)建立平面直角坐标系图略(建系方式不唯一).由题意，得M(0，0),N(0,3),Q(100,13).设抛物线的解析式为 将点Q(100,13)代入解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为 (2)当y=93时, 解得 x₂=300.∴AC=300-(-300)=600(m).答:主桥 AC的长为600m. 3.20 4.解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴设抛物线的函数解析式为 ∵4-2.5=1.5(m),∴篮筐中心(1.5,3.05).代入解析式，得 解得 (2)当x=-2.5时, ∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m. 5. C 6.解：(1)建立平面直角坐标系图略(建系方式不唯一)，则A(-10，0)，B(10,0),M(0,6).设大孔对应抛物线的解析式为 把点A(-10,0)代人解析式,得100a+6=0,解得 ∴大孔对应抛物线的解析式为 (2)能通过.理由：大孔对应抛物线的解析式为 ,4÷2=2(m).当x=2时 5.76>2+3,∴该巡逻船能安全通过大孔.(3)10 7.解:(1)设AB所在直线的解析式为y= kx+m.由题意,得A(0,60).B(120,0),代人,得 解得 ∴AB 所在直线的解析式为 ∵点 D 到地面的距离为5 米，∴ 60=5,解得x=110.∴D(110,5).(2)将A(0,60),D(110,5)代入抛物线 得 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴P(30,69). (3)由题意,得 整理，得 解得 (不符合题意，舍去)，. 90.当x=90时,y=-0.01x²+0.6x+60=33.∵69-33=36<40,∴不能完整做完这个转体运动 学科网（北京）股份有限公司 $