26.4实际问题与二次函数同步培优练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦二次函数实际应用，通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到问题解决的进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数最值计算|如直角三角形面积（选择1）、简单利润问题（选择5），强化概念理解| |情境应用层|实际问题建模|如拱桥抛物线（选择2、3）、销售利润（选择6、21），培养模型意识| |综合探究层|跨学科与动态问题|如羽毛球飞行轨迹（22）、果树压枝（23），提升应用与创新能力|

26.4实际问题与二次函数同步培优练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一个直角三角形两直角边之和为，则这个直角三角形的最大面积为(    ) A. B. C. D. 不确定 2.某石桥的桥拱是近似的抛物线形，在如图所示的平面直角坐标系中，桥拱对应的抛物线的解析式为，当水面宽度为时，水面离桥拱顶的高度为(    ) A. B. C. D. 3.一座抛物线形拱桥如图，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为当水位下降时，水面宽度为(    ) A.   B.   C. D. 4.如图，小明在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数的单位：，的单位：可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约为(    ) A. B. C. D. 5.某商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周利润元与每件销售价元之间的关系满足，由于某种原因，价格的范围只能为，那么一周可获得最大利润是(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 6.将进货单价为元的某种商品按元售出时，能卖出个，价格每上涨元，其销售量就减少个，为了获得最大利润，售价应为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是    ． A. B. C. D. 8.用长的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框如图，那么这个窗户的最大透光面积是(    ) A. B. C. D. 9.如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为，如果在离水面坚直距离为的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程水流落地点离小孔的水平距离与之间的函数表达式为如果想通过垫高水桶，使射出水的最大射程增加，则小孔离水面的距离是(    ) A. B. C. D. 10.如图，中，，，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动设出发时间为有下列结论： 当时，当时，的最大面积为有两个不同的值满足的面积为四边形面积的其中，正确结论的个数是     ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题： 11.某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离关于行驶时间的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了           12.如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形铁丝正好全部用完且无损耗设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为          ，当          时，有最大值，为          ． 13.云南扎染是国家级非物质文化遗产，生产某种扎染挂件需要元的固定成本包含布料、染料等基础物料成本，在此基础上，每生产件该种扎染挂件还需花费元的手工制作费，预定单价为元由于批量生产后手工成本分摊变化，实际单价随产量的增加而下降，下降幅度为产量的十二分之一当产量为          件时，生产这种扎染挂件的利润最大，最大利润是          元 14.图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状碗体厚度不计，碗口宽，此时面汤最大深度当面汤的深度为时，直径长为          ． 15.如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图是棚顶的竖直高度单位：与距离停车棚支柱的水平距离单位：近似满足函数关系的图象，点在图象上若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车          完全停到车棚内填“能”或“不能”． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.一小球被抛出后，距离地面的高度米和飞行时间秒满足函数解析式，求小球距离地面的最大高度． 17.如图，用长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，已知墙长，设，矩形的面积为 写出与之间的函数关系式，并求自变量的范围 如果将养鸡场的地面矩形涂上一层涂料，已知每平方米花费元， 如果花费元，求的值 求最多花费． 18.某特产超市打算销售一种大枣，进价为元件，经过市场调查发现，该产品的日销售量件与当天的销售单价元满足如图所示的一次函数关系． 求与的函数解析式． 求该产品每天获得的利润元的最大值． 19.如图，用一块长为，宽为的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为． 底面的长          ，宽          ，的取值范围是           当做成的盒子底面积为时，求该盒子的容积 该盒子的侧面积是否存在最大值若存在，求出的值及的最大值若不存在，说明理由． 20.某农户搭建有如图所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点的水平距离是，到地面的高度是现以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系若保温墙到点的距离，请你求出保温墙的高度． 21.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件． 若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 如果你是该商场经理，你将如何决策使商场平均每天能获得最大盈利是多少 22.某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 研究背景羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 收集数据某次羽毛球飞行的高度单位：与距发球点的水平距离单位：的对应值如表不考虑空气阻力． 水平距离 高度 探索发现数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线如图，发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 建立模型求与的函数解析式不要求写自变量取值范围． 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到请说明理由． 保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于求的取值范围． 23.本小题分 综合与实践 果树压枝是一种果树管理技术，主要目的是通过改变枝条的生长方向和角度，来调整果树的生长趋势、促进花芽分化、增加果实产量和改善果实品质如图，果农李伯伯正在进行果树压枝处理，如图，一棵枝条近似呈直线生长，端在树干上，与地面的垂直距离为，枝条经过压枝后的形状近似看成抛物线，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为 请你在图中建立适当的平面直角坐标系，并求该抛物线的函数解析式 经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪． 24.网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在某网络平台上进行直播销售某品牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出元现金，作为红包发给购买者已知该板栗的成本价格为元，每日销售量与销售单价元满足关系式：经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元当每日销售量不低于时，每千克成本将降低元，设板栗公司销售该板栗的日获利为元． 求日获利与销售单价之间的函数关系式． 当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大最大利润为多少元 当时，网络平台将向板栗公司收取元的相关费用，若此时日获利的最大值为元，求的值． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15. 能  16. 解：，，当时，取得最大值，为故小球距离地面的最大高度为米．  17. 【小题】 解：． 【小题】 费用为，，，解得，舍 设总共花费元，，当时，花费最多为元．  18. 【小题】 解：设与的函数解析式为由题意，得解得． 【小题】 ．，当时，有最大值，最大值为．该产品每天获得的利润的最大值为元  19. 【小题】 【小题】 依题意，得， 整理，得， 解得，不合题意，舍去． ． 该盒子的容积为 【小题】 盒子的侧面积， 当时，有最大值，最大值为．  20. 设塑料顶棚所在抛物线的解析式为将点代入抛物线解析式，得，解得．抛物线的解析式为当时，答：保温墙的高度是  21. 【小题】 解：设每件衬衫应降价元． 由题意，得． 解得，． 要尽快减少库存， ． 答：若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元． 【小题】 设商场平均每天获得的利润为元， 则． ， 每件衬衫降价元时，可使商场平均每天能获得最大盈利，最大利润为元．  22. 【小题】 把，代入，得解得与的函数解析式为． 【小题】 在该函数解析式中，当时，有最大值，最大值为．，羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到 【小题】 保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，，解析式变为当时，，解得．球的落地点与球网的水平距离小于，当时，，解得，的取值范围为．  23. 【小题】 解：以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系由题意，得，，设，把代入，得，解得．． 【小题】 把代入，得，解得，不符合题意，舍去．，此树枝需要修剪．  24. 【小题】 当，即时，， 当时， 当时， ． 综上所述， 【小题】 当时， ． ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 即当时， 当时， ． ，对称轴为直线， 当时，． ，当销售单价定为元时， 销售这种板栗日获利最大，最大利润为元． 【小题】 ，， 则． 令，则， 解得，，当时，． 又，． 此时日获利 ， 对称轴为直线 ，，当时，， ， 解得，．，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $