7.1 为什么要证明 课时练习 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦命题证明核心，通过基础辨析、情境应用、综合探究三层设计，培养推理意识与创新思维，实现从概念理解到问题解决的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|命题真假判断、逆命题|选择题聚焦单一概念辨析，如垂径定理、特殊四边形判定| |巩固层|反例构造、简单推理|填空题结合结绳记数情境，渗透数学文化与应用意识| |提升层|证明逻辑、规律探究|解答题设新定义“平方倍三角形”，培养抽象能力与创新意识|

【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §7.1为什么要证明 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）下列命题正确的是（ ） A．在一个三角形中至多有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦 C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等 2．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．互补的两个角是邻补角 D．相等的角是对顶角 3．（本题3分）下列命题中，真命题是（  ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 4．（本题3分）下列命题的逆命题是真命题的是（  ） A．正方形的对角线互相垂直平分且相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．正数的绝对值是它本身 5．（本题3分）下列命题中是真命题的是（  ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．等弧所对的圆周角相等 6．（本题3分）下列命题是假命题的是（  ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．任意多边形的外角和等于360° C．四条边都相等的四边形是正方形 D．矩形的对角线互相平分且相等 7．（本题3分）下列命题为真命题的是（  ） A．三点确定一个圆 B．度数相等的弧相等 C．的圆周角所对的弦是直径 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 8．（本题3分）下列命题中，真命题是（　　） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直平分四边形一定是正方形 D．连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形 9．（本题3分）探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（  ） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 10．（本题3分）下列命题是假命题的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．同角（或等角）的余角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．正方形既是矩形又是菱形 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）对于下列假命题，各举一个反例写在横线上． （1）“如果，那么”是一个假命题； 反例：________________________________； （2）“如果，那么”是一个假命题． 反例：________________________． 12．（本题3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72＋2×71＋6＝147＋14＋6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是_________天． 13．（本题3分）已知是锐角，在计算的值时，小明的结果是20°，小丽的结果是30°，小芳的结果是35°，小静的结果是40°,他们四人的结果有一个是正确的，那么________的结果是正确的． 14．（本题3分）命题“邻补角互补”的题设是______，结论是______，它是一个_____（填“真”或“假”）命题． 15．（本题3分）南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）华东师大版八年级数学(下)第19章对特殊平行四边形进行了研究．研究思路是：图形的认识(定义)→图形性质→图形的判定→应用．尤其在研究图形判定时都借助了图形的性质，利用图形性质的逆命题，通过猜想、分析、概括、验证，获取图形的判定方法．如研究矩形的判定时，利用矩形的性质“矩形的两条对角线相等”先猜想再证明．已知甲同学给出的猜想是：“对角线相等的四边形是矩形”；乙同学给出的猜想是：“对角线相等的平行四边形是矩形”．    (1)甲、乙两位同学中猜想正确的是________； (2)根据(1)中正确的猜想，补全下面的已知、求证，并给出证明． 已知：如图，在____________中，、是两条对角线，且___________． 求证：_______________________． 证明： 17．（本题7分）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例这个三角形的构造法则为： 两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中各项的系数：第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中各项的系数等等． （1）根据上面的规律，（a＋b）4展开式的各项系数中最大的数为_______； （2）若（2x＋1）2021＝a1x2021＋a2x2020＋a3x2019＋••••••＋a2019x2＋a2020x＋1，求a1－a2＋a3－……＋a2020－1的值． 18．（本题8分）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的5倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．    (1)若一个三角形的三边长分别是，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由； (2)若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）； (3)如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积． 19．（本题8分）八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值（）代入式子，结果发现式子的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数．”你认为这个猜想正确吗?验证一下的情形． 20．（本题8分）（1）①如果，那么________； ②如果，那么________； ③如果，那么________； （2）由（1），请你归纳出比较与大小的方法，并用文字语言叙述出来； （3）用（2）归纳出的方法，比较与的大小． 21．（本题9分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…． …． (1)请写出第5个等式：____________； (2)写出第n个等式：____________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 22．（本题9分）【探究】相邻两个数其平方数的差值规律． 【特例】 序号 式子 差值 第1个 3 第2个 5 第3个 7 第4个 9 第5个 11 … … … 【任务】 (1)按照上述规律，请你写出第6个式子； (2)观察表格可知，相邻两个数其平方数的差值为________(填“奇数”或“偶数”)，请你用所学的知识证明该结论． 【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §7.1为什么要证明 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）下列命题正确的是（ ） A．在一个三角形中至多有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦 C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等 解：A、由于三角形内角和为，故内角中最多有一个钝角，即在一个三角形中至少有两个锐角，A错误； B、根据垂径定理知在圆中，垂直于弦的直径平分弦，B正确； C、举例两个角分别取和互余，它们的补角为和，这两角不互余，C错误； D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等，两条不平行的直线被第三条直线所截，同位角不相等，D错误． 故选：B． 2．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．互补的两个角是邻补角 D．相等的角是对顶角 解：A．内错角相等是假命题，应该是是两直线平行，内错角相等，本选项不符合题意； B．平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，本选项符合题意； C．互补的两个角是邻补角，是假命题，互补的两个角不一定有公共顶点，公共边，本选项不符合题意； D．相等的角是对顶角，是假命题，有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角是对顶角，本选项不符合题意． 故选：B． 3．（本题3分）下列命题中，真命题是（  ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是假命题，所以A选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题，所以B选项错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是假命题，所以C选项错误； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，所以D选项正确． 故选：D． 4．（本题3分）下列命题的逆命题是真命题的是（  ） A．正方形的对角线互相垂直平分且相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．正数的绝对值是它本身 解：A、逆命题为：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，此逆命题为真命题，故A选项正确； B，逆命题为：相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，因为相等的角不一定是对顶角，故B选项错误； C，逆命题为：若，则，此逆命题为假命题，故C选项错误； D，逆命题为：绝对值等于它本身的数是正数，此逆命题为假命题，因为0的绝对值也是它本身，故D选项错误；故选：A 5．（本题3分）下列命题中是真命题的是（  ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．等弧所对的圆周角相等 解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A为假命题； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以B为假命题； C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以C为假命题； D、等弧所对的圆周角相等，所以D为真命题． 故选：D． 6．（本题3分）下列命题是假命题的是（  ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．任意多边形的外角和等于360° C．四条边都相等的四边形是正方形 D．矩形的对角线互相平分且相等 解：选项，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意； 选项，任意多边形的外角和等于360°，是真命题，不符合题意； 选项，四条边都相等的四边形不一定是正方形，是假命题，符合题意； 选项，矩形的对角线互相平分且相等，是真命题，不符合题意； 故选：． 7．（本题3分）下列命题为真命题的是（  ） A．三点确定一个圆 B．度数相等的弧相等 C．的圆周角所对的弦是直径 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项A错，不符合题意； B、度数相等的弧不一定相等，只有在同圆或等圆中才相等，故选项B错，不符合题意； C、的圆周角所对的弦是直径，故选项C正确，符合题意． D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 8．（本题3分）下列命题中，真命题是（　　） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直平分四边形一定是正方形 D．连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形 解:A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； C、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； D、连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，是真命题，符合题意； 故选：D． 9．（本题3分）探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（  ） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 解：关于x的一元二次方程根的判别式为：， 甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意； 乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意， 故选：B． 10．（本题3分）下列命题是假命题的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．同角（或等角）的余角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．正方形既是矩形又是菱形 解：A.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，符合题意； B. 同角（或等角）的余角相等，故原命题正确，是真命题，不符合题意； C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故原命题正确，是真命题，不符合题意； D. 正方形既是矩形又是菱形，故原命题正确，是真命题，不符合题意， 故选：A． 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）对于下列假命题，各举一个反例写在横线上． （1）“如果，那么”是一个假命题； 反例：________________________________； （2）“如果，那么”是一个假命题． 反例：________________________． 解:(1) (2) 12．（本题3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72＋2×71＋6＝147＋14＋6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是_________天． 解：由题意，孩子自出生后的天数=2×72＋1×71＋4＝98＋7＋4＝109（天）， 故答案为：109． 13．（本题3分）已知是锐角，在计算的值时，小明的结果是20°，小丽的结果是30°，小芳的结果是35°，小静的结果是40°,他们四人的结果有一个是正确的，那么________的结果是正确的． 解：∵是锐角， ∴0°＜∠A＜90°， ∴0°＜＜25°， ∴四人的结果只有小明的结果是正确的. 故答案为小明. 14．（本题3分）命题“邻补角互补”的题设是______，结论是______，它是一个_____（填“真”或“假”）命题． 解：命题“邻补角互补”可以改写为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角互补； 则题设是：两个角互为邻补角，结论是：这两个角互补.这是一个真命题， 故答案为：两个角互为邻补角；这两个角互补；真. 15．（本题3分）南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 解:∵每个名次都有人猜对，第二名只有D猜测“B第二名” ∴B是第二名； ∴此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对， ∴A是第三名； ∴C的“A第一名”错误， ∴D的“C第一名”正确， ∴C是第一名； ∴A的“C第五名”错误， ∴B的“D第五名”正确， ∴D是第五名； ∴ B的“E第四名”正确， ∴E是第四名． 故答案为：C、B、A、E、D． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）华东师大版八年级数学(下)第19章对特殊平行四边形进行了研究．研究思路是：图形的认识(定义)→图形性质→图形的判定→应用．尤其在研究图形判定时都借助了图形的性质，利用图形性质的逆命题，通过猜想、分析、概括、验证，获取图形的判定方法．如研究矩形的判定时，利用矩形的性质“矩形的两条对角线相等”先猜想再证明．已知甲同学给出的猜想是：“对角线相等的四边形是矩形”；乙同学给出的猜想是：“对角线相等的平行四边形是矩形”．    (1)甲、乙两位同学中猜想正确的是________； (2)根据(1)中正确的猜想，补全下面的已知、求证，并给出证明． 已知：如图，在____________中，、是两条对角线，且___________． 求证：_______________________． 证明： （1）甲、乙两位同学中猜想正确的是乙 故答案为：乙． (2)已知：如图，在平行四边形中，、是两条对角线，且．    求证：四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形或：平行四边形是矩形． 且． 又，， ． ．    ． ． 四边形是矩形或：平行四边形是矩形． 17．（本题7分）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例这个三角形的构造法则为： 两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中各项的系数：第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中各项的系数等等． （1）根据上面的规律，（a＋b）4展开式的各项系数中最大的数为_______； （2）若（2x＋1）2021＝a1x2021＋a2x2020＋a3x2019＋••••••＋a2019x2＋a2020x＋1，求a1－a2＋a3－……＋a2020－1的值． 解：（1）∵展开式中各项的系数为1、1， （a＋b）2展开式中各项的系数为1、2、1， （a＋b）3展开式中各项的系数为1、3、3、1， 由此可得 展开式中各项的系数为1、4、6、4、1， ∴（a＋b）4展开式的各项系数中最大系数为6； （2）根据题意得：当时，， ∴． 18．（本题8分）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的5倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．    (1)若一个三角形的三边长分别是，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由； (2)若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）； (3)如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积． (1)结论：这个三角形是“平方倍三角形”． 理由：∵，， ∴， ∴这个三角形是“平方倍三角形”； （2）设直角边长为a，b，斜边为c， ∵为“平方倍三角形”． ∴，且， ∴， 即，， ∴； （3）在中，，为的中线， ∴. ∴， ∴. ∵是平方倍三角形， ∴当， ∴， ∴， ∴， ∴； 当， ∴， ∴（不合题意舍去）， 综上所述：的面积为24． 19．（本题8分）八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值（）代入式子，结果发现式子的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数．”你认为这个猜想正确吗?验证一下的情形． 解：这个猜想不正确，当时，式子的值为，是一个合数． 20．（本题8分）（1）①如果，那么________； ②如果，那么________； ③如果，那么________； （2）由（1），请你归纳出比较与大小的方法，并用文字语言叙述出来； （3）用（2）归纳出的方法，比较与的大小． 解：（1）① 如果，那么；②＝ ③ 如果，那么。 （2）比较，两数的大小，分三种情况： 如果与的差大于，那么大于； 如果与的差等于，那么等于； 如果与的差小于，那么小于． （3） ∵， ∴ 故： ． 21．（本题9分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…． …． (1)请写出第5个等式：____________； (2)写出第n个等式：____________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． （1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， ……， 以此类推，可知，第个等式为 ， 第5个等式为 ； （2）由（1）可得第个等式为 ； （3）原式． ． 22．（本题9分）【探究】相邻两个数其平方数的差值规律． 【特例】 序号 式子 差值 第1个 3 第2个 5 第3个 7 第4个 9 第5个 11 … … … 【任务】 (1)按照上述规律，请你写出第6个式子； (2)观察表格可知，相邻两个数其平方数的差值为________(填“奇数”或“偶数”)，请你用所学的知识证明该结论． （1）解：按照上述规律可知，第6个式子为：． (2)奇数． 证明：设相邻两个整数为n和， 则它们的平方差为， ∵n为整数， ∴也为偶数， ∴为奇数， ∴相邻两个整数其平方数的差值为奇数． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $