7.1为什么要证明 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练习通过基础选择与分层解答题设计，覆盖推理意识、几何直观等核心素养，构建从概念理解到综合证明的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选1-10）|线段比较、奇数偶数、归纳推理等单一知识点|以具体情境（如拔河选绳、杯子装水）考查概念理解，培养几何直观与推理意识| |提升层（解答11-14）|操作验证、等式性质、整式运算等应用|通过实地操作（铅球测量）和代数推理，强化运算能力与应用意识| |拓展层（解答15-20）|规律探究、勾股数证明、数学猜想等综合应用|以归纳猜想（数阵规律）和逻辑证明（质数性质）发展创新意识与模型观念|

7.1为什么要证明 同步练习 一、单选题（每题4分，共30分） 1．如图，对于四条线段a，b，c，d，请借助直尺或圆规判断长度最大的为（　　） A．a B．b C．c D．d 2．当 是什么数时， 的结果一定是奇数？（　　） A．质数 B．偶数 C．合数 D．奇数 3．用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此结论的得出运用的方法是（　　） A．观察 B．实验 C．归纳 D．类比 4．七年级一班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条最长的绳子，请你为他们选择一种合适的方法（　　） A．把两条绳子接在一起 B．把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳 C．把两条绳子重合，观察另一端情况 D．没有办法挑选 5．有三个两位数a，b，c，其中a是质数，b是能被5整除的偶数、c是6的倍数，并且满足80<a<b<c<100。学习小组的同学对其进行研究后得出结论：小敏说“满足条件的整数a只有一个”，小杰说“满足条件的整数b只有一个，小安说“a除以b一定大于b除以c”，下列结论中正确的是（　　） A．只有小敏是对的 B．小杰和小安是对的 C．只有小安是错的 D．小敏和小安是铅的 6．把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是（　　） A．11的倍数 B．奇数 C．偶数 D．9的倍数 7．若 为正整数，那么 的值（　　） A．一定是零 B．一定是偶数 C．是整数但不一定是偶数 D．不能确定 8．将全体正偶数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第10行第5个数是（　　） A．98 B．100 C．102 D．104 9．最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（　　） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 10．有四位同学一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB．则下列说法正确的是（　　） 甲说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．” 乙说：“把甲的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．” 丙说：“∠AGD一定大于∠BFE．” 丁说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．” A．甲对乙错 B．乙错丁对 C．甲、乙对 D．乙、丙对 二、解答题（共10题，共60分） 11．怎样知道两名同学谁的铅球掷得远？体育课请进行实地操作． 12．如图，一个三角形纸片，不用任何工具，你能准确比较线段AB与线段AC的大小吗？试用你的方法分别确定线段AB、AC的中点． 13．老师在黑板上写了一个等式：（a+3）x=4（a+3）．王聪说x=4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 14．已知A=x﹣y+1，B=x+y+1，C=（x+y）（x﹣y）+2x，两同学对x、y分别取了不同的值，求出的A、B、C的值不同，但A×B﹣C的值却总是一样的．因此两同学得出结论：无论x、y取何值，A×B﹣C的值都不发生变化．你认为这个结论正确吗？请你说明理由． 15．发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如， 为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论符合题意． 16．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 表示大于1的整数， ， ， ，那么 为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 17．p是质数，p2+3也是质数．求证：p3+3是质数． 18．用数学猜想解决问题 数学猜想即依据已知条件或已有结论，运用实验、观察、归纳、类比的方法，对研究的问题做出由特殊到一般的归纳推测．数学猜想是解决问题的常用方法，也是数学发展的重要思维式． 观察下列等式回答问题： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式： （1）由已知等式可猜想第n个等式为： 　 　． （2）求 的值（要求写出过程，结果用含n的代数式表示） 19．如图1所示， 、 都是直角． （1）试猜想 与 在数量上的关系是相等、互余还是互补的关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否正确吗？ （2）当 绕着点O旋转到图2的位置时，你原来的猜想还成立吗？ 20．观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】线段的长短比较 【解析】【解答】解：经测量，线段长度最大的是c， 故答案为：C． 【分析】利用尺规度量直接比较大小即可。 2．【答案】B 【知识点】用字母表示数；代数式的定义 【解析】【解答】解： 奇数用含 的式子表示为： ， 偶数用含 的式子表示为： ， 当 是偶数时， 的结果一定是奇数， 故答案为：B． 【分析】根据代数式的定义求解即可。 3．【答案】C 【知识点】推理与论证 【解析】【解答】解：由多种现象得到一个规律属于归纳．故选C． 【分析】由多种现象得到一个规律属于归纳． 4．【答案】B 【知识点】线段的长短比较 【解析】【解答】利用叠合法即可判断．故答案为：B 【分析】根据线段的叠合法，比较两条大绳的长度. 5．【答案】A 【知识点】因数和倍数的意义；能被5整除的数的特征；质数和合数（奥数类） 【解析】【解答】解： ∵a是质数，80<a<b<c<100， ∴a=83，89，97； ∵b是能被5整除的偶数， ∴b=90； ∵c是6的倍数， ∴c=84，96； ∵80<a<b<c<100， ∴a=83或89，b=90，c=96 ∴小敏说法错误，小杰说法正确； ∵或，， ∴a除以b不一定大于b除以c”， ∴小安的说法错误； ∴只有小敏是对的. 故答案为：A. 【分析】利用a是质数，80<a<b<c<100，可确定出a的值；根据b是能被5整除的偶数，c是6的倍数，可确定出b，c的值；再根据80<a<b<c<100，可确定出a，b，c的值，可对小敏和小杰的说法作出判断；再求出a除以b和b除以c的值，比较大小即可，可对小安的说法作出判断；综上所述可得答案. 6．【答案】A 【知识点】整式的加减运算 【解析】【解答】解：设原两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b，则原两位数为10a+b，新两位数为10b+a， ∴这两个数的和为11a+11b=11（a+b）， ∴所得的和一定是11的倍数， 故答案为：A． 【分析】设原两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b，则原两位数为10a+b，新两位数为10b+a，再利用整式的加法计算即可。 7．【答案】B 【知识点】奇数和偶数的应用（奥数类） 【解析】【解答】解：∵n是正整数， ①m为奇数时， 必为8的整数倍，设 ， ∴ ∴原式的值为偶数； ②m为偶数时， ， ∴ ； 故答案为：B. 【分析】这是一个简单的合情推理问题，我们可以对m的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案． 8．【答案】B 【知识点】探索数与式的规律 【解析】【解答】解：观察数字的变化可知： 第n行有n个偶数， 因为第1行的第1个数是： ； 第2行的第1个数是： ； 第3行的第1个数是：； … 所以第n行的第1个数是： ， 所以第10行第1个数是：， 所以第10行第5个数是： . 故答案为：B. 【分析】观察可得：第n行有n个偶数，第n行第1个数可表示为n(n-1)+2，据此求出第10行第1个数，进而可得第10行第5个数. 9．【答案】A 【知识点】推理与论证 【解析】【解答】解：解： ∵1号杯子左侧出口比右侧高， ∴水先从左侧流出，进入3号杯子， ∵3杯子左侧封闭，水只能从右侧流出，而右侧流入5号杯子，但3号杯子的出口端封闭， ∴水最终会先灌满3号杯子. 故答案为：A. 【分析】根据水先从位置低的出口流出，可判断先灌满1号杯子左侧的几个杯子，再观察3号杯子的两个出口端的情况，即可判断. 10．【答案】C 【知识点】推理与论证 【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，FE⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠BFE=∠BCD， 甲∵∠CDG=∠BFE， ∴∠CDG=∠BCD， ∴DG∥BC， ∴∠AGD=∠ACB， ∴甲符合题意； 乙∵∠AGD=∠ACB， ∴DG∥BC， ∴∠CDG=∠BCD， ∴∠CDG=∠BFE， ∴乙符合题意； 丙DG不一定平行于BC，所以∠AGD不一定大于∠BFE； 丁如果连接GF，则只有GF⊥EF时丁的结论才成立； ∴丙不符合题意，丁不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据平行线的判定得出CD//EF，根据平行线的性质得出∠BFE=∠BCD，求出∠CDG=∠BCD，根据平行线的判定得出DG//BC，即可判断甲；根据∠AGD=∠ACB，推出DG//BC，根据平行线的性质得出∠CDG=∠BCD，即可判断乙，根据已知条件判断丙和丁即可。 11．【答案】解：量出铅球投掷点与落地点之间的线段的长度，比较其长短，便可知这两名同学谁的铅球掷得远 【知识点】线段的长短比较 【解析】【分析】根据实际生活中的操作即可得出答案． 12．【答案】解：将纸片对折，使AB边落在AC 上，就可以得出AC＞AB； 对折使 A、B重合，线段 AB上折痕点就是线段中点． 对折使 A、C重合，线段 AC上折痕点就是线段中点 【知识点】线段的长短比较 【解析】【分析】根据题意及比较线段长短的方法，进行实际操作即可比较出结果． 13．【答案】解：刘敏的说法正确， 当a+3=0时，x为任意实数， 当a+3≠0时，x=4 【知识点】等式的性质 【解析】【分析】根据等式的性质：方程两边都加或减同一个数，其等式不变；方程两边都乘以或除以一个不为0的数，其等式不变；由题意得到​当a+3=0时，x可为任意实数. 14．【答案】解：正确 A×B﹣C=（x﹣y+1）（x+y+1）﹣[（x+y）（x﹣y）+2x]， =（x+1﹣y）（x+1+y）﹣（x2﹣y2+2x）， =x2+2x+1﹣y2﹣x2+y2﹣2x， =1； ∴x、y的取值与A×B﹣C的值无关． 【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值 【解析】【分析】（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd；化简整式，得到定值，得出x、y的取值与A×B﹣C的值无关． 15．【答案】解：验证：10的一半为5， ； 设“发现”中的两个已知正整数为m，n， ∴ ，其中 为偶数， 且其一半 正好是两个正整数m和n的平方和， ∴“发现”中的结论符合题意． 【知识点】推理与论证 【解析】【分析】写出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，根据完全平方公式，合并同类项法则计算即可求解。 16．【答案】解：对，理由如下： ∵ 表示大于1的整数， ， ， ， ∴ 都是正整数，且c是最大的数， ∵ ， 而 ， ∴ ， ∴ 为勾股数， 取 ，则 故一组勾股数为： （答案不唯一）． 【知识点】勾股数；推理与论证 【解析】【分析】想判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还是验证量小边的平方和是否等于最长边的平方。 17．【答案】证明：∵p是质数，当p>2时， ∴p2+3被4整除， 又∵p2+3也是质数，与已知矛盾， ∴必有p=2， ∴p3+3=11，是质数． 【知识点】质数和合数（奥数类） 【解析】【分析】由于2是最小的质数，先假设当p>2时得出p2+3被4整除，此时与已知条件矛盾，故p=2时，代入即可得证. 18．【答案】（1） （2）解： ＝ ＝ ＝ ． 【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算（奥数类） 【解析】【解答】解：（1）由已知等式可猜想第n个等式为： ， 故答案为： ； 【分析】（1）求出即可作答； （2）根据（1）所得的规律计算求解即可。 19．【答案】（1）解：互补， ， 所以 与 互补； （2）成立． 理由：因为 、 都是直角，所以 ， 根据周角定义知 ， 即 ， 所以 ， 所以 与 互补成立． 【知识点】角的运算；推理与论证 【解析】【分析】（1）根据所给的图形计算求解即可； （2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。 20．【答案】（1）解：∵，， ∴， 验证：，正确． （2）解：， 验证：，正确． 【知识点】算术平方根 【解析】【分析】（1）根据算术平方根的定义计算进行花间即可； （2）计算，继而根据算术平方根的定义进行化简即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $