7.3 平行线的证明 课时练习 2026-2027学年 北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖平行线证明的概念、性质及应用，梯度合理，适配新授课知识内化与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行线公理、性质与判定|选择题1-5直接考查概念，填空题11-12强化基础应用| |提升层|角平分线、作图与简单证明|选择题6-10结合图形变换，解答题16-18训练推理表达| |拓展层|综合探究与跨学科应用|解答题19-22融入实践情境（如潜望镜原理），培养几何直观与创新意识|

【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §7.3平行线的证明 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）如果，，那么，这个推理的依据是（    ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．两直线平行，同位角相等 D．平行于同一直线的两条直线平行 2．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角相等 C．有理数和数轴上的点一一对应 D．的立方根是3 3．（本题3分）如图，已知AB∥CD，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠AEF=70°，则∠EFG的度数为（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 4．（本题3分）如图，直线，和是直线，被直线所截形成的角，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，直线，直线与，相交．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，把一块含30°角的三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=37°，那么∠2的度数为（    ） A．133° B．127° C．147° D．143° 7．（本题3分）下列说法错误的是（  ） A．对顶角相等 B．同角（等角）的余角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8．（本题3分）如图，下列条件：①；②；③；④其中能判断直线的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 9．（本题3分）如图，直线，直线截直线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，已知，为的中点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）已知与（都是大于且小于的角）的两边一边平行，另一边垂直，且，则的度数是_________． 12．（本题3分）如图所示，请添加一个合适的条件：________，使（填一个即可）． 13．（本题3分）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则_________． 14．（本题3分）如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为____________． 15．（本题3分）如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为______度． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）按要求画图并填空：如图，已知点A在的一边上． (1)过点A画直线，与的另一边相交于点B； (2)过点A画的垂线段，垂足为点C； (3)过点C画直线，交于点D； (4)__________°； (5)若，，，则点A到直线的距离为_________． 17．（本题7分）如图，点为上一点，． (1)用尺规作图法作图：在上求作点，使得平分（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)求证：是等腰三角形． 18．（本题8分）如图，已知，，，求的度数． 解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） ________ （____________________） ________（____________） （已知） ________． 19．（本题8分）【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？     如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”. 在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．    【实践·体验】 （1）已知，则______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）. （2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．    【创造·突破】 （3）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为______． 20．（本题8分）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动． 活动主题 关于三角板的数学思考 工具 三角板、量角器、直尺等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 相关信息 三位同学各测量的度数一次，求得的平均值为，然后又各测量的度数一次，求出其平均值． 将一个三角板，）放在互相平行的直尺和之间，并使直角顶点在直尺上，顶点在直尺上． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择三位同学各测量一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是___________；图1中___________度； (2)请你帮第一小组想一想，当摆成___________度时，才能确保； (3)在图2中，当改变直尺的位置时（始终保持直角顶点在上），点在上保持不动，同学们发现点的位置会随着直角顶点的位置的变化而变化．请你猜想：的值是否会发生改变？如果不变，它们的和是多少度？请说明理由． 21．（本题9分）如图，已知直线，点在上，连接，，，平分． 【问题提出】 （1）如图1，求的度数； 【问题探究】 （2）点是线段上一点，连接，且． ①如图2，求证：平分； ②如图3，点在线段上，连接并延长交于点，请你判断直线和是否互相垂直，并说明理由． 22．（本题9分）如图1，是物理学中光的反射，法线与反射面垂直，垂足为O，入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 人们利用这个定律制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜（即反射面）．已知光线经过平面镜反射时，有，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？将下面的推理过程及依据补充完整 解：，理由如下： ∵(已知)， ∴______．（______） ∵，（已知）， ∴， ∴ 即：______． ∴（______）． 【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §7.3平行线的证明 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）如果，，那么，这个推理的依据是（    ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．两直线平行，同位角相等 D．平行于同一直线的两条直线平行 解：因为，， 所以； 故选：D． 2．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角相等 C．有理数和数轴上的点一一对应 D．的立方根是3 解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，则此项命题是假命题； B、两直线平行，同位角相等，则此项命题是真命题； C、实数与数轴上的点一一对应，有理数只是实数的一部分，则此项命题是假命题； D、因为，所以的立方根是，则此项命题是假命题．故选：B 3．（本题3分）如图，已知AB∥CD，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠AEF=70°，则∠EFG的度数为（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 解：∵AB∥CD，∠AEF=70°，∴∠EFD=∠AEF=70°， ∵FG平分∠EFD，∴∠EFG=∠EFD=×70°=35°． 故选：B． 4．（本题3分）如图，直线，和是直线，被直线所截形成的角，若，则（   ） A． B． C． D． 解：∵，和是直线，被直线所截形成的角， ∴， 故选：B． 5．（本题3分）如图，直线，直线与，相交．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 解：∵， ∴， 故选：A． 6．（本题3分）如图，把一块含30°角的三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=37°，那么∠2的度数为（    ） A．133° B．127° C．147° D．143° 解： ，三角形为直角三角形 直尺上下两条线平行 故选B 7．（本题3分）下列说法错误的是（  ） A．对顶角相等 B．同角（等角）的余角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 解：A、对顶角相等，原说法正确，故本选项不符合题意； B、同角（等角）的余角相等，原说法正确，故本选项不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，故本选项符合题意； D、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C 8．（本题3分）如图，下列条件：①；②；③；④其中能判断直线的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故①符合题意； ∵，，∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故④符合题意； 根据，都不能证明，故②③不符合题意；故选：D 9．（本题3分）如图，直线，直线截直线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10．（本题3分）如图，已知，为的中点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 解：， ， 为的中点， ， 在与中， ， ，， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）已知与（都是大于且小于的角）的两边一边平行，另一边垂直，且，则的度数是_________． 解：①如图所示，∵，， 过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得：； ②如图所示，∵，， 过点C作， ∵，∴， ∴，， ∴， 又∵，∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 12．（本题3分）如图所示，请添加一个合适的条件：________，使（填一个即可）． 解：当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：或或（任填一个即可）． 13．（本题3分）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则_________． 解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（本题3分）如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为____________． 解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 15．（本题3分）如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为______度． 解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴， ∴． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）按要求画图并填空：如图，已知点A在的一边上． (1)过点A画直线，与的另一边相交于点B； (2)过点A画的垂线段，垂足为点C； (3)过点C画直线，交于点D； (4)__________°； (5)若，，，则点A到直线的距离为_________． (1)解：直线如图所示： (2)解：的垂线段如图所示： (3)解：直线如图所示： （4）解： ， ； 故答案为：90； （5）． 故答案为： 2.4． 17．（本题7分）如图，点为上一点，． (1)用尺规作图法作图：在上求作点，使得平分（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)求证：是等腰三角形． 解:（1）以为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点， 分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点， 作射线，交于点，∴点即为所求； 如图， (2)证明：由（）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 18．（本题8分）如图，已知，，，求的度数． 解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） ________ （____________________） ________（____________） （已知） ________． 解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）． 19．（本题8分）【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？     如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”. 在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．    【实践·体验】 （1）已知，则______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）. （2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．    【创造·突破】 （3）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为______． 解：（1）∵， ∴，∴， 故答案为：4  （2）证明：如图，延长到，使与相交于点，    ∵ ∴， ∴； （3）将代入关于x、y的方程组可得，， 再代入关于x、y的方程组可得，， 所以，故答案为：． 20．（本题8分）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动． 活动主题 关于三角板的数学思考 工具 三角板、量角器、直尺等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 相关信息 三位同学各测量的度数一次，求得的平均值为，然后又各测量的度数一次，求出其平均值． 将一个三角板，）放在互相平行的直尺和之间，并使直角顶点在直尺上，顶点在直尺上． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择三位同学各测量一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是___________；图1中___________度； (2)请你帮第一小组想一想，当摆成___________度时，才能确保； (3)在图2中，当改变直尺的位置时（始终保持直角顶点在上），点在上保持不动，同学们发现点的位置会随着直角顶点的位置的变化而变化．请你猜想：的值是否会发生改变？如果不变，它们的和是多少度？请说明理由． （1）解：多次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差； 图1中， 故答案为：减少误差；154； （2）解：由图可得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：在右边作， ∴， ∵互相平行的直尺和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴固定不变． 21．（本题9分）如图，已知直线，点在上，连接，，，平分． 【问题提出】 （1）如图1，求的度数； 【问题探究】 （2）点是线段上一点，连接，且． ①如图2，求证：平分； ②如图3，点在线段上，连接并延长交于点，请你判断直线和是否互相垂直，并说明理由． 解：(1)， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）①由（1）可知，， ， ， ， ， 平分； ②如图3，设交于点K， ， ， 由（2）①可知，， ， ， ， 由（1）知， ∴， ∴． 22．（本题9分）如图1，是物理学中光的反射，法线与反射面垂直，垂足为O，入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 人们利用这个定律制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜（即反射面）．已知光线经过平面镜反射时，有，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？将下面的推理过程及依据补充完整 解：，理由如下： ∵(已知)， ∴______．（______） ∵，（已知）， ∴， ∴ 即：______． ∴（______）． ，理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴． ∴， 即：， ∴ （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $