7.3 平行线的证明 一课一练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦平行线证明，分层覆盖基础概念到综合应用，通过基础辨析、情境应用、操作探究三阶设计，适配新授课巩固与推理意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行线判定（同位角/内错角/同旁内角）、性质|单选1-5直接考查单一判定公理，填空9-10强化平行公理应用，夯实概念理解| |提升层|判定与性质综合、简单情境应用|单选6-8结合角平分线/余角等综合判定，填空11-12融入实际情境（平面镜反射），培养几何直观| |综合层|跨知识应用（全等/折叠与平行）|解答16-18通过操作探究（折纸）、实际测量问题，深化推理能力，体现数学思维的严谨性|

7.3 平行线的证明 一课一练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 3．如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 4．如图，点，，，在同一条直线上，，，使得．可添加条件是（    ） A． B． C． D． 5．如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，若，则下列条件中，不能判定 的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 7．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，，，添加下列条件，仍不能判断的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，，所以O、M、N三点共线，理由是________________________． 10．设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是___． 11．如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 12．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 13．如图所示，、则、、的关系为________．    三、解答题 14．在如图所示的方格纸中不用量角器，用三角尺或直尺． (1)经过点P画的垂线； (2)过点A，画的垂线： (3)过点C，画的平行线： (4)请直接写出，的位置关系． 15．如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知）， 所以（1）（____________）， 因为（已知）， 所以， 所以， 因为、分别是和的角平分线（已知）， 所以，（2）（____________）， 所以（等式性质）， 因为（已知）， 所以（3）（____________）， 所以， 所以（4）（____________）． 16．有一座锥形小山，如图． (1)要测量锥形小山两端的距离，先在平地上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，量出的长度，就能得出锥形小山两端的距离，请说明其中的道理． (2)为加快开山修路的进度，施工队要在两点同时施工，师傅在（1）的基础上，过A作，过作，沿方向开工就能使在同一条直线上．请运用相关知识说明其中的道理． 17．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． (3)两个钝角的和一定大于180°． (4)异号两数相加和为零． 18．【综合与实践▪操作探究】 在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题． 操作步骤： 1．如图，准备锐角三角形纸片； 2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）； 3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）． 问题： (1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由； (2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明； (3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A D A B D B 1．【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，结合同位角相等，两直线平行，即，故，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D 2．【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵工具的两个同旁内角均为， ∴两个角的和为180度， ∴两直线平行； 故选C． 3．【答案】A 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，垂直平分、，进而可得，于是得解． 【详解】解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得： ，，垂直平分、， ， 结论错误，结论、、正确， 故选：． 4．【答案】D 【知识点】两直线平行同位角相等、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定定理． 先由平行得到，故只需要添加一组边相等，利用或证明即可． 【详解】解：∵， ∴， 当， ∴； 当或时， ∴， 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查平行线的性质，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，代入求出即可． 【详解】解：∵两力所在直线互相平行， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行、同(等)角的余(补)角相等的应用、角平分线的有关计算 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据，结合各选项的条件逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故A不符合题意； ∵，， ∴不一定相等， ∴不能得到；故B符合题意； ∵．和互余且和互余， ∴， ∴， ∴；故C不符合题意； ∵，平分，且平分， ∴， ∴；故D不符合题意； 故选：B 7．【答案】D 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定方法． 根据平行线的性质，全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．， ∴， ∴； B．， ∴， 但不能证明三角形全等； C．， ∴； D．， ∴； 故选：B． 9．【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，理解题意是解题关键． 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行即可得． 【详解】解：∵， ∴， 则点三点共线，理由是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 10．【答案】 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，解题时利用了：在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行．根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答． 【详解】解：在同一平面内，，， ∴， 即与的位置关系是平行， 故答案为：． 11．【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 12．【答案】 【知识点】两直线平行同旁内角互补、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】过M作，利用平行于同一条直线的两直线平行，可得，再根据两直线平行，内错角相等求解． 【详解】解：过M作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 14．【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 如图，即为所求； (4) 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、用直尺、三角板画平行线、画垂线 【分析】本题考查画平行线和垂线，平行线的判定，熟练掌握方格纸的特点，是解题的关键． （1）根据格点特点，取格点Q，连接,则，根据三角形内角和定理可知； （2）根据格点特点，取格点，连接，则，根据三角形内角和可知； （3）将点B向右平移12个小格向下平移2格到点C，把点A向右平移12个小格，向下平移2格到袋内N，连接，根据平移可得； （4）根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：∵，， ∴． 15．【答案】两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义．熟悉平行线的性质与判定：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行，是解题的关键． 首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，，进而得到；再结合角平分线的定义，得到．再根据“两直线平行，内错角相等”和等量代换，得到，进而通过“同位角相等，两直线平行”判定． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以（等式性质）， 因为、分别是和的角平分线（已知）， 所以，（角平分线定义）， 所以（等式性质）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以（等式性质）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行． 16．【答案】(1) 解：∵在和中， ∴， ∴； (2) 解：∵， ∴， ∴， ∵，， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴在同一条直线上． 【知识点】对顶角相等、平行公理的应用、内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形性质得出，根据平行线的性质得出，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出在同一条直线上． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，平行公理的应用，解题的关键是证明． 17．【答案】(1)是假命题，两条相交直线被第三条直线所截，形成的内错角不一定相等． (2)是假命题，如，但． (3)是真命题 (4)是假命题，如和2异号，但． 【知识点】两直线平行内错角相等、举例说明假（真）命题、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了平行线的性质，绝对值的意义，钝角的定义以及有理数的加法法则，分析题目是否为真命题，需要分别分析各题是否能推出结论，从而作出判断． （1）缺少“两直线平行”的前提条件； （2）绝对值表示一个数到原点的距离，当两个数绝对值相等时，它们可能相等，也可能互为相反数； （3）通过“钝角是大于小于的角”即可判断为真命题； （4）举出绝对值不等的异号两数相加的例子即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 （3）是真命题．每一个钝角都大于，故两个钝角的和一定大于． （4）略 18．【答案】(1) 理由：由折叠可知， (2) 证明：由折叠可知，， ， 即 由（1）知， (3) 过点作交于点 又 ∴ 又 ∴ 由折叠得， ， 由折叠得 【知识点】折叠问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质. （1）根据折叠的性质得到，即可判断； （2）由折叠可知，，，可得，再由同旁内角两直线平行证明即可； （3）过点作交于点，根据平行线的判定和性质得到，，由折叠得，由可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $