7.3 平行线的证明 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 本练习为北师大版八年级数学“平行线的证明”同步练，分两课时系统巩固判定与性质，通过分层设计实现从概念理解到综合推理的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|三线八角、判定/性质定理及证明规范|以填空形式回顾核心概念，标注易错点强化理解| |基础理解|角的类型辨析、判定/性质条件应用|选择填空聚焦单一知识点，如辨析同位角与内错角| |综合应用|定理证明、拐点问题、三角形内角和推导|解答题含规范证明过程，通过作辅助线培养几何直观|

北师大版数学八年级上册 第七章　证明 3　平行线的证明　·　课时作业（含答案与解析） 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【作业说明】本作业依据北师大版数学八年级上册第七章第 3 节「平行线的证明」编写，共设两个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　平行线的判定； 第 2 课时　平行线的性质与综合应用。 说明：本节以基本事实「同位角相等，两直线平行」和「两直线平行，同位角相等」为出发点，证明其余的判定定理与性质定理，并学习用它们进行推理。所有证明都写成「已知、求证、证明」的规范格式。 3　平行线的证明　　第 1 课时　平行线的判定 一、知识梳理 1．三线八角　两条直线 、 被第三条直线 所截，共产生 个角。 直线 、 被直线 所截 （1）同位角（位置相同）： 与 ， 与 ， 与 ， 与 ； （2）内错角（都在内部、分居截线两侧）： 与 ， 与 ； （3）同旁内角（都在内部、同在截线一侧）： 与 ， 与 。 2．基本事实　同位角相等，两直线平行。（这是本节推理的出发点，不需要证明。） 3．判定定理 1　内错角相等，两直线平行。 已知：如图，。求证：。 证明：∵ （对顶角相等）， 又 ∵ （已知）， ∴ （等量代换）。 ∴ （同位角相等，两直线平行）。 4．判定定理 2　同旁内角互补，两直线平行。 证明思路：由 ，而 （邻补角），得 ，再由「同位角相等，两直线平行」即得 。 判定两直线平行的三条途径 5．还可以这样判定　平行于同一条直线的两条直线互相平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 【易错警示】 ① 找同位角、内错角、同旁内角时，一定要先弄清哪两条直线被哪一条直线所截。 ② 判定定理是「由角相等（互补）得到线平行」，方向不能反过来用。 ③ 写证明时，每一步的括号里要写完整的理由，如「同位角相等，两直线平行」，不能只写「平行」。 ④ 「」中的两个角必须是同一组内错角，不能张冠李戴。 ⑤ 判定平行时，结论写成 ，符号「」不要写成「」。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 如图，直线 、 被直线 所截，则 与 是（　　） 第 1～3 题图 A．同位角　　B．内错角　　C．同旁内角　　D．对顶角 2． 上图中， 与 是（　　） A．同位角　　B．内错角　　C．同旁内角　　D．邻补角 3． 上图中，能判定 的条件是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4． 「同旁内角互补，两直线平行」这句话是（　　） A．定义　　B．基本事实　　C．定理　　D．假命题 5． 下列条件中，不能判定两直线平行的是（　　） A．同位角相等　　B．内错角相等　　C．同旁内角互补　　D．同旁内角相等 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6． 两条直线被第三条直线所截，如果同位角＿＿＿＿，那么这两条直线平行。 7． 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线＿＿＿＿。 8． 若 与 是同旁内角，且 ，要使两直线平行，则 ＿＿＿＿。 9． 在同一平面内，若 ，，则 与 的位置关系是＿＿＿＿。 10． 证明「内错角相等，两直线平行」时，先由＿＿＿＿角相等把内错角转化成同位角。 （三）解答题（共 60 分） 11．（16 分）如图，直线 、 被直线 所截，交点分别为 、。 第 11 题图 （1） 与 是什么角？ 与 呢？ （2）若 ，能判定 吗？说明理由； （3）若 ，能判定 吗？说明理由。 12．（14 分）如图，。 第 12 题图 求证：。 （提示： 与 是直线 、 被直线 所截而成的同位角。） 13．（16 分）完成下面证明「同旁内角互补，两直线平行」的过程。 已知：如图，直线 、 被直线 所截，。 第 13 题图 求证：。 证明：∵ （＿＿＿＿＿＿＿＿）， ∴ 。 ∵ （已知）， ∴ ＿＿＿＿＿＿。 ∴ （＿＿＿＿＿＿）。 ∴ （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）。 14．（14 分）如图，已知 ，。 第 14 题图 （1） 与 是什么角？ （2）求 的度数； （3）判断 与 是否平行，并写出理由。 3　平行线的证明　　第 2 课时　平行线的性质与综合应用 一、知识梳理 1．基本事实　两直线平行，同位角相等。 2．性质定理 1　两直线平行，内错角相等。 已知：如图，。求证：。 证明：∵ （已知）， ∴ （两直线平行，同位角相等）。 ∵ （对顶角相等）， ∴ （等量代换）。 3．性质定理 2　两直线平行，同旁内角互补。 证明思路：由 得 （同位角相等），又 （邻补角），所以 。 4．判定与性质的区别 已知什么 得到什么 判定 角相等（或互补） 两直线平行 性质 两直线平行 角相等（或互补） 5．常用的辅助线——作平行线　遇到「拐点」问题时，过拐点作已知直线的平行线，可以把分散的角联系起来。 ， 是拐点，可过 作 6．一个重要应用　利用平行线的性质可以说明：三角形三个内角的和等于 。 过点 作 【易错警示】 ① 判定与性质的方向相反，用错了就成了「循环论证」。 ② 由平行得到角的关系时，理由要写成「两直线平行，内错角相等」这样的完整语句。 ③ 作辅助线要在证明中说明作法，如「过点 作 」，并用虚线画出。 ④ 同旁内角是互补（和为 ），不是相等。 ⑤ 计算角度时不要漏写单位「」。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 如图，若 ，则下列结论正确的是（　　） 第 1～2 题图 A．　　B．　　C．　　D． 2． 上图中，若 且 ，则 的度数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3． 「两直线平行，同旁内角互补」是（　　） A．定义　　B．基本事实　　C．定理　　D．假命题 4． 已知 ，一个同位角为 ，则与它同位的角为（　　） A．　　B．　　C．　　D．无法确定 5． 若两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的度数分别为 与 ，则 等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6． 两直线平行，同位角＿＿＿＿；两直线平行，内错角＿＿＿＿；两直线平行，同旁内角＿＿＿＿。 7． 如图，若 ，，则与 相等的内错角等于＿＿＿＿。 8． 已知两直线平行，一组同旁内角中的一个角是 ，则另一个角是＿＿＿＿。 9． 三角形三个内角的和等于＿＿＿＿。 10． 解决「拐点」问题时，常过拐点作已知直线的＿＿＿＿线作为辅助线。 （三）解答题（共 60 分） 11．（14 分）完成下面证明「两直线平行，同旁内角互补」的过程。 已知：如图，。 第 11 题图 求证：。 证明：∵ （已知）， ∴ （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）。 ∵ （＿＿＿＿＿＿＿＿）， ∴ （＿＿＿＿＿＿）。 12．（16 分）如图，，、 在 上，、 在 上。 第 12 题图 （1） 与 是什么角？它们有什么关系？为什么？ （2）若 ，求 的度数； （3）求 的度数； （4）若还知道 ，判断 与 的位置关系，并说明理由。 13．（16 分）如图，， 在 上， 在 上， 是 折线的拐点。 第 13 题图 （1）过点 作 ，说明 ； （2）求证：； （3）若 ，，求 的度数。 14．（14 分）利用平行线的性质证明：三角形三个内角的和等于 。 第 14 题图 已知：如图，。 求证：。 （提示：过点 作 。） 参考答案与解析 第 1 课时　平行线的判定 一、选择题 1．A　【解析】 在直线 的上方、截线 的左侧， 在直线 的上方、截线 的左侧，位置相同，是同位角。 2．B　【解析】 与 都在两条直线 、 之间（内部），且分别在截线 的两侧，是内错角。 3．B　【解析】 是内错角相等，由「内错角相等，两直线平行」可判定 。 A、C 中的两个角在同一个交点处，D 中的两个角也在同一个交点处，都不能判定两直线平行。 4．C　【解析】它是由基本事实经过证明得到的真命题，所以是定理。 5．D　【解析】同旁内角相等时，两直线不一定平行（只有当这两个角都等于 时才平行），所以 D 不能判定。 二、填空题 6． 相等 7． 平行 8． 【解析】同旁内角互补时两直线平行，所以 。 9． 平行（即 ） 10． 对顶 三、解答题 11．（16 分） （1） 在直线 的下方、截线 的左侧， 在直线 的上方、截线 的右侧， 两个角都在 与 之间，且分居截线两侧，所以 与 是内错角； 在直线 的上方（外部），它与 既不是同位角也不是内错角。 不过 与 在点 处互为邻补角，这是解题的关键。 （2）能。理由：∵ （已知），且 与 是内错角， ∴ （内错角相等，两直线平行）。 （3）能。理由：∵ 与 互为邻补角， ∴ 。 ∵ （已知），∴ 。 ∴ （等量代换）。 又 ∵ 与 是内错角，∴ （内错角相等，两直线平行）。 【方法总结】判断两个角是哪一类角，只要看它们相对于两条被截直线在内还是在外、相对于截线在同侧还是异侧。 12．（14 分） 证明：∵ 与 是直线 、 被直线 所截而成的同位角（ 在 处、 在 处，位置相同）， 又 ∵ （已知）， ∴ （同位角相等，两直线平行）。 13．（16 分） 证明：∵ （邻补角的定义）， ∴ 。 ∵ （已知）， ∴ 。 ∴ （等量代换）。 ∴ （同位角相等，两直线平行）。 14．（14 分） （1） 与 在点 处有公共边且另一边互为反向延长线，是邻补角。 （2）∵ 与 互为邻补角， ∴ 。 （3）平行。 理由：由（2）得 ，又 ，所以 。 ∵ 与 是直线 、 被 所截得到的内错角， ∴ （内错角相等，两直线平行）。 【学后反思】判定平行的三条途径都可以归结到一条基本事实上：同位角相等，两直线平行。内错角、同旁内角的条件都要先「转化」成同位角。 第 2 课时　平行线的性质与综合应用 一、选择题 1．B　【解析】 与 是内错角，由「两直线平行，内错角相等」得 。 与 是同旁内角，只能互补、不一定相等，C 错； 与 一个在外部、一个在内部，不是相等关系，A 错； 与 是邻补角，一般不相等，D 错。 2．C　【解析】 与 是同旁内角，由「两直线平行，同旁内角互补」得 。 3．C　【解析】它是由基本事实证明得到的真命题，属于定理。 4．B　【解析】两直线平行，同位角相等，所以另一个同位角也是 。 5．C　【解析】两直线平行，内错角相等，所以 ，解得 。 二、填空题 6． 相等；　相等；　互补 7． 8． 【解析】。 9． 10． 平行 三、解答题 11．（14 分） 证明：∵ （已知）， ∴ （两直线平行，同位角相等）。 ∵ （邻补角的定义）， ∴ （等量代换）。 12．（16 分） （1） 与 是直线 、 被截线 所截得到的内错角，它们相等。 理由：∵ （已知），∴ （两直线平行，内错角相等）。 （2）由（1）得 。 （3）∵ 与 互为邻补角， ∴ 。 （4）。 理由：∵ 与 是直线 、 被直线 所截得到的同位角， 又 ∵ （已知）， ∴ （同位角相等，两直线平行）。 13．（16 分） （1）过点 作 。 ∵ （已知），（作图）， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）。 第 13 题答案图（虚线 为辅助线） （2）证明：∵ （作图）， ∴ （两直线平行，内错角相等）。 ∵ （已证）， ∴ （两直线平行，内错角相等）。 ∵ （角的和）， ∴ （等量代换）。 （3）。 【方法总结】「拐点」问题的通法：过拐点作平行线，把一个大角拆成两个小角，再分别用平行线的性质把它们转移到已知角上。 14．（14 分） 证明：过点 作 （如图，虚线）。 ∵ （作图）， ∴ （两直线平行，内错角相等）。 同理 （两直线平行，内错角相等）。 ∵ 、、 三点共线， ∴ （平角的定义）。 ∴ （等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 。 【学后反思】本章从「为什么要证明」出发，到「怎样写证明」，再到「用基本事实证明平行线的判定与性质」，走完了一条完整的推理之路。要记住两句口诀：由角定线用判定，由线定角用性质；遇到拐点就作平行线。 学科网（北京）股份有限公司 $