广东揭阳部分高中2026-2027学年高三上学期开学摸底调研数学试题

2027届高三开学摸底调研 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 已知平面向量，，若与共线且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 2 4. 某次线性回归分析中，仅得到两个样本数据点和．若仅利用这两个数据点，用最小二乘法得到的经验回归方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 已知，且是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两个转盘均标有数字1，2，3，甲转盘指向1的概率为p，指向2，3的概率相等；乙转盘指向1的概率为q，指向2，3的概率相等，其中．现独立地转动两转盘各一次，若“甲转盘指向1”与“两个转盘指向相同的数字”相互独立，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的最小值为，则（ ） A. 1 B. C. e D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数的实部等于，且和在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. 在第一象限内 D. 在第四象限内 10. 某圆台的上底面与下底面圆心分别为，，半径分别为1，2，点A，B分别为上、下底面圆周上的动点，且对任意A，B，直线AB与直线所成角大于，则（ ） A. B. C. 直线与下底面所成角恒小于 D. 平面与平面的夹角恒小于 11. 某厂在直线导轨上等距加工一列安装孔，测距模块与各孔中心共线，各孔均位于模块同侧，并按到模块的距离由小到大编号，且孔数足够多.三点倍率标定时，需依次选择三个孔，使它们到模块的距离构成递增的等比数列.现场配有边长为、对角线长为的正方形检具（检具用于检测单个零件，如冲压件，塑料件的型面、轮廓、孔位等）.则（ ） A. 后两个标定孔的中心距大于前两个标定孔的中心距 B. 第1孔到模块的距离为、孔距为时，可选第1，3，7孔 C. 第1孔到模块的距离为、孔距为时，可以完成标定 D. 若有两个孔到模块的距离分别为，，则该孔列无法完成标定 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则__________． 13. 竖直高为的楼上有一盏聚光灯，且该聚光灯为唯一光源，高为的人在零时刻从楼底以的速度水平直线远离楼底，则该人影子长度的变化率为______． 14. 锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为______．为边上一点，且满足，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示为四棱锥，已知底面为矩形，底面且，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知数列的前n项积． （1）求的通项公式； （2）若对任意正整数n，，求的最小值． 17. 已知函数，． （1）证明：； （2）当时，证明：． 18. 设m，n，k均为正整数，且，，现需要对由m台同型号服务器组成的随机调度系统进行测试，测试程序连续发送指令，每次测试指令均由系统独立、等可能地分配给其中一台服务器．前n次测试结束后，记为至少接受过一次测试的服务器台数． （1）当时，求的分布列； （2）证明：； （3）当时，随着测试次数增加，判断实现全部服务器测试覆盖的概率的变化情况，并给出证明． 19. 已知椭圆的右焦点为，上一点满足轴． （1）求的方程； （2）过且斜率为的直线与交于两点． （ⅰ）记直线的斜率分别为，，求； （ⅱ）若直线分别与x轴交于点，证明：的外接圆经过异于的定点． 2027届高三开学摸底调研 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）由四边形为矩形，且平面，又平面， 得，又， ，，平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）． 令，由，得， 当，即时，， 当，即时，， 所以在单调递减，在单调递增， 因此． （2）当时，，即， 故只需证明． 设，则． 设，则． 由（1）知，，所以， 从而，在单调递增． 因为，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此．得证． 【18题答案】 【答案】（1） 1 2 3 4 P （2）增加一次测试后，至少接受过一次测试的服务器台数只能保持不变或增加1， 因此事件可分为两种互斥情况， 若，则第次测试指令需要分配给这台已经接受过测试的服务器中的一台， 该情况发生的概率为． 若，则第次测试指令需要分配给其余台尚未接受过测试的服务器中的一台， 该情况发生的概率为． 则， 可得． （3）实现全部服务器测试覆盖的概率随测试次数增加而增大， 在（2）中取，可得． 所以． 当时，考虑如下分配结果：前次测试指令分别分配给台不同的服务器，其余次测试指令均分配给其中第一台服务器， 该分配结果发生的概率为，且在该分配结果下有． 因此，从而． 故当时，实现全部服务器测试覆盖的概率随测试次数增加而增大． 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由圆的几何性质，只需证明的外心在定直线上． 设，，的外心为， 则 记，． 则直线PA的方程为， 令得：． 同理，． 由得，，解得． 由得，， 解得． 由（ⅰ）可得，，， 所以， ． 因此， 即， 故I在定直线上， 从而的外接圆始终经过点，其中为关于的对称点． 由轴对称的性质可知，直线的斜率为，且线段的中点为直线与的交点， 联立得， 再由中点坐标公式可得． 综上，的外接圆经过异于的定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $