第五章二次函数单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷通过基础概念辨析、中档综合应用、拔高情境探究三层设计，实现二次函数从定义到实际应用的递进巩固，适配单元复习需求，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（选择1-3、填空11-14、解答19-20）|二次函数定义、顶点坐标、对称轴|直接考查概念辨析，如选择3求顶点坐标，填空11写顶点坐标| |中档（选择4-7、填空15-17、解答21-23）|图像性质比较、解析式求法、简单应用|结合图像分析函数值大小（选择4），几何面积最值（解答20）| |拔高（选择8-10、填空18、解答24-25）|综合情境应用、参数问题、利润最值|联系标枪轨迹（选择9）、销售利润最值（解答25），培养模型意识|

2026-2027学年九年级数学上册第五章二次函数单元测试卷北师大版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）已知抛物线y＝（3m﹣1）x2的开口向下，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若是关于x的二次函数y＝（a+3）x|a|﹣1﹣x+1，则a的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣3或3 3．（3分）二次函数y＝x2+2的顶点是（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（1，3） D．（﹣1，3） 4．（3分）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3 5．（3分）校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：y＝x2﹣4mx+2m2+3m+2（其中x为水平距离，y为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最高点）必须落在直线y＝x+1上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的m的值为（　　） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 6．（3分）如图，在同一坐标系中，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 8．（3分）某文创店销售一种珍珠饰品，每个进价为15元．调查发现，当售价为20元时，平均每天能售出100个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个珍珠饰品的售价降低x元，则这种珍珠饰品平均每天的销售利润w与x的关系式为（　　） A．w＝5×（100+5x） B．w＝（5﹣x）（100+5x） C．w＝（5+x）（100+5x） D．w＝（5﹣x）（100﹣5x） 9．（3分）标枪是一项技巧与力量相结合的田径运动．在一名运动员投掷标枪后，标枪的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，标枪的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则标枪落地点到运动员的距离为（　　） A．65m B．66m C．67m D．68m 10．（3分）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣1，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．抛物线与y轴交于点（0，﹣1） C．当x＝1时，y取最大值 D．抛物线与x轴没有交点 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为　 　 ． 12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a　 　 b（选填“＞”或“＜”）． 13．（3分）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为　 　 ． 14．（3分）如图是二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象，使y≥0成立的x的取值范围是　 　 ． 15．（3分）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为 　 　 ． 16．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣5）2﹣4的最大值是 　 　 ． 17．（3分）用一根长为12m的铁丝围成一个长方形，则这个长方形面积的最大值是　 　 ． 18．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c≤0的解集为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）已知二次函数的图象经过点（3，0），（2，﹣5），并以直线x＝0为对称轴，求该二次函数的表达式． 20．（8分）如图，学校打算用长16m的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），设AB＝xm，求围成的生物园的最大面积． 21．（8分）已知是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值，并写出对称轴和顶点坐标； （2）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为　 　 ． 22．（10分）某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件． （1）直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围； （2）如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元？ 23．（10分）掷实心球是中考体育考试项目之一．图1是一名男生在掷实心球，球的行进路线可近似看作抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为1.8m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.4m处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）若实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10m时，则该男生可得满分，请问此次投掷是否能得满分，说明理由． 24．（10分）已知二次函数y＝x2+mx+4﹣m（m为常数）． （1）若该二次函数的图象与y轴交于点（0，﹣1）， ①求该二次函数的表达式； ②求x的取值范围，使得y随x的增大而增大； （2）若对于任意实数x，都有x2+mx+4﹣m≥3x+2，且二次函数y＝x2+mx+4﹣m的图象与直线y＝a交于M，N两点，若，求a的值． 25．（12分）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 （1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 参考答案 一．选择题 1．解：∵抛物线y＝（3m﹣1）x2的开口向下， ∴3m﹣1＜0， 解得：m＜， 故选：A． 2．解：根据二次函数定义可得：， 由|a|﹣1＝2，得|a|＝3， 即a＝3或a＝﹣3， 又∵a+3≠0， ∴a≠﹣3， ∴a＝3． 故选：C． 3．解：由题意，∵二次函数为y＝x2+2， ∴其顶点为（0，2）． 故选：A． 4．解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝， 所以抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝1， 则抛物线上的点，离对称轴越近，其纵坐标越大． 因为A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在该抛物线上， 则1﹣（﹣2）＝3，1﹣1＝0，3﹣1＝2且0＜2＜3， 所以y2＞y3＞y1． 故选：A． 5．解：对抛物线解析式配方可得：y＝x2﹣4mx+2m2+3m+2＝（x﹣2m）2﹣2m2+3m+2， ∴抛物线的顶点坐标为（2m，﹣2m2+3m+2）， ∵顶点落在直线y＝x+1上， ∴将顶点坐标代入直线方程得： ﹣2m2+3m+2＝2m+1， 整理得 2m2﹣m﹣1＝0， 因式分解得 （m﹣1）（2m+1）＝0， 解得 m＝1或． 故选：C． 6．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交x轴于同一点，故本选项符合题意； 故选：D． 7．解：把（1，3）代入y＝x2+mx+n得3＝1+m+n， ∴n＝﹣m+2， ∴mn+1 ＝m（﹣m+2）+1 ＝﹣m2+2m+1 ＝﹣（m﹣1）2+2； 所以mn+1有最大值2， 故选：D． 8．解：由题意可得， w＝（20﹣15﹣x）（100+5x）＝（5﹣x）（100+5x）， 故选：B． 9．解：标枪落地时y＝0， 当时， 因式分解得：（x﹣66）（x+1）＝0， ∴x﹣66＝0或x+1＝0， 解得：x1＝66，x2＝﹣1（舍去负值）， 故标枪落地点到运动员的距离为66m． 故选：B． 10．解：A，由抛物线可看出a＝﹣1＜0，故开口向下，故A正确．不符合题意； B，因为c＝1，所以抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故B正确，不符合题意； C，因为对称轴是直线x＝1，所以当x＝1时，y取到最大值0，故C正确，不符合题意； D，因为Δ＝0，所以抛物线与x轴有一个交点，故D错误，符合题意； 故选：D． 二．填空题 11．解：抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为（4，﹣3）， 故答案为：（4，﹣3）． 12．解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， 即＜0， ∵a＞0， ∴b＜0， ∴a＞b． 故答案为：＞． 13．解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 14．解：令﹣x2+2x+3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x2＝3，x1＝﹣1， 由图象得：使y≥0成立的x的取值范围是﹣1≤x≤3． 故答案为：﹣1≤x≤3． 15．解：根据题意得：y＝（x﹣2）[50+10（13﹣x）] 整理得：y＝﹣10x2+200x﹣360． 故答案为：y＝﹣10x2+200x﹣360． 16．解：由题意得，二次函数的开口向下，顶点为（5，﹣4）， ∴函数有最大值﹣4， 故答案为：﹣4． 17．解：设围成的长方形的长为xm，则宽为（6﹣x）m， 围成的长方形的面积是x（6﹣x）＝（﹣x2+6x）（m2）． ﹣x2+6x＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）＝﹣（x﹣3）2+9． ∵﹣（x﹣3）2≤0， ∴﹣（x﹣3）2+9≤9， ∴﹣x2+6x的最大值是9． 答：能围成的长方形的最大面积是9m2． 故答案为：9m2． 18．解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0）， 根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称， ∴另一个交点的坐标为（3，0）， ∵不等式ax2+bx+c≤0，即y＝ax2+bx+c≤0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图象在x轴及下方， ∴不等式ax2+bx+c≤0的解集是x≤﹣5或x≥3． 故答案为：x≤﹣5或x≥3． 三．解答题 19．解：∵该二次函数的图象以直线x＝0为对称轴， ∴设该二次函数的表达式为y＝ax2+c（a≠0）， 将（3，0），（2，﹣5）代入y＝ax2+c， 得：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣9． 20．解：设AB＝xm， ∴BC＝16﹣2x． ∴0＜x＜8，生物园的面积y＝x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x． 又y＝﹣2x2+16x ＝﹣2（x﹣4）2+32， ∵﹣2＜0， ∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32． 答：当x＝4时，面积最大为32m2． 21．解：（1）由条件可知k2+k﹣4＝2， 解得k＝2或k＝﹣3， ∵当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴k+2＜0， ∴k＜﹣2， ∴k＝﹣3， ∴y＝﹣x2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝0，即y轴，顶点坐标为（0，0）； （2）列表如下： x ⋯ ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 ⋯ y＝﹣x2 ⋯ ﹣16 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4 ﹣16 ⋯ 画函数图象如下： 由函数图象可得，当﹣2≤x＜4时，y的范围为﹣16＜y≤0， 故答案为：﹣16＜y≤0． 22．解：（1）根据题意得：y＝20+2x， 即y＝2x+20； （2）根据题意得：（40﹣x）（2x+20）＝1250， 整理得：x2﹣30x+225＝0， 解得：x1＝x2＝15． 答：衬衫每件降价了15元． 23．解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（4，3.4），过点（0，1.8）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，将点（0，1.8）代入得： 1.8＝（0﹣4）2a+3.4， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4； （2）此次投掷不能得满分；理由如下： 当y＝0时，得：﹣0.1（x﹣4）2+3.4＝0， 解得：或（不合题意，舍去）， ∵， ∴此次投掷不能得满分． 24．解：（1）①二次函数的图象与y轴交于点（0，﹣1）， ∴二次函数的图象过点（0，﹣1）， ∴4﹣m＝﹣1， ∴m＝5， ∴y＝x2+5x﹣1； ②∵二次函数的对称轴为直线，a＝1＞0， ∴当时，y随x的增大而增大； （2）∵x2+mx+4﹣m≥3x+2恒成立，即x2+（m﹣3）x+2﹣m≥0恒成立， ∴Δ＝（m﹣3）2﹣4（2﹣m）≤0， ∴（m﹣1）2≤0， ∴m＝1， ∴y＝x2+x+3， 联立y＝x2+x+3与y＝a，可得x2+x+（3﹣a）＝0， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴1﹣4（3﹣a）＝3， ∴若，则． 25．解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b， 把（75，150），（82，80）代入得：， 解得：k＝﹣10，b＝900， ∴y＝﹣10x+900； （2）由题意得该商品的成本单价是75﹣5250÷150＝40元． w＝（x﹣40）（﹣10x+900）＝﹣10x2+1300x﹣36000＝﹣10（x﹣65）2+6250， ∵﹣10＜0， ∴当x＝65时，w最大，最大值为6250， 答：该商品日销售利润的最大值为6250元； （3）设利润为w1元，根据题意可得： ， 对称轴为， ∵销售单价不低于68元，即x≥68， ∵日销售量y≥0， ∴﹣10x+900≥0， 解得x≤90， ∴68≤x≤90． ∵m＞0， ∴，且开口向下， ∴w1随x的增大而减小， ∴当x＝68时，w1有最大值为6600， ∴（68﹣40+m）（﹣680+900）＝6600， ∴若日销售最大利润是6600元，则m＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $