29.2.2　圆心角 教案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该教案聚焦圆心角概念、圆的旋转不变性及弧、弦、圆心角关系定理。课堂导入通过折扇收拢展开的生活情境，引导学生观察弧、弦、角的重合，搭建从直观到抽象的学习支架，衔接圆的基本性质。 该资料以生活情境激活数学眼光，通过折扇观察培养几何直观与空间观念。探究环节以例1证明、例2计算为载体，发展合情推理与演绎推理能力，体现数学思维。课堂训练涵盖选择、证明、解答题，强化定理应用，培养数学语言表达与应用意识。助力学生构建知识体系，提升推理与应用能力，为教师提供清晰的教学流程与重难点突破策略。

29.2.2　圆心角 教学目标 1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性. 2.掌握弧、弦、圆心角的关系定理，并能运用其关系定理解答问题. 3.通过观察分析弧、弦、圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力. 重点难点 重点：理解并掌握弧、弦、圆心角之间的关系定理并利用其解决相关问题. 难点：对弧、弦、圆心角之间关系定理中的“在同圆或等圆中”这一条件的理解及定理的证明. 教学过程 情景导入 让学生看折扇的收拢和展开，观察在这个过程中有哪些弧、弦、角重合，同学们互相交流一下. 探究新知 探究点一　利用“弧、弦、圆心角之间的关系”进行证明 【例1】如图，已知☉O中的弦AB＝CD.求证： （1）＝； （2）∠AOC＝∠BOD. 【解析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系定理，要证＝，只需证＝，由于弦AB＝CD，所以＝.（2）根据弧、弦、圆心角的关系定理，由（1）知，∠AOC＝∠BOD. 【解】（1）∵AB＝CD，∴＝（在同圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的弧也相等），∴－＝－，即＝. （2）由（1）知，＝，∴∠AOC＝∠BOD（在同圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的圆心角也相等）. 【归纳总结】在同圆或等圆中要证明两条弦相等，常常考虑证明相对应的两条弧相等或相对应的两个圆心角相等. 探究点二　利用“弧、弦、圆心角之间的关系”进行计算 【例2】如图，在☉O中，＝，∠1＝45°，求∠2的度数. 【解析】根据弧、弦、圆心角的关系定理，只要证＝，可得∠2＝∠1. 【解】∵＝，∴－＝－，∴＝，∴∠2＝∠1＝45°（在同圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也相等）. 课堂训练 1.如图，已知AB是☉O的直径，C，D是上的三等分点.若∠AOE＝60°，则∠COE的度数是（　　） A.40° B.60° C.80° D.120° 2.如图，P为☉O的直径EF延长线上的一点，PA交☉O于点B，PD交☉O于点C，∠1＝∠2.求证：AB＝CD. 3.如图，A，B，C为☉O上的三点，且＝＝，连接AB，BC，CA. （1）试确定△ABC的形状； （2）若AB＝a，求☉O的半径. 板书设计 29.2.2　圆心角 1.圆心角：顶点在圆心的角. 2.定理： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.简单地说：知一得二. 课堂小结 本节课我们学习了圆心角的概念和圆的旋转不变性，知道了弧、弦、圆心角的关系定理，并能运用其关系定理证明同圆或等圆中弧相等、弦相等、圆心角相等. 教学反思 　　本节课的学习目的是要使学生知道弧、弦、圆心角之间的关系是论证同圆或等圆中弧、角、线段相等的主要依据，因而要注重数形结合，理解图形、文字、几何三种语言的相互转化.运用此定理时，应注意其成立的条件是“在同圆或等圆中”.由弦相等推出弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选同是劣弧. 　　答案 课堂训练 1.C 2.证明：如图，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥CD于点H. 由题意，得∠1＝∠2，∴OG＝OH. 连接AO，CO，易证△AOG≌△COH（HL）， ∴AG＝CH，∴AB＝CD. 3.解：（1）∵＝＝， ∴AB＝BC＝CA， ∴△ABC为等边三角形. （2）如图，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC，垂足为E. ∵＝＝， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA. 又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°， ∴∠BOC＝120°. 又∵OB＝OC，OE⊥BC， ∴∠BOE＝∠COE＝60°，BE＝BC＝AB＝a， ∴∠OBE＝90°－∠BOE＝30°， ∴OE＝OB. 根据勾股定理，有BE2＋OE2＝OB2， 即＋＝OB2，解得OB＝a（负值已舍去），即☉O的半径为a. 学科网（北京）股份有限公司 $