专题29.2.2圆心角（4大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“圆心角”核心知识点，系统梳理圆心角定义、同圆或等圆中圆心角与弧、弦的关系定理及推论（知一推二）、圆心角与弧度数关系，构建从概念辨析、简单运算到关系应用（求解、求证）再到圆弧度数计算的递进式学习支架。 该资料亮点在于精准剖析易错点（如忽略“同圆或等圆”前提、混淆弧度数与弧长），总结速记口诀与证明思路等技巧，题型分层设计含例题及多地阶段检测变式题。通过图形辨析培养几何直观（数学眼光），推理证明发展推理意识（数学思维），规范书写强化数学语言表达，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题29.2.2圆心角 【新人教版】 【题型1 圆心角概念辨析及简单运算】...............................................................................................................2 【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求解】.......................................................................................................4 【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求证】.......................................................................................................7 【题型4 求圆弧的度数】.....................................................................................................................................12 1.圆心角定义 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 2.圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.推论（知一推二） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.角度关系 圆心角的度数=它所对弧的度数。 易错1：缺少前提“同圆或等圆” 直接认为圆心角相等，则弦相等、弧相等；半径不相等的圆不成立。 易错2：混淆弧的度数与弧长 弧度数相等不代表弧长相等；弧长相等也不一定弧度数相等。 易错3：分不清优弧、劣弧 圆心角对应弧要区分劣弧，答题不指明易产生歧义。 易错4：与圆周角概念混淆 圆心角顶点在圆心；圆周角顶点在圆上。 技巧1：速记口诀 顶点在心圆心角，同圆等圆是前提；角、弧、弦知一推二，度数等于所对弧。 技巧2：证明线段、弧相等思路 优先证明对应的圆心角相等。 技巧3：解题规范 书写推理时，必须写明“在同圆或等圆中”。 技巧4：角度转化思路 求弧的度数，转化为求对应圆心角度数。 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例2】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键． 先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·北京门头沟·期末）“莱洛三角形”是机械学家莱洛发现的一种曲边三角形，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图，等边的边长为6，那么此“莱洛三角形”的周长是____________． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 这个“莱洛三角形”的周长就是三条圆心角为，半径为6的圆弧的和，然后代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∴的长相等， ∴此“莱洛三角形”的周长是 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出，根据是弧的中点，即可求得的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴ ∵是弧的中点， ∴ 故选：D． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖南张家界·期末）如图，是的直径，，，，是的弦，且，若点是直径上的一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作出点关于的对称点，连接，根据轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点，连接，求出，然后求出，再求出，再求出，然后求出，从而判断出为圆的直径． 【详解】如图，作出点关于的对称点，连接， 则与的交点即为所求的点，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为圆的直径， ∵是的直径，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，以及弧、圆心角、弦之间的关系，熟记各性质并求出是圆的直径是解题的关键． 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的顶点，，在上，． (1)求证是菱形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理以及角平分线上的点的特征得出，，再根据全等三角形的判定和性质得出，进而得到，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论； （2）根据垂径定理，圆的对称性以及全等三角形的性质可得，设，得到，，，由三角形内角和定理列方程求出的值即可． 本题考查菱形的判定和性质，圆周角定理以及平行四边形的性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系以及菱形的判定和性质是正确解答的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作，，垂足分别为、， ， ，，， ， 又，， ， 在和中， ，， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解：连接、、、， 由垂径定理以及圆的对称性可知，， 设，则，， ， 在中，，， 由三角形内角和定理得，， 解得， ． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆心角定理，垂径定理，熟练掌握圆心角定理及垂径定理是关键． （1）根据垂径定理，得到，即可证明，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接OD，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）解：（1）证明：是的直径，于点， ． 是的中点， ， ， ． （2）解：如图，连接OD， 由（1）可知，， 是的直径，于点， ，             设的半径为，则， 在Rt中，， 即， 解得， 的半径为5． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键． （1）证明，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，然后设的半径为r，由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接, 设的半径为r，， 则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【变式3-3】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 题型四 求圆弧的度数 【例4】（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 【变式4-1】（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先求出的度数，再求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，则， 在中，， ， ， 在中，， ． 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.2.2圆心角 【新人教版】 【题型1 圆心角概念辨析及简单运算】...............................................................................................................2 【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求解】.......................................................................................................3 【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求证】.......................................................................................................3 【题型4 求圆弧的度数】.......................................................................................................................................5 1.圆心角定义 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 2.圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.推论（知一推二） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.角度关系 圆心角的度数=它所对弧的度数。 易错1：缺少前提“同圆或等圆” 直接认为圆心角相等，则弦相等、弧相等；半径不相等的圆不成立。 易错2：混淆弧的度数与弧长 弧度数相等不代表弧长相等；弧长相等也不一定弧度数相等。 易错3：分不清优弧、劣弧 圆心角对应弧要区分劣弧，答题不指明易产生歧义。 易错4：与圆周角概念混淆 圆心角顶点在圆心；圆周角顶点在圆上。 技巧1：速记口诀 顶点在心圆心角，同圆等圆是前提；角、弧、弦知一推二，度数等于所对弧。 技巧2：证明线段、弧相等思路 优先证明对应的圆心角相等。 技巧3：解题规范 书写推理时，必须写明“在同圆或等圆中”。 技巧4：角度转化思路 求弧的度数，转化为求对应圆心角度数。 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例2】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·北京门头沟·期末）“莱洛三角形”是机械学家莱洛发现的一种曲边三角形，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图，等边的边长为6，那么此“莱洛三角形”的周长是____________． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖南张家界·期末）如图，是的直径，，，，是的弦，且，若点是直径上的一动点，则的最小值为________． 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的顶点，，在上，． (1)求证是菱形； (2)求的度数． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 【变式3-3】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 题型四 求圆弧的度数 【例4】（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $