5.2.1 二次函数y=±x2 的图象与性质-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=±x²的图象与性质，通过列表描点、观察探究引导学生掌握抛物线特征、对称轴、顶点、增减性及最值，构建从具体作图到抽象性质的学习支架，衔接后续二次函数学习。 其亮点在于以几何直观培养数学眼光，通过对比y=x²与y=-x²的异同（如开口方向、增减性）发展推理意识，用表格小结规范数学语言。例如解答题对比分析二者性质，帮助学生建立数形结合思维，教师可借助系统练习提升教学效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第五章 二次函数 5.2.1 二次函数y=±x2 的图象与性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学5.2.1二次函数y=±x²的图象与性质专项练习 核心知识点回顾：本节重点掌握基础二次函数y=x²与y=−x²的图象和性质，二者图象均为抛物线，对称轴为y轴，顶点为坐标原点(0,0)。y=x²图象开口向上，顶点是最低点，当x=0时，y有最小值0；x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大。y=−x²图象开口向下，顶点是最高点，当x=0时，y有最大值0；x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小。两图象关于x轴对称，是所有二次函数图象学习的基础模型。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 二次函数y=x²的图象开口方向是（） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 二次函数y=−x²的对称轴是（） A. x轴 B. y轴 C. 直线x=1 D. 直线y=1 3. 对于y=x²，当x=2时，y的值为（） A. 2 B. −2 C. 4 D. −4 4. 下列关于y=−x²的性质说法正确的是（） A. 有最小值0 B. 有最大值0 C. x>0时y随x增大而增大 D. 图象不经过原点 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 二次函数y=x²与y=−x²的图象顶点都是________，对称轴都是________。 6. 抛物线y=x²，当x________时，y随x的增大而减小。 7. 抛物线y=−x²的最________点是原点，函数最大值为________。 8. y=x²与y=−x²的图象关于________对称。 三、解答题（共56分） 9.（18分）简述二次函数y=x²的图象特征与增减性、最值性质。 10.（18分）已知点A(−3，y₁)、B(2，y₂)在抛物线y=x²上，比较y₁、y₂的大小，并说明理由。 11.（20分）对比说明y=x²与y=−x²的异同点，从图象形状、开口方向、增减性、最值四个方面分析。 参考答案与详细解析 1. A 解析：二次函数y=x²二次项系数为1，正数对应抛物线开口向上。 2. B 解析：y=−x²是基础二次函数，无一次项，图象对称轴为y轴。 3. C 解析：将x=2代入解析式，y=2²=4，对应函数值为4。 4. B 解析：y=−x²开口向下，原点为最高点，函数有最大值0，无最小值，x>0时y随x增大而减小。 5. 原点(0,0)；y轴 6. <0 解析：y=x²开口向上，对称轴左侧即x<0时，函数单调递减。 7. 高；0 解析：y=−x²开口向下，顶点为最高点，此时函数最大值为0。 8. x轴 解析：相同自变量取值下，两个函数值互为相反数，图象关于x轴对称。 9. 解：图象特征：抛物线，开口向上，对称轴为y轴，顶点为坐标原点。性质：x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大；x=0时，函数取得最小值0，无最大值。 10. 解：代入计算，y₁=(−3)²=9，y₂=2²=4，可得y₁>y₂。也可依据性质：开口向上，点离对称轴越远，函数值越大，−3到y轴距离大于2，故y₁更大。 11. 解：相同点：均为抛物线，对称轴为y轴，顶点为原点，图象形状大小完全相同。不同点：y=x²开口向上，y=−x²开口向下；y=x²左减右增，有最小值；y=−x²左增右减，有最大值0，二者增减性、最值完全相反。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 问题 画二次函数y=x²的图象。 (1)观察表达式y=x²，x可以取哪些值?选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表。 x           y=x²             -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 知识点1 二次函数y=x²的图象和性质 探究新知 知识点1 二次函数y=x²的图象和性质 问题 画二次函数y=x²的图象。 (2)在平面直角坐标系中描点， 如果需要，可再多描一些点。 (3)用光滑的曲线连接各点， 便得到函数y=x²的图象。 x           y=x²             -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x 探究新知 观察二次函数y=x²的图象。 (1)你能描述图象的特征吗? 二次函数y=x²的图象是一条抛物线， 并且开口向上。 (2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么? 有，交点坐标是(0，0)。 知识点1 二次函数y=x²的图象和性质 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x 探究新知 观察二次函数y=x²的图象。 (3)当x<0时，随着x值的增大，y 的值如何变化? 当x>0时呢? 当x<0时，y的值随x值的增大而减小； 当x>0时，y的值随x值的增大而增大。 知识点1 二次函数y=x²的图象和性质 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x 探究新知 观察二次函数y=x²的图象。 (4)y的值可能小于0吗?当x取什么值时，y的值最小? y的值不可能小于0； 当x=0时，y的值最小，最小值是0。 知识点1 二次函数y=x²的图象和性质 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x 探究新知 观察二次函数y=x²的图象。 (5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是 什么?请你找出几对对称点。 是，对称轴是y轴； 对称点有很多，如(-1，1)和(1，1)， (-2，4)和(2，4)，(-3，9)和(3，9)等。 知识点1 二次函数y=x²的图象和性质 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x 探究新知 知识点1 二次函数 的图象与性质 1.如图为二次函数的图象，它与 轴的交点坐标是 ______，当时，的值随 值的增大而______ （填“增大”或“减小”），当时，的值随 值的增 大而______（填“增大”或“减小”）；抛物线的顶点坐标 是______； 当 ___时，函数取得最小值，为___；抛 增大 减小 0 0 轴 上 物线的对称轴是_____；抛物线的开口向____（填“上”或“下”）。 返回 举一反三 8 2.已知正方形的边长为，则它的面积与边长 之间的函 数图象为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3.若点，都在二次函数 的图象上，则( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 10 如图，二次函数y=x²的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点。 二次函数y= x²的图象也称为抛物线 y=x²。 知识点1 二次函数y=x²的图象和性质 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x 探究新知 二次函数y=x²的性质(增减性)： 当x<0时(在对称轴的左侧)，y随x的增大而减小； 当x>0时(在对称轴的右侧)，y随x的增大而增大； 当x=0时，y有最小值0。 知识点1 二次函数y=x²的图象和性质 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x 探究新知 观察函数y=x2的图象，下列判断正确的是( ) A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相同 B.对于同一个自变量x，y有可能有两个值与之对应 C.对于同一个实数y，有两个x和它对应 D.对于任意实数x，都有y>0 例1 A 知识点1 二次函数y=x²的图象和性质 探究新知 二次函数y=-x²的图象是什么形状?先想一想，然后画出它的图象。它与二次函数y=x²的图象有什么关系? 知识点2 二次函数y= - x²的图象和性质 x           y=x²             -3 -2 -1 0 1 2 3 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 二次函数y=-x²的图象是一条抛物线， 它与二次函数y=x²的图象的形状相同，这两个图象关于x轴成轴对称。 探究新知 如图，二次函数y=-x²的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点。 知识点2 二次函数y= - x²的图象和性质 探究新知 二次函数y=-x²的性质(增减性)： 当x<0时(在对称轴的左侧)，y随x的增大而增大； 当x>0时(在对称轴的右侧)，y随x的增大而减小； 当x=0时，y有最大值0。 知识点2 二次函数y= - x²的图象和性质 探究新知 若点A(-3，y1)，B(-2，y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是__________。 例2 y2＞y1 知识点2 二次函数y= - x²的图象和性质 探究新知 4.[广州期中] 已知抛物线 ，则以下说法中，错误的是( ) D A.开口向上 B.顶点坐标是 C.对称轴是直线 D.当时， 有最大值0 返回 举一反三 18 知识点2 二次函数 的图象与性质 5.二次函数 的大致图象是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 19 6.已知点，都在抛物线 上，则( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 20 7.[安阳期末] 抛物线与抛物线 相同的性质是( ) C A.开口向上 B.有最高点 C.顶点是原点 D.当时，随 的增大而增大 返回 举一反三 21 8.已知二次函数 。 举一反三 22 （1）填表并在如图所示的坐标系中画出图象； … 0 1 2 3 … … ____ ____ ____ ___ ____ ____ ____ … 0 举一反三 23 [答案] 描点、连线，画出图象如图： 举一反三 24 解：填表如下： … 0 1 2 3 … … 0 … 举一反三 25 （2）写出（1）中所画抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值与 增减性。 [答案] 抛物线的开口方向向下；顶点坐标为；对称轴为 轴；函数 有最大值0，当时，随的增大而减小，当时，随 的增大 而增大。 返回 举一反三 26 9.[广州期中] 已知二次函数的图象上有三个点 ， ， ，则( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 27 10.如图，由的图象可以看出，当 时， 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 28 二次函数 y＝x2 y＝-x2 图象 位置开口方向 对称性 顶点和最值 增减性 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 课堂小结 谢谢观看 THANKS $