5.1 认识二次函数-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过果园产量、矩形面积等实际问题导入，从一次函数过渡到二次函数，搭建“实际情境-变量关系-函数表达式”的学习支架，帮助学生理解定义及判定要点。 其特色在于以问题链驱动探究，用数学眼光观察现实数量关系，通过推理分析变量关系培养数学思维，以规范表达式和取值范围训练数学语言，形成模型意识。学生能提升抽象与应用能力，教师可依托完整教学流程高效教学。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第五章 二次函数 5.1 认识二次函数 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学5.1认识二次函数专项练习 核心知识点回顾：一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（a、b、c是常数，$$a eq0$$）的函数叫做二次函数。其中$$ax^2$$是二次项，a是二次项系数，$$bx$$是一次项，b是一次项系数，c是常数项。核心判定要点：自变量最高次数为2、二次项系数不为0、等式为整式函数。二次函数是刻画变量之间二次变化关系的重要模型，常应用于面积、利润、运动轨迹等实际问题。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A. $$y=2x+1$$ B.$$y=\frac{1}{x^2}$$ C. $$y=x^2-2$$ D. $$y=\sqrt{x^2}$$ 2. 二次函数$$y=3x^2-5x+1$$的二次项系数是（） A. 3 B. -5 C. 1 D. 0 3. 若函数$$y=(m-2)x^2+3x$$是二次函数，则m的取值范围是（） A. $$m eq0$$ B. $$m eq2$$ C. $$m=2$$ D. 任意实数 4. 正方形的面积S与边长a的函数关系是（） A. 一次函数 B. 二次函数 C. 正比例函数 D. 反比例函数 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 二次函数的一般形式为________（$$a eq0$$）。 6. 二次函数$$y=x^2+4x-3$$的常数项是________。 7. 已知函数$$y=(k+1)x^2-2x$$为二次函数，则k的取值范围是________。 8. 长方形的长为6，宽为x，面积y与x的函数关系式为________，该函数是________函数。 三、解答题（共56分） 9.（18分）判断下列函数是否为二次函数，说明理由：①$$y=5x^2$$；②$$y=2x^2-x^2+3$$；③$$y=3x+\frac{1}{x}$$。 10.（18分）已知二次函数$$y=(m-3)x^{m^2-7}+2x-1$$，求m的值。 11.（20分）用长为40cm的铁丝围成矩形，设矩形一边长为x cm，面积为y cm²，求y与x的函数关系式，并判断函数类型，写出自变量取值范围。 参考答案与详细解析 1. C 解析：A为一次函数，B为分式函数，D为一次函数变形，只有C符合二次函数定义。 2. A 解析：二次函数$$y=ax^2+bx+c$$中，a为二次项系数，本题a=3。 3. B 解析：二次函数要求二次项系数不为0，即m-2≠0，解得m≠2。 4. B 解析：正方形面积公式$$S=a^2$$，自变量最高次数为2，是二次函数。 5. $$y=ax^2+bx+c$$（a、b、c为常数） 6. -3 解析：常数项为不含自变量的项，该函数常数项为-3。 7. $$k eq-1$$ 解析：二次项系数k+1≠0，即k≠-1。 8. $$y=6x$$；一次 解析：式子自变量最高次数为1，属于一次函数。 9. 解：①是二次函数，符合$$y=ax^2+bx+c$$形式，a=5≠0；②是二次函数，化简得$$y=x^2+3$$，满足二次函数定义；③不是二次函数，函数含分式，不是整式函数，不符合定义。 10. 解：由二次函数定义得：$$m^2-7=2$$且$$m-3 eq0$$，解得$$m^2=9$$，m=±3，舍去m=3，故m=-3。 11. 解：矩形周长40cm，一边长x cm，则另一边长(20-x)cm，面积$$y=x(20-x)=-x^2+20x$$。该函数是二次函数，自变量取值范围：$$0<x<20$$。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 问题 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高总产量，但如果多种树，树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 (1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量，哪些是因变量? 橙子树棵数，平均每棵树结橙子数 自变量 因变量 知识点1 二次函数的概念 探究新知 (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? 橙子树棵数，平均每棵树结橙子数 (100+x) (600-5x) 知识点1 二次函数的概念 (3)如果果园橙子的总产量为y个，那 么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值 ? 橙子树棵数 平均每棵树结橙子数 × 总产量 = y = (100+x) (600-5x) × 大于100 大于0 0<x<120，且x为整数 探究新知 (1)某公司今年4月的利润为20万元，预计5-6月利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月的利润为y万元，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 由题意，得y=20(1+x)²=20x²+40x+20， x为非负实数。 知识点1 二次函数的概念 探究新知 (2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?如果设这个矩形的一条边长为x cm，面积为y cm2，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 设矩形的一条边长为x cm，那么与其相邻的边的长为(20-x)cm， 所以该矩形的面积y=x(20-x)。 令x(20-x)=100，则方程可化为x²-20x+100=0， 此时Δ=b²-4ac=0，所以一元二次方程有解， 且x₁=x₂=10，符合题意， 所以矩形的面积可以为100cm²； 知识点1 二次函数的概念 探究新知 (2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?如果设这个矩形的一条边长为x cm，面积为y cm2，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 令x(20-x)=75，则方程可化为x²-20x+75=0， 此时Δ=b²-4ac=400-300=100>0，所以一元二次方程有解， 且x₁=5，x₂=15，符合题意， 所以面积可以为75cm²。 面积还可以是19cm2、36cm2、51cm2等其他可能。 知识点1 二次函数的概念 探究新知 (2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?如果设这个矩形的一条边长为x cm，面积为y cm2，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 矩形的面积y与其一条边长x的关系式为y=x(20-x)，即 y=-x²+20x(0<x<20)。 知识点1 二次函数的概念 探究新知 (3)两个数的和是20，设其中一个数是x，这两个数的积是y，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 由题意，得y=x(20-x)=-x²+20x， x为任意实数。 知识点1 二次函数的概念 探究新知 知识点1 二次函数的定义 1.下列函数中是二次函数的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.已知是关于的二次函数，则 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 10 3.已知函数 。 （1）当时， ____; （2）当时， _______。 6或 返回 举一反三 11 y=−5x2+100x+60 000 y=20x2+40x+20 y=-x2+20x 都有两个变量，自变量最高次数为2，因变量最高次数为1。 知识点1 二次函数的概念 思考：它们有什么共同特征？ 探究新知 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是 x 的二次函数。 知识点1 二次函数的概念 思考：你能举出一些二次函数的例子吗？ 例如：①正方形面积A与边长a的关系A=a2； ②圆的面积S与半径r的关系S=πr2。 探究新知 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是 x 的二次函数。 知识点1 二次函数的概念 判断方法：(1)解析式是关于自变量的整式； (2)自变量的最高次数是2； (3)化简后二次项系数不为0。 探究新知 二次函数的一般形式： 把y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式叫作二次函数的一般形式。其中，ax²，bx，c分别是二次项、一次项、常数项；a，b分别是二次项系数、一次项系数。 知识点1 二次函数的概念 注意： a，b，c为常数，且a≠ 0（b，c可以为0），因此二次函数还有其特殊形式，如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等。 探究新知 二次函数y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)中，自变量x可以取哪些值？ 知识点1 二次函数的概念 二次函数自变量的取值范围： 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)中，自变量x的取值范围是全体实数； 但在实际问题中，二次函数自变量的取值范围需按实际意义(如长度为正、人数为整数等)限定。 探究新知 4.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 函数表达式 二次项系数 一次项系数 常数项 ____ ___ ____ ____ ___ ____ ___ ____ ___ 2 0 1 0 返回 举一反三 17 知识点2 建立二次函数模型 5.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降 价。若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为 元， 则与 之间的关系式为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 18 6.已知两个实数，其中一个数比另一个数大2，设较小的数为 ，这两个 实数的积为，则与 之间的关系式为____________。 返回 举一反三 19 下 列 函 数 ： (1)y=-3x²；(2)y=x²+；(3)y=3x²-4-x3；(4)y=-2-x²； (5)y=ax²+3x+6；(6)y=4-；(7)y=(x-1)²-x²。 其中，一定是y关于x的二次函数的有 。(填序号) 例1 (1) (4) 知识点1 二次函数的概念 探究新知 菱形的两条对角线的和为26cm，则菱形的面积S(cm2)与一条对角线的长x(cm)之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 。 例2 S=-x2+13x 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式 0<x<26 探究新知 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式 根据实际问题构建二次函数的一般步骤： 审清题意：找出实际问题中的已知量(常量)、未知量(变量)，并分析它们之间的关系，将文字语言或图形语言转化为数学(符号)语言。 找等量关系：找到常量和变量之间的关系，列出等量关系式。 列函数表达式：设出表示变量(自变量、因变量)的字母，把等量关系式中的量用含该字母的式子替换，列出二次函数表达式。 探究新知 7.一个正方形的边长为，假设边长增加 时，正方形的面积增加 。 （1）与 之间的关系式为____________； （2）当正方形的边长增加，， 时，正方形的面积各增加 _______________________。 ，， 返回 举一反三 23 8. 若关于的函数是二次函数，则 的值 为___。 2 返回 举一反三 24 9.某商店经销一种学生用的双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30 元。经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与售价 （元/个）有如下关系：（，且 为整数）。设 这种双肩包每天的销售利润为元，则与之间的函数表达式为 ___________________。 返回 举一反三 25 10.如图，在一面靠墙的空地上用长为 的篱 笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃 （中间的篱笆垂直于墙），设花圃的边 的长 为，面积为 。 （1）若墙足够长，求与之间的函数表达式及自变量 的取值范围； 解： ， 由题意得解得 。 举一反三 26 （2）当时，矩形花圃的面积最大，此时的面积为____ ； 48 （3）若墙的最大可用长度为，求此时自变量 的取值范围。 解：因为，所以。结合（1）得 。 返回 举一反三 27 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是x的二次函数 二次函数 概念 根据实际问题构建二次函数 审清题意→找等量关系→列函数表达式 课堂小结 谢谢观看 THANKS $