5.1 认识二次函数 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念及表达式，以果园橙子树增产问题为课堂导入，通过变量分析、关系式推导等学习支架，引导学生从具体实际问题抽象出二次函数特征，衔接现实情境与数学概念。 其亮点在于以果园、利润增长、矩形面积等实际问题为载体，发展模型观念和抽象能力，通过问题链与例题辨析强化概念理解。学生能在解决实际问题中感悟数学应用，教师可借助清晰结构提升教学效率。

5.1 认识二次函数 第五章 二次函数 九上数学北师 1.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，发展抽象能力。 2.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，发展模型观念。 学习目标 2 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高总产量，但如果多种树，树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 课堂导入 3 问题 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高总产量，但如果多种树，树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 (1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量，哪些是因变量? 橙子树棵数，平均每棵树结橙子数 自变量 因变量 知识点1 二次函数的概念 新知讲解 问题 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高总产量，但如果多种树，树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? 橙子树棵数，平均每棵树结橙子数 (100+x) (600-5x) 知识点1 二次函数的概念 新知讲解 知识点1 二次函数的概念 问题 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高总产量，但如果多种树，树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 (3)如果果园橙子的总产量为y个，那 么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值 ? 橙子树棵数 平均每棵树结橙子数 × 总产量 = y = (100+x) (600-5x) × 大于100 大于0 0<x<120，且x为整数 新知讲解 (1)某公司今年4月的利润为20万元，预计5-6月利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月的利润为y万元，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 由题意，得y=20(1+x)²=20x²+40x+20， x为非负实数。 知识点1 二次函数的概念 新知讲解 (2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?如果设这个矩形的一条边长为x cm，面积为y cm2，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 设矩形的一条边长为x cm，那么与其相邻的边的长为(20-x)cm， 所以该矩形的面积y=x(20-x)。 令x(20-x)=100，则方程可化为x²-20x+100=0， 此时Δ=b²-4ac=0，所以一元二次方程有解， 且x₁=x₂=10，符合题意， 所以矩形的面积可以为100cm²； 知识点1 二次函数的概念 新知讲解 (2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?如果设这个矩形的一条边长为x cm，面积为y cm2，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 令x(20-x)=75，则方程可化为x²-20x+75=0， 此时Δ=b²-4ac=400-300=100>0，所以一元二次方程有解， 且x₁=5，x₂=15，符合题意， 所以面积可以为75cm²。 面积还可以是19cm2、36cm2、51cm2等其他可能。 知识点1 二次函数的概念 新知讲解 (2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?如果设这个矩形的一条边长为x cm，面积为y cm2，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 矩形的面积y与其一条边长x的关系式为y=x(20-x)，即 y=-x²+20x(0<x<20)。 知识点1 二次函数的概念 新知讲解 (3)两个数的和是20，设其中一个数是x，这两个数的积是y，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 由题意，得y=x(20-x)=-x²+20x， x为任意实数。 知识点1 二次函数的概念 新知讲解 y=−5x2+100x+60 000 y=20x2+40x+20 y=-x2+20x 都有两个变量，自变量最高次数为2，因变量最高次数为1。 知识点1 二次函数的概念 思考：它们有什么共同特征？ 新知讲解 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是 x 的二次函数。 知识点1 二次函数的概念 思考：你能举出一些二次函数的例子吗？ 例如：①正方形面积A与边长a的关系A=a2； ②圆的面积S与半径r的关系S=πr2。 新知讲解 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是 x 的二次函数。 知识点1 二次函数的概念 判断方法：(1)解析式是关于自变量的整式； (2)自变量的最高次数是2； (3)化简后二次项系数不为0。 新知讲解 二次函数的一般形式： 把y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式叫作二次函数的一般形式。其中，ax²，bx，c分别是二次项、一次项、常数项；a，b分别是二次项系数、一次项系数。 知识点1 二次函数的概念 注意： a，b，c为常数，且a≠ 0（b，c可以为0），因此二次函数还有其特殊形式，如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等。 新知讲解 二次函数y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)中，自变量x可以取哪些值？ 知识点1 二次函数的概念 二次函数自变量的取值范围： 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)中，自变量x的取值范围是全体实数； 但在实际问题中，二次函数自变量的取值范围需按实际意义(如长度为正、人数为整数等)限定。 新知讲解 下 列 函 数 ： (1)y=-3x²；(2)y=x²+；(3)y=3x²-4-x3；(4)y=-2-x²； (5)y=ax²+3x+6；(6)y=4-；(7)y=(x-1)²-x²。 其中，一定是y关于x的二次函数的有 。(填序号) 例1 (1) (4) 知识点1 二次函数的概念 新知讲解 菱形的两条对角线的和为26cm，则菱形的面积S(cm2)与一条对角线的长x(cm)之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 。 例2 S=-x2+13x 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式 0<x<26 新知讲解 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式 根据实际问题构建二次函数的一般步骤： 审清题意：找出实际问题中的已知量(常量)、未知量(变量)，并分析它们之间的关系，将文字语言或图形语言转化为数学(符号)语言。 找等量关系：找到常量和变量之间的关系，列出等量关系式。 列函数表达式：设出表示变量(自变量、因变量)的字母，把等量关系式中的量用含该字母的式子替换，列出二次函数表达式。 新知讲解 1.下列函数中(x，t 是自变量)，哪些是二次函数? y=-+3x²，y=x²-x3+25，y=2²+2x，s=1+t+5t²。 . . 解：二次函数有y=-+3x²，s=1+t+5t²。 随堂练习 2.函数y=(m−n)x2+mx+n是二次函数的条件是( ) A.m，n是常数，且m≠0 B.m，n是常数，且n≠0 C.m，n是常数，且m≠n D.m，n为任何实数 C 随堂练习 3.下列关系中，是二次函数关系的是( ) A.当距离s一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 B.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 C.圆的面积S与圆的半径r之间的关系 D.正方形的周长C与边长a之间的关系 C 随堂练习 4.写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系式，并分别计算当a=1，，2时三角形的面积。 . . 解：如图所示，△ABC为等边三角形，过点A作AD⊥BC于点D。 ∴ CD= a， ∴ AD= = a， ∴ S= BC·AD= ·a·a = a 。 当a=1时， S= ×1= ； 当a=时， S= ×(= ； 当a=2时，S= ×2= 随堂练习 5.正方形的边长是4cm，当边长增加x cm时，面积增加y cm2。 (1)写出y与x之间的函数关系式。 (2)当边长增加了3cm时，面积增加了多少? (3)当面积增加了48cm2时，边长增加了多少? . . 解：(1)y=(x+4)2-42=x2+8x(x>0) ， ∴y与x之间的函数关系式为y=x2+8x(x>0)。 (2)当x=3时，y=32+8×3=33 ， ∴面积增加了33 cm2。 (3)当y=48 时，x2+8x=48，解得x1=4，x2=-12(舍)， ∴边长增加了4 cm。 随堂练习 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是x的二次函数 二次函数 概念 根据实际问题构建二次函数 审清题意→找等量关系→列函数表达式 课堂小结 $