精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高三上学期阶段性测试（一） 数学试题

哈尔滨市第六中学校2026-2027年高三学年阶段性测试（一） 数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知函数，若正实数m，n满足，则的最小值是（） A. 13 B. 9 C. 7 D. 3 7. 如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（） A. B. C. D. 10. 已知函数（，，）的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，，则的最小值为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 11. 在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于点，与轴交于点，其中，则（ ） A. 为的极大值点 B. C. D. 设直线的斜率为，则 第Ⅰ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在答题卡的相应位置上. 12. 函数，若，则__________． 13. 已知函数 若，则________. 14. 若关于x的不等式有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共47分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.将答案填在答题卡的相应位置上. 15. 已知函数，. （1）求的最小正周期和单调减区间； （2）若（）为的一个零点，求的值. 16. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且. （1）求A； （2）若，求的面积. 17. 已知数列的前n项和为，且. （1）证明：数列是等差数列，并求； （2）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上的最小值为0，求a的值； （3）若对于任意，恒成立，求a的取值范围. 19. 已知直线是函数的一条切线． （1）求的值； （2）设实数使得对恒成立，求的值； （3）证明：对任意的，，均有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2026-2027年高三学年阶段性测试（一） 数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 解不等式，， 整理得，解得或， 则． 已知， 则，解得， 所以， 则． 3. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在中，， 先证充分性：在中，取，此时，即“”推不出“”，充分性不成立； 再证必要性：在中，，即“”推出“”，必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 5. 已知中，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得的值，结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】因为，且，可得， 又因为，可得， 由，得，所以，所以， 因为，即， 所以. 6. 已知函数，若正实数m，n满足，则的最小值是（） A. 13 B. 9 C. 7 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质将抽象等式转化为，再通过“1的代换”结合基本不等式可求出最小值. 【详解】已知函数，定义域为，且， 因为， 所以是奇函数； 因为与都在上单调递增， 所以在上单调递增， 由， 移项得：， 由于是奇函数，所以， 因此：， 因为是单调递增函数， 即：， ， ， 因为， 根据基本不等式， 得：， 所以：， 当且仅当即时等号成立， 将代入，得，即， 此时的最小值是. 7. 如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】显然，所以，所以只需写出和的面积即可，此时，最适宜引入的参数就是，用表示出两个三角形的面积，再用正弦型函数的最值即可解决本题. 【详解】在中，设，则. 由余弦定理知， 因为是等边三角形，所以. 又，为等边三角形， 所以，所以， 故 ， 所以，当，即时，. 8. 已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】借助函数的奇偶性与周期性，求出参数的值. 【详解】已知函数是偶函数，所以，即函数图像关于对称，即， 当时，，所以， 因为，所以，即， 在区间中，的最小值为，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题通过终边上的点及三角函数定义，计算出、、的值，再利用诱导公式、两角和公式、二倍角公式及半角公式代入验证即可. 【详解】根据三角函数的定义，得： ，，， 选项A：根据诱导公式得，故A错误； 选项B：根据两角和的正切公式得： ，故B正确； 选项C：根据二倍角公式得： ，故C正确； 选项D：因为且， 所以在第四象限，即，， 则，， 即在第二或第四象限， 当在第四象限时： ，， ； 当在第二象限时： ，， ， 无论哪种情况，结果都不是，故D错误. 10. 已知函数（，，）的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，，则的最小值为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的图象，结合正弦型函数的性质，求得的解析式，可判定A正确；列出方程，求得的值，可判定B正确；利用三角函数的图象变换，可判定C错误；画出函数与的图象，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数的图象，可得，最小正周期， 则，所以， 又由， 根据五点对应法，可得，所以， 因为，所以，所以，所以A正确； 对于B，若，即且， 可得且， 因为，不妨设或， 即或，所以，其中， 当时，，所以B正确； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数，所以C不正确； 对于D，画出函数和在上的图象， 如图所示，结合图象，可得两个函数的图象共有4个交点，所以D正确. 11. 在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于点，与轴交于点，其中，则（ ） A. 为的极大值点 B. C. D. 设直线的斜率为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导验证即可；对于B，利用不等式，取特殊值验证即可；对于C，由题意，利用分析法证明即可；对于D，由题意，利用分析法证明即可. 【详解】对于A，由题意得，由， 函数在上递减，在上递增，且当时，. 所以当时，，故；当时，，故； 由此是的极大值点，故A正确； 对于B，令，则， 所以在上单调递增，由题意得， 由不等式，取，得， 所以，由此， 又单调递增，所以，则，故B错误； 对于C，由题意，， 要证，只需证， 等价于，由，得， 所以只需证，由于，则成立，故C正确； 对于D，直线的斜率， 要证，等价于， 等价于，因为，所以， 由于， 由B已证，即，且， 又，所以，所以，故D正确. 第Ⅰ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在答题卡的相应位置上. 12. 函数，若，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】考查分段函数的求值，重难点为分段函数的分类讨论及复合函数由内到外的求解逻辑，首先由解析式分析，，再分类讨论，求出值. 【详解】已知. 设，则 由分段函数可知，仅有1个解为，所以结合分段函数性质可得. 若，则，，所以； 若，则，解得. 因此满足条件的的值为或. 13. 已知函数 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式化简，再由得图像关于直线对称，利用正弦函数的性质得到，再由，得，由二倍角公式即可求解. 【详解】设，， 所以， 又因为，所以函数的图像关于直线对称， 根据正弦函数的性质得到， 因为，， 所以， 所以 故答案为 【点睛】本题主要考查三角函数以及辅助角公式、二倍角公式，属于中档题. 14. 若关于x的不等式有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题，不等式变形为，用导数法研究的单调性，则不等式有且只有2个正整数解等价于直线：与有两个交点分别在和，即可求出a的取值范围 【详解】，直线：过定点， 令，故在递增，递减， ，则，， ∴不等式有且只有2个正整数解等价于直线与有两个交点分别在和，故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共47分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.将答案填在答题卡的相应位置上. 15. 已知函数，. （1）求的最小正周期和单调减区间； （2）若（）为的一个零点，求的值. 【答案】（1），单调递减区间为；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用降幂公式、辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用三角函数的性质求解； （2）由可得，然后利用求解的值. 【详解】解：（1） 则的最小正周期为. 令得，， 所以函数的单调递减区间为. （2）若，则，即， 又，所以，所以， 所以 . 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决三角函数的性质问题，考查利用三角恒等变换求三角函数值，难度一般. 解答时，辅助角公式，三角恒等变换公式的运用是关键. 16. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且. （1）求A； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理进行角化边可得出，再运用余弦定理可求解； （2）先由正弦定理可得出，再由余弦定理可得出，最后利用面积公式可求解. 【小问1详解】 由余弦定理得：，代入， 得，化简得：， 又因为，所以， 解得：，又，所以. 【小问2详解】 ，且，由正弦定理可得， 则，即， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 17. 已知数列的前n项和为，且. （1）证明：数列是等差数列，并求； （2）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n. 【答案】（1）由，得 ，两式相减得，整理得 同除以得： 又由得，则 所以数列 则，所以 （2）． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 所以， ， 显然数列为递增数列， 且，， 使成立的最大正整数． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上的最小值为0，求a的值； （3）若对于任意，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出导数零点，依据导数正负划分区间，判断函数单调性；（2）导数单调递增，分类讨论导数零点与区间的位置，比较区间内极小值与端点值得到最小值求解参数，结果要检验是否符合分类前提；（3）移项构造新函数，分析导数单调性，依据导数在端点处的函数值分类，结合判断恒成立条件. 【小问1详解】 当时，；定义域为R， 由，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以 ①当，即时，，在上单调递增， ，所以，符合题意； ②当，即时，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． ，解得，与矛盾，不符合题意； 综上可知． 【小问3详解】 依题意， ，令，则对于任意，恒成立， ． ①当，即时，因为，所以． 所以在上单调递增．又，所以，当时，对于任意都有; ②当时，，， 故存在，当，，单调递减，此时，与恒成立矛盾，不符合题意． 综上，的取值范围为． 19. 已知直线是函数的一条切线． （1）求的值； （2）设实数使得对恒成立，求的值； （3）证明：对任意的，，均有． 【答案】（1）1 （2） （3）（） ． 令，， 时，，单调递减，即单调递减． 令．且，． ． ，， 由在上单调递减，． ，单调递增． 又． 时，恒成立得证，即对任意， 均有． 【解析】 【分析】(1)设切点，利用切线斜率等于导数值求出切点横坐标，代入函数求得 ； (2)构造差函数，发现是零点，由极值必要条件求出k，再验证恒成立； (3)固定t构造关于s的函数，借助在上单调递减，利用单调性完成不等式证明. 【小问1详解】 ， 设切点为，， ，． 且，． 【小问2详解】 由（1）知，对于恒成立， ， 令， 则在上恒成立． 又为的极小值点，．即． 下证满足题意： 当时，， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增． ，恒成立得证． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $