精品解析：上海市复旦大学附属中学2026-2027学年高一上学期开学适应性练习数学试题

2026届新高一数学适应性练习 一､填空题（本大题满分36分）本大题共有10题，第1—4题每题3分，第5—10题每题4分． 1. 已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 2. 在中，点是边上一点且，若，，则________（用､表示）． 3. 已知锐角使得，则________（用含有的代数式表示）． 4. 同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与､与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成且氧原子完全消耗，则从反应生成的中随机抽取1个，其为的概率为______． 5. 若，则__________． 6. 已知，，且，则________． 7. 如图所示，是的直径，是过中点的弦，且．以为直径的半圆交于，的延长线交于，连结．若的半径为1，则的长为________． 8. 已知、、均为整数，且满足，则以、为两个根，且二次项系数为的一元二次方程为__________． 9. 已知一个三角形的周长和面积分别是､，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图所示），则这个三角形的内部没有被单位圆滚过的部分的面积是__________． 10. 已知实数、、满足，则的最小值为__________． 二､选择题（本大题满分16分）本大题共有题，每题分，每题有且只有一个正确选项． 11. 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 12. 给出下列三个命题：①在实数范围内，一元二次方程的根为；②在中，若，则是锐角三角形；③若､､是的三边，､､是的三边，若､､，则的面积大于的面积．其中假命题的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 13. 已知三个非负实数､､满足和，则的最小值和最大值分别是（ ）． A. B. C. D. 14. 设表示不大于的最大整数，方程的实数解有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 至少4个 三､解答题（本大题共有4题）本大题满分48分，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 15. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示， （1）求图中阴影部分的面积，并说明实际意义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数关系式. 16. 如图，是的直径，与相切于点，且连接，过点作于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）连接交于点，交于点若，求的长． 17. 对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． （1）证明：必在和之间； （2）试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； （3）请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 18. 如图所示，抛物线与轴交于点､，且经过点． （1）求抛物线的表达式和该抛物线的对称轴方程； （2）在轴上方的抛物线上任取一点，射线､分别与抛物线的对称轴交于点､，点关于轴的对称点为，求证：的面积为定值，并求出该定值； （3）点是轴上一动点，当最大时，求的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届新高一数学适应性练习 一､填空题（本大题满分36分）本大题共有10题，第1—4题每题3分，第5—10题每题4分． 1. 已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根号被开方数大于或等于0，分式分母不为0，即可求出的取值范围. 【详解】由题可得，则，所以的取值范围为. 2. 在中，点是边上一点且，若，，则________（用､表示）． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的加减与数乘运算即得． 【详解】 由题意,是边上一点,且，则 故. 3. 已知锐角使得，则________（用含有的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】因为， 所以. 4. 同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与､与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成且氧原子完全消耗，则从反应生成的中随机抽取1个，其为的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别计算选到和的概率，再根据独立事件概率公式求解. 【详解】因为与的原子个数比为，所以选到的概率为， 与的原子个数比为，所以选到的概率为， 原子和原子的选择相互独立，所以反应生成的概率为. 5. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】令，条件式立即化为，即. 故答案为：. 6. 已知，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：由题意利用韦达定理可得，利用乘法公式展开代入计算即得；法二：将两式相减整理，结合 求出 和 ，再将所求式利用乘法公式化简整理计算即可． 【详解】法一：由，可知，是关于的一元二次方程的两根， 由韦达定理. 则； 法二：由 ，，两式相减得 因为 ，所以 ． 又故 于是 均不为 ，且 7. 如图所示，是的直径，是过中点的弦，且．以为直径的半圆交于，的延长线交于，连结．若的半径为1，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，设与交于点；结合垂径定理得到点为以为直径的圆的圆心，进而得到为等腰直角三角形，求出；根据圆周角与圆心角的关系，得到为等腰直角三角形，进而求解即可. 【详解】连接，，设与交于点． 因为是的直径，，根据垂径定理可知，为的中点，所以点为以为直径的圆的圆心． 因为，以为直径的半圆交于，所以， 所以为等腰直角三角形，则，即. 在中， 是圆周角，是同弧所对的圆心角，所以． 所以为等腰直角三角形. 在 中，，所以 ． 8. 已知、、均为整数，且满足，则以、为两个根，且二次项系数为的一元二次方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将条件转为，再移项配方即可求出，，的值，从而得到所求一元二次方程的两个根，进而根据待定系数法即可求出该一元二次方程． 【详解】由，且、、均为整数， 则， 则， 则配方得， 则，，，解得，，， 令二次项系数为的一元二次方程为，且其两个根为，， 则，解得， 所以该一元二次方程为． 9. 已知一个三角形的周长和面积分别是､，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图所示），则这个三角形的内部没有被单位圆滚过的部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由图知，要求的面积有两部分: (1)三角形的内部被圆滚过的部分是个三角形，且与原三角形相似，已知了原三角形的周长和面积, 可求得原三角形的内切圆半径，进而可得三角形内部被圆滚过的三角形的内切圆半径，即可得到两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质可求得此三角形的周长和面积;(2)三角形边界的三个角的面积: 连接单位圆的圆心和原三角形的三顶点，先求得构成的6个小直角三角形的面积，而3个扇形正好构成一个圆，由此可得原三角形边界三个角的面积;综合(1)(2)的面积，即可得所求的值. 【详解】如图，设的内切圆半径为,的内切圆半径为; 依题意有:，即; 半径为1的圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置， , , ; 由题意得，被圆滚过的三角形内部的三角形也和相似，且其内切圆半径为:，即其面积为; 由图知:，同理； ； ， 所求面积为. 10. 已知实数、、满足，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，，则将问题转化为求的最小值， 令每个绝对值内部的代数式等于，从而得到条分界直线，再根据一次解析式的最值只能出现在区域的边界交点处取得，进而用枚举法即可求出的最小值． 【详解】设，则，令，， 则， 令每个绝对值内部的代数式等于，则得到以下条分界直线， ：，：，：，：， 这条直线把平面分割成若干区域，且在任意一个区域内部，每个绝对值里面代数式正负固定， 所以目标函数可化为关于、的一次解析式，且一次解析式的最值只能出现在区域的边界交点处， 则交点，解得，，此时； 交点，解得，，此时； 交点，解得，，此时； 交点，解得，，此时； 交点，解得，，此时； 交点，解得，，此时． 综上，的最小值为． 二､选择题（本大题满分16分）本大题共有题，每题分，每题有且只有一个正确选项． 11. 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的定义： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形； 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． A选项：该图形沿箭头所在的直线折叠，两旁部分能够重合，是轴对称图形； 绕中心旋转后，箭头方向改变，不能与原图形重合，不是中心对称图形．符合题意； B选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形．不符合题意； D选项：该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形．不符合题意． 12. 给出下列三个命题：①在实数范围内，一元二次方程的根为；②在中，若，则是锐角三角形；③若､､是的三边，､､是的三边，若､､，则的面积大于的面积．其中假命题的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】逐一验证三个命题的真假，统计假命题的总个数即可求解. 【详解】判断命题①：一元二次方程要求二次项系数，且在实数范围内，仅当判别式时，方程才有实根，若则无实根，因此命题①为假命题。 判断命题②：由余弦定理，仅能推出为锐角，无法保证三个内角均为锐角， 例如三边长为，满足，但边长为10的边对应的内角为钝角，为钝角三角形，因此命题②为假命题。 判断命题③：三角形面积由边长和内角共同决定，边长更大的三角形若内角接近或，面积可能更小， 例如边长为的三角形，底边上的高为， 所以面积约为， 边长全为9的等边三角形面积为，满足三边均更大但面积更小，因此命题③为假命题。 综上，3个命题均为假命题，假命题的个数是3。 13. 已知三个非负实数､､满足和，则的最小值和最大值分别是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用表示及目标代数式，再利用确定范围，利用不等式性质可得答案. 【详解】由题可得，从而，. 由题可得，从而，则. 14. 设表示不大于的最大整数，方程的实数解有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 至少4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用结合题设可得，然后分类讨论可得答案. 【详解】因，则，由不等式性质并整理可得： ，结合，可得. 若，则，此时， ，不在范围内； 若，则，此时， ，在范围内； 若，则，此时， ，在范围内； 若，则，，在范围内. 综上可得方程有3个实数解. 三､解答题（本大题共有4题）本大题满分48分，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 15. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示， （1）求图中阴影部分的面积，并说明实际意义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数关系式. 【答案】（1）220，阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为220km （2） 【解析】 【分析】（1）根据速度、时间、路程之间的关系，结合面积公式，可得答案； （2）根据速度、时间、路程之间的关系，结合分段函数的定义，可得答案. 【小问1详解】 由已知中的图象可得，阴影部分的面积为. 由图象表示辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系故图象的面积表示汽车行驶的路程， 阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为220km. 【小问2详解】 根据图示，三个小时内的速度分别为50，80，90， 故有. 16. 如图，是的直径，与相切于点，且连接，过点作于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）连接交于点，交于点若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由直径, 得, 再证明, 最后全等三角形的判定定理得结论;（2）连接, 求得的长度, 由勾股定理求得、的长度, 再由求得，再由勾股定理求得的长度，便可求得. 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ， ， 是的切线， ， ， 在和中， ， （）； 【小问2详解】 解：连接，如图， ，， ， ， ，， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， 是的直径， ，即， ，， ， ． 17. 对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． （1）证明：必在和之间； （2）试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； （3）请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 【答案】（1）证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间. （2）比更接近于； （3），理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 则，因， 故，即，即比更接近于，故更接近. 【解析】 【分析】（1）利用两个数与的差的符号异号即可证明夹在两数之间；（2）根据题目的定义，等价于两式作商，去掉绝对值比较，判断绝对值的大小关系，绝对值更小的那个数就更接近于即可；（3）参考第（1）问的构造思路，仿照的分式构造形式，再构造一个新的正有理分式；计算它与差的绝对值，证明这个绝对值比第（2）问得到的更小，即可满足更接近的条件. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 因，故，即，即比更接近于； 【小问3详解】 略 18. 如图所示，抛物线与轴交于点､，且经过点． （1）求抛物线的表达式和该抛物线的对称轴方程； （2）在轴上方的抛物线上任取一点，射线､分别与抛物线的对称轴交于点､，点关于轴的对称点为，求证：的面积为定值，并求出该定值； （3）点是轴上一动点，当最大时，求的坐标． 【答案】（1），对称轴方程为； （2） 如图1，当点N在对称轴右侧时，可设，则， 分别设直线的解析式为，直线的解析式为， 分别联立， 解得， 所以直线的解析式为①， 直线的解析式为②； 将代入①，得， 代入②，得， ， 因的长为， 为定值； 如图2，当点N在对称轴左侧时，可设，则， 同法计算可得：， 因的长为， . 综上所述： ，恒为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入点的坐标，确定值即可； （2）设，直线的解析式为，直线的解析式为，表示出的坐标，进而计算即可； （3）当是轴与经过三点的圆的切点时最大，计算即可. 【小问1详解】 抛物线与轴交于点､， 可设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，当的外接圆与相切，切点为时，最大，理由如下： 设外接圆的圆心为，是异于点的一点，连接，交圆于点， 则，根据三角形外角性质，得，故，所以最大. 设与圆交于点，连接，则， 作直径，连接， ， ，， ， ， ， ，即（*）， 设，则， 代入（*）得，， 过点E作，垂足为，过点C作，垂足为，交于点， 根据垂径定理得，四边形是矩形， 根据，得， ， ， 在直角三角形中，， 整理得，设，则得 解得， 则(舍) ， 故， 所以当最大时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $