精品解析：上海市川沙中学2026-2027学年高一上学期诊断测试数学试卷

川沙中学2029届新高一数学诊断测试卷 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、学号． 3．考试时间：90分钟，总分：100分． 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，， 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：，已知， 当时，，此时，故C错误； 对于D：，已知， 当时，，此时，故D错误． 2. 不论实数取什么值，点一定不在第（ ）象限． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，，此时点位于第二象限； 当时，，，此时点位于第一象限； 当时，，，此时点位于第四象限. 当时，点位于轴的正半轴上； 当时，点位于轴的正半轴上. 故不论实数取什么值，点一定不在第三象限. 3. 是2的倍数，是6的倍数，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】判断与之间的双向推出关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.  【详解】若满足，即是6的倍数，则必为2的倍数，即满足，因此，故是的必要条件； 若满足，即是2的倍数，如，此时不是6的倍数，不满足，因此，故不是的充分条件. 综上，是的必要不充分条件. 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 5. 如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点到上的点的距离的最大值转化为点到圆心的距离的最大值与半径之和，通过分析圆心的运动范围确定其最远位置. 【详解】设上任意一点为，连接并延长交于点， 此时取得最大值，且，其中为的半径． 要使最大，只需最大． 因为在正方形内平移，且半径为1， 所以圆心到正方形四条边的距离均不小于1． 由正方形的对称性可知，当与边、同时相切时，圆心距离点最远． 如图，设与、分别相切于点、，连接、、、． 因为四边形是正方形，边长为4， 所以，且平分． 因为与、相切， 所以，，且． 又因为， 所以四边形为正方形， 所以． 因为点在上， 所以． 所以点到上的点的距离的最大值为． 6. 高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由条件画出函数的图象，表示恒过的直线，结合函数与函数有且仅有三个交点求实数的取值范围. 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 所以函数的图象如图所示，函数表示恒过的直线， 若方程有三个不同的实根，则函数与函数有且仅有三个交点， 由图可得，当直线过点时，；当直线过点时，； 当直线过点时，；当直线过点时，； 则实数的取值范围是或，故选D. 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可 【详解】利用平方差公式， 8. 已知函数，那么___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以. 9. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得函数定义域. 【详解】由题，且，则定义域为：. 故答案为： 10. 已知，，那么___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用二元一次方程组求解的值，然后计算的值即可. 【详解】已知，则代入，可得，解得. 将代入可得， 所以. 11. 如图，点是的重心，过点且平行于，点、分别在、上，设，，那么________．（用、表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1），求得与的数量关系，然后根据，可得与、的数量关系． 【详解】解，连接，并延长交于点， ∵，∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 关于的不等式组的整数解有且只有和，那么适合这个不等式组的整数对共有___________对． 【答案】 6 【解析】 【分析】解不等式组，根据不等式组的解确定整数，即可得解. 【详解】由有解可得， 又关于的不等式组的整数解有且只有和， 所以，解得且，又， 所以，， 所以适合这个不等式组的整数对共有对. 13. 如图，中的一边与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边、分别与刻度尺的另一边交于点、，点、、、在刻度尺上的读数分别为、、、，如果刻度尺的宽度为，那么的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线性质证得三角形相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比求出三角形的高，最后利用面积公式求解即可． 【详解】由题意可知，，． 因为， 所以，，所以． 过点作于点，交于点． 因为，， 所以． 由题意知，． 设，则． 因为， 所以， 即， 解得． 所以的面积． 14. 在一个口袋中装有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，．现从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为、，则使得反比例函数经过一、三象限的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数性质得出，再利用列举法计算所求概率即可. 【详解】易知对于反比例函数，当且仅当时，其图象经过第一、三象限，因此本题需满足； 从4个小球中随机摸出2个，所有等可能的基本事件共种，分别为； 其中满足的组合为，共4种； 因此所求概率为. 15. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质、勾股定理逆定理及锐角三角函数的定义，通过辅助线构造直角三角形，由直角三角形直接求解角的正切值。 【详解】连接，因为的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， 所以，， 在中，，，， 因为， 所以为直角三角形，且，即， 在中，, 在中，， 所以. 16. 已知直线与轴，轴交于点，（为正整数），记为在对应时的面积大小，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线与轴、轴的交点坐标，推导三角形面积的表达式，再利用裂项公式计算前2023项的和. 【详解】已知为正整数，即，对于直线， 令，代入直线方程得，解得，即，故； 令，代入直线方程得，即，故. 由于为直角三角形，由面积公式得. 由裂项公式，可得 . 三、解答题（本大题共5题，共52分．） 17. 某学校在课外活动时间开展了“人工智能学习兴趣小组”，为了解学生学习情况，学校教科室负责人从兴趣小组内随机抽取了部分学生进行质量检测，并将其成绩（成绩为百分制，用表示）分成如下四组：，，，．并绘制了频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知在这一组的学生质量检测成绩如下： 、、、、、、、、、、、、、、. 请根据以上信息，完成下列问题： （1）成绩在这一组的有多少名学生？ （2）成绩在这一组的学生人数占总抽取人数的百分比是多少？ 【答案】（1）成绩在这一组的有名学生 （2）成绩在这一组的学生人数占总抽取人数的百分比是 【解析】 【分析】（1）求出学生的总人数，再确定成绩在、、这三组的学生人数，即可求得成绩在这一组的学生人数； （2）利用成绩在这一组的学生人数除以总抽取人数即可得解. 【小问1详解】 因为成绩在这一组的学生人数为人，成绩在这一组的频率为， 所以抽取的学生总人数为人， 由题中信息可知，成绩在这一组的学生人数为人， 由频数直方图可知，成绩在的学生人数为人， 故成绩在这一组的学生人数为人. 【小问2详解】 由（1）可知，成绩在这一组的学生人数占总抽取人数的百分比为. 18. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解； （2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解. 【小问1详解】 若，由，解得，则， 又，即等价于，解得， 则， . 【小问2详解】 由等价于， 当时，集合，符合； 当时，由，解得， 即，又， ，解得， 综上，实数的取值范围是. 19. 如图，在四边形中，为一条对角线，，，，为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若平分，，求的长． 【答案】（1）略 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证明出与，四边形即为平行四边形，又证明，则四边形为菱形得证； （2）由平分和，可陆续推导出，，，最后在中，余弦定理可求出长. 【小问1详解】 为的中点， ; 又，； ， 四边形为平行四边形， ，为的中点，; , 四边形为菱形. 【小问2详解】 平分， ； ， ， ， ， ， ，为的中点， ； ； 在中，， ， . ， ， 在中，，，； 根据余弦定理： ； 即. 20. 在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴交于点、，其中点的坐标为，与轴交于点．抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一点，且点在第二象限，如果点到轴的距离与它到直线的距离相等，求点的坐标； （3）抛物线上有一点，直线恰好经过的重心，求点到轴的距离． 【答案】（1）抛物线的表达式为；点的坐标为. （2）点的坐标为. （3）或. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线可得的值；利用抛物线的表达式可得顶点的坐标. （2）设，过作，交于点，利用和中即可求解出的值. （3）利用坐标求出的重心，即可求直线，再利用直线与抛物线联立可求点的坐标，即可求点到轴的距离. 【小问1详解】 将代入抛物线得. 将代入抛物线得，则. 所以抛物线的表达式为. 抛物线的对称轴为， 将代入抛物线得. 所以点的坐标为 【小问2详解】 对称轴是直线，在对称轴上，且在第二象限，设. 所以点到轴的距离为. 又因为，所以. 令即，解得或.所以. 如图，设抛物线对称轴与轴交于点.过作，交于点. 在中，，则，所以. 在中，，，即，解得. 所以点的坐标为. 【小问3详解】 的重心，即. 直线过点，则斜率，直线为. 联立方程得 ，解得或. 所以点或. 所以点到轴的距离为或. 21. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川沙中学2029届新高一数学诊断测试卷 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、学号． 3．考试时间：90分钟，总分：100分． 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 不论实数取什么值，点一定不在第（ ）象限． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 是2的倍数，是6的倍数，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 分解因式：___________． 8. 已知函数，那么___________． 9. 函数的定义域为______． 10. 已知，，那么___________． 11. 如图，点是的重心，过点且平行于，点、分别在、上，设，，那么________．（用、表示） 12. 关于的不等式组的整数解有且只有和，那么适合这个不等式组的整数对共有___________对． 13. 如图，中的一边与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边、分别与刻度尺的另一边交于点、，点、、、在刻度尺上的读数分别为、、、，如果刻度尺的宽度为，那么的面积是___________． 14. 在一个口袋中装有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，．现从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为、，则使得反比例函数经过一、三象限的概率为______． 15. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是___________． 16. 已知直线与轴，轴交于点，（为正整数），记为在对应时的面积大小，则___________． 三、解答题（本大题共5题，共52分．） 17. 某学校在课外活动时间开展了“人工智能学习兴趣小组”，为了解学生学习情况，学校教科室负责人从兴趣小组内随机抽取了部分学生进行质量检测，并将其成绩（成绩为百分制，用表示）分成如下四组：，，，．并绘制了频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知在这一组的学生质量检测成绩如下： 、、、、、、、、、、、、、、. 请根据以上信息，完成下列问题： （1）成绩在这一组的有多少名学生？ （2）成绩在这一组的学生人数占总抽取人数的百分比是多少？ 18. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 19. 如图，在四边形中，为一条对角线，，，，为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若平分，，求的长． 20. 在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴交于点、，其中点的坐标为，与轴交于点．抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一点，且点在第二象限，如果点到轴的距离与它到直线的距离相等，求点的坐标； （3）抛物线上有一点，直线恰好经过的重心，求点到轴的距离． 21. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $