精品解析：陕西省西安高新第一中学博雅班2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题

九年级综合素质考核 数学 （总分120分 用时110分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察函数图象，确定点的坐标，根据函数值找出对应的图象部分，进而确定的范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即不等式的解集为． 3. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，若，，，阴影部分的面积为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平移的性质可得，，，则，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由平移的性质可得，，， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴． 4. 关于x的方程解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再根据解为非负数，且分式分母不为，列不等式求解得到的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 方程两边同乘去分母得：， 整理得，， 移项合并得，， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为， ∴， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴的取值范围是且． 5. 如图，在中，，．点D是的中点，，过点D作交于点E，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出和的长，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出 的长 ． 【详解】解： 在  中，，， 是  的中点 ， ，， ， ， ， 又 ， ， ， ∵， ∴， ． 故选： D． 6. 如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的性质得出，，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据的周长为，求出，利用勾股定理求出，进而求出，根据三角形中位线的性质即可求出的长． 【详解】解：∵正方形中，对角线与相交于点， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 7. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 8. 如图，等腰内接于，点为左侧圆周上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得到的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 二．填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如解图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点，证明，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，进行求解即可. 【详解】解：如图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点， ∵点，横杆两端的坐标分别为，， ∴，轴， ∴，，，， ∴， ∴. 11. 已知点，，在抛物线的图像上，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 抛物线开口向下，对称轴为，通过比较各点与对称轴的距离确定y值大小关系． 【详解】解：由解析式得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小， 对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点B，点C是x轴负半轴上一点，连接、，交y轴于点D，若，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】先证明，由相似三角形的性质和面积比得出，设，则，，再由，求出，即可得出点A的坐标，进而可求出k的值． 【详解】解：∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵和同高， ∴ ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵点A在反比例函数， ∴． 13. 如图，等腰△ABC中，，D是AB上一点，，，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M，证明△TDF≌△BED（SAS），推出BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，TM＝FM＝，再利用直角三角形30度角的性质求出AT即可解决问题． 【详解】解：如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M． ∵AB＝AC，∠BAC＝150°， ∴∠B＝∠ACB＝15°， ∵∠TDE＝∠B+∠DEB＝∠TDF+∠EDF，∠EDF＝∠B＝15°， ∴∠TDF＝∠BED， ∵DT＝EB，DF＝DE， ∴△TDF≌△BED（SAS）， ∴BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°， ∵∠TFC＝∠TAF+∠ATF＝45°，TM⊥FM， ∴TM＝FM＝， 在Rt△ATM中，∵∠TAM＝30°， ∴AT＝2TM＝， ∴BE＝DT＝AD+AT＝1+， 故答案为1+． 【点睛】本题考查旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三．解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据配方法求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ， ，． 15. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，然后把不等式的解集在数轴上表示出来，再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． 图略 16. 先化简，再从，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式化简，再代入求值即可，熟练掌握计算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ； 根据分式有意义的条件，x不能为，0， 当时，原式． 17. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点、、、均为网格线的交点． （1）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的相似比为． （2）的面积为_____． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质画出图形即可； （2）利用割补法计算即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 故答案为：． 18. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多40元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“双十二”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为100元，航海模型的单价为60元； （2）购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用等知识． （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的，据此列方程，解方程并检验即可； （2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型个，由航空模型数量不少于航海模型数量的得到，根据题意得，根据一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是方程的解，也符合题意， ∴， ∴航空模型的单价为元，航海模型的单价为元； 【小问2详解】 设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型个， ∵航空模型数量不少于航海模型数量的， ∴， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，W取最小值，最小值为， 此时， ∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少。 19. 如图，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点，分别为，的中点． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长度． 【答案】（1）证明：∵点，分别为，的中点，点，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， ∴四边形为平行四边形， ． （2） 【解析】 【分析】（1）运用三角形的中位线定理得到，，，，则，，再利用平行四边形的判定和性质得到； （2）根据点D是的中点，和（1）中的结论求出和，再用勾股定理求，从而利用点G是的中点求出的长度． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：， ． ∵点是的中点，点是的中点， ，． 由（1）可知，． 在中， 由勾股定理，得， ． 20. 如图，在等腰中，，为边上的中点，将延长至点，使得，过点作于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵点为边上的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由点为边上的中点及，可得四边形是平行四边形，再由即可证明； （2）由勾股定理求得，进而求得，再由勾股定理求得，从而得，再由勾股定理求得，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴． 21. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根， （1）求k的取值范围； （2）该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得，，然后将其代入列出关于k的方程，通过解方程来求k的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，，． ， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得， ， ． 22. 如图，在中，在延长线上取一点P，连接交于点E，且 （1）求的值． （2）若的面积为9，求的面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质证明，由此即可求解； （2）根据题意得到，证明，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴，即的面积为16． 23. 西安、南京、北京、洛阳是中国四大古都．小丽和家人计划暑假从A．西安、B．南京、C．北京、D．洛阳这四大古都中随机选择两个游玩，她准备了四张除正面所印古都不同外，其余完全相同的卡片（如图所示），将其背面朝上洗匀放置在桌面上，小丽先从四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张． （1）“小丽抽取的卡片正面是上海”是________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）用列表或画树状图的方法，求小丽抽取的两张卡片正面恰好是A．西安和C．北京的概率．（不分先后顺序） 【答案】（1）不可能 （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中小丽抽取的两张卡片正面恰好是A．西安和C．北京的结果有2种， 小丽抽取的两张卡片正面恰好是A．西安和C．北京的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接根据事件的定义分析求解，即可解题； （2）根据题意画出树状图，得到总共有12种等可能的结果，以及其中小丽抽取的两张卡片正面恰好是A．西安和C．北京的结果数，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：四张卡片正面分别是西安、南京、北京、洛阳，没有上海， “小丽抽取的卡片正面是上海”是不可能事件； 【小问2详解】 略 24. 我国商业航天近几年蓬勃发展，年月日长征八号运载火箭在海南商业航天发射场成功发射千帆星座第九批组网卫星．下图是长征八号运载火箭从处发射，当火箭到达点、时，在雷达站处测得点、的仰角分别为、，其中点、、在同一条直线上，、两点间的距离是． （1）求发射地距雷达站的距离； （2）事实上，火箭发射前期近地面阶段（距地面米以内称为近地面），为了克服地球引力，都是加速飞行，近地面的加速度，此时火箭速度变化满足，其中是指初始时刻的速度，是指经过秒后的瞬时速度，火箭飞行距离满足公式：．求火箭到达点时的速度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）发射地距雷达站的距离为 （2）火箭到达点时的速度约为 【解析】 【分析】（1）利用三角函数可得，，再进一步求解即可． （2）利用求解，进一步利用计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ，，，， ∴，， ∴， 解得：， ∴发射地距雷达站的距离为； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∵， ∴， 解得：（负根舍去）， ∵， ∴， ∴火箭到达点时的速度约为． 25. 如图，在中，以为直径作交边于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若的直径为10，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由圆的基本性质以及等边对等角可得，再利用切线的性质、圆周角定理以及同角的余角相等可得，最后利用等量代换即可证明结论； （2）由圆的基本性质可得，利用正弦的定义可得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵的直径为10， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 26. 如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，过点作交轴于点，与抛物线的另一交点为． （i）求点的坐标； （ii）点为直线下方抛物线上一动点，直线交轴于点，设点的横坐标为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）令可求，求出点，由可求点，运用待定系数法可求出函数解析式； （2）（i）设直线的解析式为，运用待定系数法求出的函数表达式为，直线的函数表达式为，把代入解析式求出，得直线的函数表达式为，联立方程组，求出方程组的解即可得出点的坐标是： （ii）设直线的函数表达式为，代入，，得，求出，，可得．根据三角形面积公式得，运用二次函数性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ， 由图象可知点B在点A的右侧， 点， 把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：（i）设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的函数表达式为， 点在直线上． ，解得 直线的函数表达式为， 令，解得， 当时，． 点的坐标是： （ii）点为直线下方抛物线上一动点， 设且． 设直线的函数表达式为 把，代入直线的函数表达式得： ． 得，， ， ， 对于直线，当时，， ∴， ． ． 当时，面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级综合素质考核 数学 （总分120分 用时110分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，若，，，阴影部分的面积为，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的方程解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，在中，，．点D是的中点，，过点D作交于点E，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰内接于，点为左侧圆周上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解_____． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 11. 已知点，，在抛物线的图像上，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点B，点C是x轴负半轴上一点，连接、，交y轴于点D，若，则k的值为______． 13. 如图，等腰△ABC中，，D是AB上一点，，，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为________________． 三．解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 16. 先化简，再从，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 17. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点、、、均为网格线的交点． （1）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的相似比为． （2）的面积为_____． 18. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多40元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“双十二”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 19. 如图，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点，分别为，的中点． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长度． 20. 如图，在等腰中，，为边上的中点，将延长至点，使得，过点作于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 21. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根， （1）求k的取值范围； （2）该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 22. 如图，在中，在延长线上取一点P，连接交于点E，且 （1）求的值． （2）若的面积为9，求的面积． 23. 西安、南京、北京、洛阳是中国四大古都．小丽和家人计划暑假从A．西安、B．南京、C．北京、D．洛阳这四大古都中随机选择两个游玩，她准备了四张除正面所印古都不同外，其余完全相同的卡片（如图所示），将其背面朝上洗匀放置在桌面上，小丽先从四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张． （1）“小丽抽取的卡片正面是上海”是________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）用列表或画树状图的方法，求小丽抽取的两张卡片正面恰好是A．西安和C．北京的概率．（不分先后顺序） 24. 我国商业航天近几年蓬勃发展，年月日长征八号运载火箭在海南商业航天发射场成功发射千帆星座第九批组网卫星．下图是长征八号运载火箭从处发射，当火箭到达点、时，在雷达站处测得点、的仰角分别为、，其中点、、在同一条直线上，、两点间的距离是． （1）求发射地距雷达站的距离； （2）事实上，火箭发射前期近地面阶段（距地面米以内称为近地面），为了克服地球引力，都是加速飞行，近地面的加速度，此时火箭速度变化满足，其中是指初始时刻的速度，是指经过秒后的瞬时速度，火箭飞行距离满足公式：．求火箭到达点时的速度．（参考数据：，，，） 25. 如图，在中，以为直径作交边于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若的直径为10，，求的长． 26. 如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，过点作交轴于点，与抛物线的另一交点为． （i）求点的坐标； （ii）点为直线下方抛物线上一动点，直线交轴于点，设点的横坐标为，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $