精品解析：陕西西安市新城区2026- 2027 学年度第一学期九年级摸底测试数学试卷

2026~2027学年度第一学期九年级摸底测试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间100分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、年级、姓名、座位号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条垂直平分线的交点处 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，点D为的中点，点E在上，且，连接，点F为的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　） A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D. 方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：____________． 10. 剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，如图是正八边形窗花剪纸作品，这个正八边形每个外角的度数为____________． 11. 某校机器人社团计划购买一套新的传感器模块用于备赛，社团已筹集到120元资金，并决定剩下的费用从社团经费中节省获得，且从本月起每月从社团经费中节省50元，直到总费用不少于500元．设社团节省经费的时间为个月，则可列不等式为____________________．（不必化简） 12. 如图，已知四边形是菱形，连接，过点分别作于点于点，连接，若，则菱形的面积为_____． 13. 若关于的分式方程有增根，则的值是__________． 14. 如图，在中，对角线、相交于点，，是边的中点，、为边上的点（在左侧），连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为____________． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 16. 解不等式组：并写出该不等式组的所有整数解． 17. 如图，画出几何体的主视图、俯视图和左视图． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得点D到边，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 21. 2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． （1）甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 22. 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； （2）将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 23. 已知：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且∠CED=30°． （1）求证：DB=DE． （2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=3，求△ABC的周长． 24. 2026年上半年中国人形机器人全球出货量占比超97%，人工智能、机器人、创新药组成的“新新三样”，成为中国外贸最新名片．某公司计划采购甲、乙两种机器人共50台，已知甲种机器人的单价为60万元/台，乙种机器人的单价为65万元/台．设甲种机器人的购买数量为台，购买两种机器人的总花费为万元． （1）求关于的函数表达式； （2）若甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购买甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 25. 【初步感受】 （1）如图1，在正方形中，点、、分别是、、边上的点，连接、．若，垂足为．将沿方向平移到，连接．求证：； 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，点、、分别是、、边上的点，连接、，，垂足为．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，王叔叔家有一个矩形菜地，他计划对其进行改造，点、分别在、边上，在改造的过程中始终要满足，连接，过点作交边于点，垂足为．他计划在四边形区域内种植茄子，在四边形区域内种植西红柿，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，米，为了控制成本，要求灌溉水渠（）的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠（）总长度的最小值．（水渠宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期九年级摸底测试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间100分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、年级、姓名、座位号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：分式有意义时分母不为0，故， 解得． 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 3. 如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等成为解题的关键． 由发射塔到三个村庄的距离相等，即其在三边的垂直平分线的交点上，据此即可解答． 【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意； B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意； C．三角形高的交点为垂心，不符合题意； D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，符合题意． 故选D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 5. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项添加条件结合正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， A、当时，则矩形是正方形，不符合题意； B、当时，则， ， ， 矩形是正方形，不符合题意； C、当时，则矩形是正方形，不符合题意； D、当时， 则， 则，矩形不是正方形，符合题意． 6. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图象可得，当时，直线的图象在直线的图象上方， ∴关于的不等式的解集为． 7. 如图，中，，点D为的中点，点E在上，且，连接，点F为的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线的性质求出，再利用直角三角形斜边中线的性质求出． 【详解】解：是的中点，F是的中点， ， ， ，点D为的中点， ． 8. 某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　） A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D. 方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得x表示篮球的数量时，单价分别表示为，根据单价相同建立方程；x表示篮球的单价，分别表示出篮球的数量为，建立方程即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【详解】解：设购买x个篮球，单价分别表示为，根据单价相同建立方程； 设篮球的单价为x，分别表示出篮球的数量为，建立方程． 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，如图是正八边形窗花剪纸作品，这个正八边形每个外角的度数为____________． 【答案】45 【解析】 【分析】多边形的外角和是固定值，正八边形有8个相等的外角，用外角总和除以外角的个数，就能求出单个外角的度数． 【详解】解：任意多边形的外角和都为，正八边形的外角数量为8个，且8个外角度数全部相等，因此每个外角的度数：． 11. 某校机器人社团计划购买一套新的传感器模块用于备赛，社团已筹集到120元资金，并决定剩下的费用从社团经费中节省获得，且从本月起每月从社团经费中节省50元，直到总费用不少于500元．设社团节省经费的时间为个月，则可列不等式为____________________．（不必化简） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据总费用不少于500元的不等关系，结合已有费用和个月节省的费用列出不等式即可． 【详解】解：由题意可知，已有费用120元，个月节省的费用为元，要求总费用不少于500元，因此可列不等式为． 12. 如图，已知四边形是菱形，连接，过点分别作于点于点，连接，若，则菱形的面积为_____． 【答案】80 【解析】 【分析】连接，证明四边形是矩形，得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 13. 若关于的分式方程有增根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先解分式方程，再由增根的定义得出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 去分母得， ， 关于的分式方程有增根， ，即， ，解得． 14. 如图，在中，对角线、相交于点，，是边的中点，、为边上的点（在左侧），连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】30 【解析】 【点睛】连接，，，依据是的中位线，即可得出，，进而得到四边形是平行四边形，据此可得，求得的面积即可得出结论． 【详解】解：连接，，，过点A作于H， ∵平行四边形中，对角线相交于点O， ∴O是的中点， 又∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵O是的中点， ∴ ， ∴阴影部分的面积为30． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，首先把提出一个负号得到：原式，把整体作为公因式提出来可得原式，然后再利用平方差公式把分解因式即可． 【详解】解： ． 16. 解不等式组：并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，整数解是，0，1 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出其整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的整数解是，0，1． 17. 如图，画出几何体的主视图、俯视图和左视图． 【答案】 画出该几何体的主视图、俯视图和左视图如下： 【解析】 【分析】本题考查了画三视图（ 画简单组合体的三视图），熟练掌握几何体三视图的画法是解题的关键． 按照几何体三视图的画法画出该几何体的主视图、俯视图和左视图即可． 【详解】略 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法进行计算即可； （2）利用公式法进行计算即可． 【小问1详解】 解：原方程变形为， 即， ． ． ，； 【小问2详解】 解：原方程变形为， ，，． ， ， ，． 19. 如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得点D到边，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点D为所作． 【解析】 【分析】本题考查的是作角平分线，理解D是与的交点，再作的角平分线即可． 【详解】略 20. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 【答案】 证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． ∴， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明，再根据证明可得，最后根据等角对等边即可证明结论． 【详解】略 21. 2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． （1）甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选到同一地点的结果有4种， 甲、乙两名同学选到同一地点的概率为． 22. 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； （2）将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： 点的坐标为 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且∠CED=30°． （1）求证：DB=DE． （2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=3，求△ABC的周长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠ABC=∠ACB=60°． ∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）． 又∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， ∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°． ∴∠DBC=∠DEC． ∴DB=DE（等角对等边）； （2）36. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE； （2）根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半DC=6，AC=12，即可求得△ABC的周长． 试题解析： （1）略 （2）解： ∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°， ∴∠CDF=30°， ∵CF=3， ∴DC=6， ∵AD=CD， ∴AC=12， ∴△ABC的周长=3AC=36． 24. 2026年上半年中国人形机器人全球出货量占比超97%，人工智能、机器人、创新药组成的“新新三样”，成为中国外贸最新名片．某公司计划采购甲、乙两种机器人共50台，已知甲种机器人的单价为60万元/台，乙种机器人的单价为65万元/台．设甲种机器人的购买数量为台，购买两种机器人的总花费为万元． （1）求关于的函数表达式； （2）若甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购买甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1） （2）购买甲种机器人33台时花费最少，最少费用为3085万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，用字母表示出两种机器人的购买数量，再用成本数量单价进行表示即可． （2）根据题干列出不等式，求出自变量的取值范围，再结合一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：甲种机器人的购买数量为台，则乙种机器人的购买数量为台， 由题意得，， 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 由题意得，，解得， 为正整数， 的最大值为33， 在中，， 随的增大而减小， 当时，取最小值，， 答：该公司购买甲种机器人33台时花费最少，最少费用为3085万元． 25. 【初步感受】 （1）如图1，在正方形中，点、、分别是、、边上的点，连接、．若，垂足为．将沿方向平移到，连接．求证：； 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，点、、分别是、、边上的点，连接、，，垂足为．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，王叔叔家有一个矩形菜地，他计划对其进行改造，点、分别在、边上，在改造的过程中始终要满足，连接，过点作交边于点，垂足为．他计划在四边形区域内种植茄子，在四边形区域内种植西红柿，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，米，为了控制成本，要求灌溉水渠（）的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠（）总长度的最小值．（水渠宽度忽略不计） 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，，， 将沿方向平移到， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴、、、在一条直线上， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，的中点，连接，将沿方向平移到，连接， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ，点是的中点，点是的中点， ，，是的中位线， ， ， ， ， ； （3）米 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）取的中点，的中点，连接，将沿方向平移到，连接，同理（1）可得，，即可得结论； （3）过点作，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是平行四边形，，，取的中点，的中点，同理（2）可得，，在中，可得，则，在中，可得，再由，即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点作，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是平行四边形， ，， ， 当、、在一条直线上时，取得最小值，最小值为的长． 四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， ， ， 取的中点，的中点，连接， 则，，是的中位线， ∴，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， 的最小值为米， 故灌溉水渠（）总长度的最小值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $