第五章二次函数单元测试题2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为北师大版九年级数学上册二次函数单元测试，通过基础概念辨析与生活情境应用结合，全面考查二次函数定义、图像性质及实际问题解决，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义（题2）、图像开口方向（题1）、对称轴（题3）|结合足球运动轨迹（题5）考查图像直观，体现几何直观| |填空题|8/24|顶点坐标（题13）、最值应用（题16矩形面积）|以篱笆围场（题15）渗透模型意识，强化应用能力| |解答题|7/66|表达式求解（题19三点求解析式）、利润问题（题23销售建模）|通过实心球投掷轨迹（题22）、商品销售利润（题25）综合考查运算能力与推理能力，贴合真题命题趋势|

2026-2027学年九年级数学上册第五章二次函数单元测试题北师大版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）若抛物线y＝（m﹣2）x2﹣x+1的开口向上，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m≠2 D．m≠0 2．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c C． D．y﹣2x2＝x+1 3．（3分）对于抛物线y＝2x2﹣4x+5，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 C．抛物线的顶点坐标为（1，3） D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 4．（3分）若点A（﹣3，a），B（1，b）都在抛物线y＝2x2上，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定 5．（3分）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx+m的图象大致可能是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）若二次函数y＝ax2+4x+a的最小值是3，则a的值是（　　） A．4 B．﹣1或3 C．3 D．4或﹣1 8．（3分）某商店将进价为每件80元的商品按每件100元出售，每天可售出20件，为了提升销量，决定降价促销，已知每件降价1元，每天可多售2件，设每件降价x元，每天的利润为y元，则y与x的关系式为（　　） A．y＝（20+x）（20+2x） B．y＝（20﹣x）（20﹣2x） C．y＝（100﹣x﹣80）（20+2x） D．y＝（100﹣x）（20+2x） 9．（3分）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为h＝4.9t2（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（　　）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）已知抛物线y＝□x2+2x+1的对称轴为直线，则“□”内的数字应为　 　 ． 12．（3分）二次函数y＝（a﹣1）x2+2x+1开口向下，则a的取值范围是　 　 ． 13．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣3x+1的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）且1＜x1＜x2＜x3，则y1，y2，y3按从小到大排列为　 　 ． 14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（3，0），与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝1．则方程ax2+bx+c＝0的解是　 　 ． 15．（3分）用总长为60m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S（m2）与一边长l（m）之间的函数关系式为 　 　 ． 16．（3分）学校打算用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，小兔活动范围的最大面积是　 　 m2． 17．（3分）已知矩形ABCD的长与宽的和是6，把矩形绕AB旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积的最大值是　 　 ． 18．（3分）如图，直线y1＝mx+n与抛物线相交于点A（3，0），B（﹣2，5）．下面四个结论： ①m＜0； ②当﹣2＜x＜3时，ax2+bx+c＜mx+n； ③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝3； ④当时，函数值y2随着x的增大而减少． 其中所有正确结论的序号是　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1）．求这个二次函数的表达式． 20．（8分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为多少？ 21．（8分）已知二次函数y＝x2﹣x﹣2． （1）在如图所示的平面直角坐标系画出该二次函数的图象； （2）直接写出当0≤x≤3时，y的取值范围． 22．（10分）在刚刚结束的校运动会的实心球比赛中，小宇在决赛中，实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知实心球出手处A距离地面的高度是米，当实心球运行的水平距离为4米时，达到最大高度5米的B处．小宇此次投掷的成绩是多少米？ 23．（10分）某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，35≤x≤55，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价． 24．（10分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）． （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案） 25．（12分）某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少； （3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围． 参考答案 一．选择题 1．解：由题意， ∵抛物线y＝（m﹣2）x2﹣x+1的开口向上， ∴m﹣2＞0． ∴m＞2． 故选：A． 2．解：A、y＝2x+1是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意； B、y＝ax2+bx+c未明确a≠0，不一定是二次函数，故B不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故C不符合题意； D、将y﹣2x2＝x+1整理得y＝2x2+x+1，符合二次函数的定义，是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 3．解：y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3， A、抛物线的开口向上，故A不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线x＝1，故B不符合题意； C、抛物线的顶点坐标为（1，3），故C符合题意； D、当x＞1时，y随x的增大而增大，故D不符合题意； 故选：C． 4．解：由题知， 因为二次函数解析式为y＝2x2， 所以抛物线的开口向上，对称轴为y轴． 因为点A（﹣3，a），B（1，b）都在该抛物线上， 则0﹣（﹣3）＝3，1﹣0＝1且3＞1， 所以a＞b． 故选：A． 5．解：在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系为： 门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动， 即高度h先越来越大，再越来越小， 故选：A． 6．解：∵y＝mx+m＝m（x+1）， ∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、D不合题意； A、由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论一致，A选项符合题意； C、由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论矛盾，C选项不合题意； 故选：A． 7．解：∵二次函数y＝ax2+4x+a的最小值是3， ∴a＞0， y最小值＝＝3， 整理，得a2﹣3a﹣4＝0， 解得a＝4或﹣1， ∵a＞0， ∴a＝4． 故选：A． 8．解：根据题意可得：y＝（100﹣x﹣80）（20+2x）． 故选：C． 9．解：把h＝980代入h＝4.9t2中得：980＝4.9t2， ∴t2＝200， ∴t1＝，t2＝﹣（舍去）， ∴t＝≈14， ∴这段时间大约有14秒， 故选：A． 10．解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 二．填空题 11．解：由题知， 因为抛物线y＝□x2+2x+1的对称轴为直线， 所以， 解得□＝﹣3， 所以“□”内的数字应为﹣3． 故答案为：﹣3． 12．解：∵二次函数图象开口向下， ∴a﹣1＜0， 解得a＜1． 故答案为：a＜1． 13．解：∵a＝2＞0，抛物线开口向上， 抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵1＜x1＜x2＜x3，即三个点的横坐标都在对称轴右侧，满足x1＜x2＜x3， ∴y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 14．解：由图象知，对称轴为：x＝1， ∵抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为（3，0）， ∴另一个与x轴的交点为（﹣1，0）， ∴解是x1＝﹣1，x2＝3． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝3． 15．解：∵总长是60米， ∴一边长是l米，令一边是（30﹣l）米， 则S＝l（30﹣l）＝﹣l2+30l． 故答案为：﹣l2+30l． 16．解：设围成长方形的生物园的长为xm，则宽为（8﹣x）m，围成长方形的生物园的面积为Sm2， S＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16， ∴当x＝4时，S取得最大值，此时S＝16， 故答案为：16． 17．解：把矩形绕AB旋转一周得到一个几何体是圆柱体，设圆柱的底面半径是x，（0＜x＜6）所以周长＝2πx， S侧面积＝2πx×（6﹣x）+＝﹣2πx2+12πx＝﹣2π（x﹣3）2+18π， 所以S侧面积最大值为18π． 故答案为：18π． 18．解：直线y1＝mx+n经过第一、二、四象限， ∴m＜0， 故①正确； 由图象得：直线y1＝mx+n与抛物线相交于点A（3，0），B（﹣2，5），且当﹣2＜x＜3时，y1＞y2； 故②正确； ∵x＝﹣2时，y＝5， ∴x＝﹣2不是方程ax2+bx+c＝0的解， 故③错误； 由题意可知抛物线的对称轴在直线x＝的右侧， ∴当时，函数值y2随着x的增大而减少． 故④正确． 故答案为：①②④． 三．解答题 19．解：设这个二次函数的表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）， 把A（0，1），B（1，2），C（2，1）代入得： ， 把①代入②得：a+b＝1④， 把①代入③得：2a+b＝0⑤， ⑤﹣④得：a＝﹣1， 把a＝﹣1代入④得：b＝2， ∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+1． 20．解：设垂直于墙的材料长为x米， 则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x， 则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75， 故饲养室的最大面积为75平方米， 21．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣＝（x﹣2）（x+1）， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝，过点（，﹣），点（2，0），（﹣1，0），（3，4），（﹣2，4）， 函数图象如下所示， ； （2）由图象可得， 当0≤x≤3时，x＝时，取得最小值﹣，当x＝3时，取得最大值4， 即当0≤x≤3时，y的取值范围是﹣≤y≤4． 22．解：根据题意，点A的坐标为（0，），顶点为B（4，5）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+5， ∵点A（0，）在抛物线上， ∴a（0﹣4）2+5＝， 解得a＝﹣， ∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5， 令y＝0，则﹣（x﹣4）2+5＝0， 解得：x＝9或x＝﹣1（不合实际，舍去）， 答：小宇此次投掷的成绩是9米． 23．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（35，35），（50，20）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+70（35≤x≤55）； （2） 设：毛利润为w元，根据题意得：w=（x﹣30）（﹣x+70）=﹣x2+100x-2100 当w＝300时，﹣x2+100x-2100=300，整理得x2﹣100x+2400＝0， 解得：x1＝40，x2＝60（不符合题意，舍去）． 答：该商品销售单价为40元． 24．解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c得： 0＝1+m，， ∴m＝﹣1，b＝﹣3，c＝2， 所以y＝x﹣1，y＝x2﹣3x+2； （2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3． 25．解：（1）设y＝kx+b， 当25≤x≤35时，把（25，200），（35，100）代入得： ， 解得， ∴y＝﹣10x+450； 当35＜x≤50时，把（35，100），（50，40）代入得： ， 解得， ∴y＝﹣4x+240； 综上所述，y＝； （2）设销售利润为W元，则： ①当25＜x＜35时， W＝（x﹣25）（﹣10x+450）＝﹣10（x﹣35）2+1000， ∴x＝35 时，Wmax＝1000元； ②当35＜x＜50时， W＝（x﹣25）（﹣4x+240）＝﹣4（x﹣42.5）2+1225， ∵x为整数， ∴x＝42或43时，W取最大值，Wmax＝1224元， ∵1224＞1000， ∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元； （3）由（2）知，当25≤x≤35时，该商品每天的最大销售利润为1000元； ∴只有在35≤x≤50时，每天的销售利润才可能不低于1200元； ∴﹣4（x﹣42.5）2+1225≥1200， ∴40≤x≤45． 学科网（北京）股份有限公司 $