精品解析：湖南衡阳市第九中学2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题

2026．初三．九中．开学考 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 萍乡市芦溪县是全国知名的“中国电瓷之都”，是萍乡市重要的电瓷材料产业基地，某本土企业生产的高性能的电瓷产品，绝缘层超薄涂层的厚度约为微米．数据用科学记数法记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值小于的数的形式为，其中，为正整数． 【详解】解：． 2. 分式中的x、y同时扩大2倍，则分式值（ ） A. 不变 B. 是原来的2倍 C. 是原来的4倍 D. 是原来的 【答案】B 【解析】 【详解】∵分式中的x，y同时扩大2倍， ∴分子扩大4倍，分母扩大2倍， ∴分式的值是原来的2倍． 故选B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意． 4. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是92.6分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】四人平均成绩相同，无需比较平均水平，仅需比较方差大小确定人选． 【详解】解：∵四人平均成绩均为92.6分，，，，． ∴． ∴乙的成绩最稳定，适合参赛． 5. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x，y的方程组的解是 D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 6. 若点在y轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上点的坐标特征得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴ ∴，在第四象限， 故选：D． 7. 如图，在菱形中，点是上一点，连接交于点，连接，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再根据菱形的性质证明，根据全等三角形对应角相等即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 8. 下列说法中，错误的是（ ） A. 正方形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的性质与判定定理，逐一判断各选项的说法正误，即可找出错误选项． 【详解】解：A、正方形属于特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，故此选项说法正确； B、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是平行四边形的判定定理，故此选项说法正确； C、菱形的性质之一就是对角线互相垂直平分，故此选项说法正确； D、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项说法错误． 9. 如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设，则可求得点和点的坐标，推出的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：设， 为的中点， ， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数上， ， ，点到的距离为， ． 10. 如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD， ∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE， ∵ ∴EC=AE， ∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠CAD=30°，故①正确； ∵∠BAD=120°，∠CAD=30°， ∴∠BAC=90°， ∴BO＞AB， ∴OD＞AB，故②错误； ∴S▱ABCD=AB•AC=AC•CD，故③正确； ∵∠BAC=90°，BC=2AB， ∴E是BC的中点， ∴S△BEO：S△BCD=1：4， ∴S四边形OECD：S△BCD=3：4， ∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8， ∵S△AOD：S▱ABCD=1：4， ∴故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根式有意义的定义，得不等式，求解即可． 【详解】解：若要根式有意义， 则， 解得． 12. 已知点，是反比例函数图象上两点，且，则______（填“”，“”，或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该反比例函数位于第一、三象限内，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵点，是反比例函数图象上两点，且， ∴，即 故答案为： 13. 河南某景区对优秀讲解员进行考核（满分100分），按专业知识、讲解技能、素养仪态的比例计算最终成绩，小颖的上述三项成绩分别为95分、92分、90分，则小颖的最终成绩为____________分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式，计算即可． 【详解】解：（分）， 则最终成绩为分． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由菱形的面积求出对角线的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，在菱形中， ∴． 15. 已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的增根求参数的值，先将原分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程有增根得到增根的取值，再代入整式方程求解即可得到的值． 【详解】解：， 去分母，得， 展开并整理，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， ∴的值为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点、，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数求出点的坐标，再结合正方形性质求出点的坐标，进而推出， ，，的横坐标，总结其规律，进而即可解题． 【详解】解：当时，有， 解得：， 点的坐标为． 四边形为正方形， 点的坐标为． 同理，可得出：，，，，， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， 点的横坐标是． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】按照负整数指数幂、绝对值、二次根式化简、零指数幂的运算法则分别计算每一项，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简．再从，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】第一步，先对分式进行化简，通过通分、分式除法变乘法、因式分解和约分，将原式化为最简形式；第二步，根据分式有意义的条件，排除使分母或除式为零的值，从给定的数中选择合适的代入最简式计算求值． 【详解】解： ， 分式的分母不为，除式不为， ，，， ，，， ， 当时， 原式 ． 19. 如图，在中，，点，分别在边，上，且，连接． （1）求证：． （2）若，分别是边，的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：如图， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， . （2）20 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得，，再根据，结合线段的和差即可得，进而可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得. （2）根据四边形是平行四边形得，，再根据的性质，结合已知，，即可得，再根据中点性质即可得的长都为5，进而可计算四边形的周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解: 如图, 根据（1）得:四边形是平行四边形， ，， 在中有:，， ， 又、分别是边、的中点， ， ， 四边形的周长为:， ∴四边形的周长为20. 20. 某校七、八年级开展了综合实践知识竞赛，按100分制进行评分，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩（单位：分）进行分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：74，82，82，93，90，82，85，70，62，80． 八年级：成绩处于组的学生的具体成绩：83，90，84，83，83． 【整理数据】 年级 七年级 2 2 5 1 八年级 2 2 5 1 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 82 76.6 八年级 80 83 72 【应用数据】 （1）填空：__________，__________； （2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级600名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数； （3）若甲同学在分析八年级数据时多算了一个数据80，算得11个数据的方差记为，则_____72（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】（1）80、83 （2）360人 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）用八年级学生人数乘以竞赛成绩为“优秀”的人数占比求解即可； （3）加入的80与原平均数相等，偏差平方和不变，数据个数增加，因此方差变小． 【小问1详解】 解：七年级成绩的平均数（分）， 八年级成绩的中位数为第五、六位成绩的平均数，其中成绩处于有4人，且成绩处于的成绩从小到大排列为：83，83，83，84，90， 八年级成绩的中位数（分）； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加竞赛的八年级600名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数约为360人； 【小问3详解】 解：原10个数据的平均数为分， 多算了一个数据80后，11个数据的平均数不变，仍为分， 原10个数据的方差为72，多算了一个数据后个数增加， 新数据的方差变小， ． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）直线交轴于点，用割补法求出的面积； （3）根据函数图象找到不等式的解集． 【小问1详解】 解：反比例函数过， 可得：， 解得：， 反比例解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 一次函数过、， 可得：， ， 一次函数解析式：； 【小问2详解】 解：当时，, 直线交轴于点， ， 答：的面积为； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当或时，变形为， 不等式的解集为或． 22. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． （1）问：、两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要购进、两款玩偶1200个，且款的数量不小于款的一半，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】（1）款的进货单价是10元，则款的进货单价是15元 （2）购进款400个，购进款800个时，获得的总利润最高，最高为4800元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设款的进货单价是元，则款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进款个，则购进款个，先根据“款的数量不小于款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设款的进货单价是元，则款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得 经检验，是该方程的解， ， 答：款的进货单价是10元，则款的进货单价是15元． 【小问2详解】 解：设购进款个，则购进款个， ∵款的数量不小于款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则 ， 随的增大而减少， 当取得最小整数解400时，取得最大值，最大值为 此时，则 答：购进款400个，购进款800个时，获得的总利润最高，最高为4800元． 23. 如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在轴、轴上，． （1）求出所在直线的解析式． （2）把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为，求点和点的坐标． （3）若点在轴上，则在平面直角坐标系中是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在．请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和点B的坐标可求出，设所在直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）连接，由折叠性质可知，，设，则，利用勾股定理建立等式求出，即可得到点D的坐标，同理求出，即可得到点E的坐标； （3）分三种情况：当为菱形的边时，当为菱形的边时，当为菱形的边时，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为矩形， ， ． ， ， 设所在直线的解析式为， ， 解得， 所在直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由折叠的性质可知， 设，则， ， 由勾股定理得，即， 解得， ，， 同理可得， 则， ； 【小问3详解】 解：当为菱形的边时，则，由（2）可得， ∵点在轴上， ∴轴， ∴点N的纵坐标为8，横坐标为或， ∴点N的坐标为或； 当为菱形的边时，则垂直平分， ∴点E到的距离等于点N到的距离， ∵点在轴上， ∴点E与点N关于x轴对称， ∴点N的坐标为； 当为菱形的边时，则， ∵点在轴上， ∴轴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 24. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H． （1）如图①，若四边形 ABCD 是正方形，且 AG＝BE＝CH＝DF，则 S四边形AEOG＝ S正方形 ABCD； （2）如图②，若四边形 ABCD 是矩形，且 S四边形 AEOG＝S矩形 ABCD，设 AB＝a， AD＝b，BE＝m，求 AG 的长（用含 a、b、m 的代数式表示）； （3）如图③，若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB＝3，AD＝5，BE＝1， 试确定 F、G、H 的位置，使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分． 【答案】（1）；（2）AG＝；（3）当 AG＝CH＝，BE＝DF＝1 时，直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分． 【解析】 【分析】（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝ AG•a，于是得到结论； （3）如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝ ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）如图①， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB， 在△AOG与△BOE中，， ∴△AOG≌△BOE， ∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形 ABCD； 故答案为； （2）如图②，过O作ON⊥AD于 N，OM⊥AB于M， ∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD， ∴S△AOB＝S四边形AEOG， ∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE， ∴S△BOE＝S△AOG， ∵S△BOE＝BE•OM＝m·b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a， ∴mb＝AG•a， ∴AG＝； （3）如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD， 则 KL＝2OK，PQ＝2OQ， ∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ， ∴3×2OK＝5×2OQ， ∴＝， ∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD， ∴S△AOB＝S四边形AEOG， ∴S△BOE＝S△AOG， ∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ， ∴×1×OK＝AG•OQ， ∴＝AG＝， ∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明 S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026．初三．九中．开学考 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 萍乡市芦溪县是全国知名的“中国电瓷之都”，是萍乡市重要的电瓷材料产业基地，某本土企业生产的高性能的电瓷产品，绝缘层超薄涂层的厚度约为微米．数据用科学记数法记作（ ） A. B. C. D. 2. 分式中的x、y同时扩大2倍，则分式值（ ） A. 不变 B. 是原来的2倍 C. 是原来的4倍 D. 是原来的 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是92.6分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x，y的方程组的解是 D. 不等式的解集是 6. 若点在y轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在菱形中，点是上一点，连接交于点，连接，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法中，错误的是（ ） A. 正方形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 9. 如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 5 10. 如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 12. 已知点，是反比例函数图象上两点，且，则______（填“”，“”，或“”） 13. 河南某景区对优秀讲解员进行考核（满分100分），按专业知识、讲解技能、素养仪态的比例计算最终成绩，小颖的上述三项成绩分别为95分、92分、90分，则小颖的最终成绩为____________分． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 15. 已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点、，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是__________． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： 18. 先化简．再从，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值． 19. 如图，在中，，点，分别在边，上，且，连接． （1）求证：． （2）若，分别是边，的中点，，求四边形的周长． 20. 某校七、八年级开展了综合实践知识竞赛，按100分制进行评分，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩（单位：分）进行分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：74，82，82，93，90，82，85，70，62，80． 八年级：成绩处于组的学生的具体成绩：83，90，84，83，83． 【整理数据】 年级 七年级 2 2 5 1 八年级 2 2 5 1 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 82 76.6 八年级 80 83 72 【应用数据】 （1）填空：__________，__________； （2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级600名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数； （3）若甲同学在分析八年级数据时多算了一个数据80，算得11个数据的方差记为，则_____72（填“>”、“=”或“<”）． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 22. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． （1）问：、两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要购进、两款玩偶1200个，且款的数量不小于款的一半，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 23. 如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在轴、轴上，． （1）求出所在直线的解析式． （2）把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为，求点和点的坐标． （3）若点在轴上，则在平面直角坐标系中是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在．请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H． （1）如图①，若四边形 ABCD 是正方形，且 AG＝BE＝CH＝DF，则 S四边形AEOG＝ S正方形 ABCD； （2）如图②，若四边形 ABCD 是矩形，且 S四边形 AEOG＝S矩形 ABCD，设 AB＝a， AD＝b，BE＝m，求 AG 的长（用含 a、b、m 的代数式表示）； （3）如图③，若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB＝3，AD＝5，BE＝1， 试确定 F、G、H 的位置，使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $