精品解析：湖南省衡阳市船山实验中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学试题

2025年下学期开学考试试卷 初三 数学 本试卷共3道大题，26道小题，满分125分（含卷面分5分），时量120分钟． 一、选择题（3分/题，共10小题） 1. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，依题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：， 故选：A． 2. 石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负整数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将0.00000000034用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 如图是上海今年春节七天最高气温（）的统计结果，这七天最高气温的众数和中位数是（ ） A. 15，17 B. 17，17 C. 17，14 D. 17，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照温度从低到高排列为8，9，11，14，15，17，17，处在最中间的数据为14，出现次数最多的数据为17， ∴这七天最高气温的众数和中位数是17，14， 故选C． 4. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】解：A．不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．中未知数x的最高次数是3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查点关于原点对称的坐标特点，根据点坐标的特点判定所在象限，理解并掌握点的对称性质是解题的关键． 根据点关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均变为相反数，再根据点的坐标的符号即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， ∵，， ∴在第四象限， ∴点关于原点对称的点在第四象限， 故选：D． 6. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握数形结合思想是解题的关键．先由点所在的象限确定、符号，再确定和的正负，从而确定直线经过的象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：A． 7. 若a，b为实数，且，则的平方根是（ ） A. 36 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根，解不等式组，先根据二次根式有意义的条件得出，，再求出的值，最后根据平方根的定义求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ， 的平方根是， 故选：D． 8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（ ） A. 33度 B. 34度 C. 57度 D. 67度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，由菱形的性质可得，，，再结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 3.6 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、三角形面积计算，由平行四边形的性质并结合题意可得，，，，由勾股定理计算得出，连接，求出，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，连接， ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知且，从而可证四边形是平行四边形，因为，所以，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据等腰三角形三线合一定理可证是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形对应角相等可知，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证，设，则，，在中，利用勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点，分别是边，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、勾股定理、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，解决本题的关键是找出全等三角形利用全等三角形的性质找边之间的关系． 二、填空题（3分/题，共8小题） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减法．首先将化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x＞－2 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得：被开方数要大于等于零，且分数的分母不为零，即x+2＞0. 解：x+2>0 解得：x>-2 故答案为：x>-2 考点：二次根式被开方数的取值范围． 13. 张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶______小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，观察函数图象，再把代入，解得，令时，解得，即可作答． 【详解】解：设线段的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 令时，则， ∴ 即一箱汽油可供汽车行驶小时． 故答案为： 14. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，用反比例函数比例系数k的代数式分别表示的面积，利用求解即可． 【详解】解：如图设与y轴交于点C， 由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：6． 15. 把方程写成一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为（a、b、c为常数，且），因此熟悉一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程一般形式的特点即可求解． 【详解】解：， 去括号，得， 即， 故答案为：． 16. 若关于x的分式方程有增根，则的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根的解题思路是关键． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程，算出的值． 【详解】解：， 方程两边都乘， 得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，， 故答案为：． 17. 小林想要计算一组数据的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据．记这组新数据的方差为，则______．(填“>”，“<”或“=”) 【答案】= 【解析】 【分析】利用一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变即可解答． 【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变 ∴=． 故答案为：=． 【点睛】本题主要考查了方差的意义，掌握一组数据都加上同一个非零常数、方差不变是解答本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，，组成一条平滑的曲线，其中，，，…，在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，，，，，，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律，实数的规律探索，根据材料提示，找出规律是关键，根据题意，对于，当为奇数时，其横坐标为；对于，其纵坐标的变化规律是每4个一组循环，由此即可求解． 【详解】解：在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，，，，，，， ∴对于，当为奇数时，其横坐标为， ∴的横坐标为， 对于，其纵坐标的变化规律是每4个一组循环， ∴， ∴的纵坐标为， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 19. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先化简乘方，运用二次根式的性质化简，化简绝对值，负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 20. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）先移项，再根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ． 【小问2详解】 ， ， 或， ． 21. 已知一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求一次函数的表达式及的面积； （2）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则m的值为 ． 【答案】（1）；面积为 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，一次函数的几何变换，三角形的面积等，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式，然后分别求出点A和点B坐标，进一步求的面积即可； （2）将点代入平移后的解析式，即可求出m的值． 【小问1详解】 设一次函数表达式为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数表达式为； 当时，， 解得 ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ ∴的面积； 【小问2详解】 一次函数的图象平移向上平移个单位后的解析式为， 将点代入，得， 解得． 22. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求点D到的距离． 【答案】（1）证明：点E和点F是直线上的两点且， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）由得，证明，推出， ，即可证明四边形是平行四边形； （2）设点D到的距离为h，根据求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点D到的距离为h， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点D到的距离是 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出时的取值范围； （3）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）图象法确定的取值范围即可； （3）求出点坐标，设的坐标为，利用三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点和， ∴， ∴， ∴反比例函数，； ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 由图象可知：当时：或； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，， ∴， 设的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴的坐标为或． 24. 某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． （1）“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； （2）“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； （3）在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 【答案】（1）A图书标价27元，B图书标价25元 （2） （3）购进A图书40本，B图书160本，利润最大，为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一次函数是解此题的关键． （1）设图书标价x元，图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购进图书m本，图书本，利润为W元．根据题意得出W关于的关系式； （3）根据一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设图书标价x元/本，图书标价y元/本． 由题意得：， 解得， 答：图书标价27元/本，图书标价25元/本； 【小问2详解】 解：依题意，设购进图书本，图书本，利润为元． 则 ， ∵A图书不少于40本．不多于60本， ∴； 【小问3详解】 解：依题意，； 随的增大而减小， ， 当时，W有最大值为（元），（本）， 答：购进图书40本，图书160本，利润最大，为元． 25. 如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是．点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处． （1）F点的坐标为______，并求出线段的长； （2）若点P在第二象限，且四边形是矩形，求P点的坐标； （3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】（1）， （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）由，且，求出、的长，再由折叠的特征求出的长，由勾股定理求出的长即可得到点的坐标；过作交于，设长为x， 由折叠知，以此为等量关系列方程即可求得长度． （2）连结、分别交于点、，由为的中点，可求出点的坐标，用待定系数法求直线的解析式，得到点的坐标，再由点分别为、的中点求出点的坐标； （3）以点、、、为顶点的四边形是菱形，则，而点在轴上，点在上，可知点在直线上，由、以及折叠得，，按以为菱形的边或对角线分类讨论，求出对应的点的坐标即可． 【小问1详解】 解：矩形的边、分别在轴、轴上，且， ，，，， ，且， ，， 由折叠得，， ， ， ， ． 如图1，过作交于， 则四边形，为矩形， 设长为x，则， ∴， ∵， ∴在中，， 由折叠可知， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，连结交于点， 由（1）得，，，， 四边形是矩形， 点分别为、的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ， 设，则，， ，， ； 【小问3详解】 解：由（1）得，，，，， 由折叠得，， ①当、为菱形的边时，则， 点在轴上，点在上， ∴如图3，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形， 则 ， ∴； 如图4，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形， 则； ②当为菱形的边，为菱形的对角线时，如图5，四边形为菱形， 连结，交于点，则垂直平分，且四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； ②当为菱形的对角线，为菱形的边时，如图6，四边形是菱形， 设， 作于点，则，，， ， 由，得， 解得，， ， ∴， 综上所述，，，，． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质，折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，中点坐标等，熟练掌握相关知识点，采用分类讨论的思想方法是解决问题的关键． 26. 【问题探究】 综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究： 如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系． 小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是： 将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系． （1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论： 在图②中，______度，之间的数量关系是______． 【问题延伸】 （2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究： 如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想： ①线段的数量关系是______； ②线段的数量关系是______； 请任选一个你的猜想说明理由． 【问题解决】 （3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标． 【答案】（1）； （2）猜想：①；②； 选择猜想②，证明过程如下：∵四边形是正方形， ∴，， 如图③，将绕点B逆时针旋转，得到， 则，，，， ∴， 则G、D、F、C共线， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：①；②； （3） 【解析】 【分析】（1）根据小红组的研究方法写出求解过程即可； （2）猜想①可由（1）得到结论，仿照（1）过程证明；选择猜想②证明：根据正方形的性质和旋转性质可将绕点B逆时针旋转，得到，证明G、D、F、C共线，和得到，，进而可得结论； （3）在y轴正半轴上截取，连接，，利用（1）中结论知，根据坐标与图形性质得到，，进而得到，，由求得，则，即可求解． 【详解】解：（1）如图2， ∵在中，， ∴， 由旋转性质得，，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴，又，， ∴，则， 在中，， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）如图，在y轴正半轴上截取，连接，，则， 由（1）得， ∵点，点， ∴，， ∴，， ∴，解得， ∴， 则点C坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期开学考试试卷 初三 数学 本试卷共3道大题，26道小题，满分125分（含卷面分5分），时量120分钟． 一、选择题（3分/题，共10小题） 1. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是上海今年春节七天最高气温（）的统计结果，这七天最高气温的众数和中位数是（ ） A. 15，17 B. 17，17 C. 17，14 D. 17，15 4. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若a，b为实数，且，则的平方根是（ ） A. 36 B. 6 C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（ ） A. 33度 B. 34度 C. 57度 D. 67度 9. 如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 3.6 D. 0.6 10. 在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3分/题，共8小题） 11. 计算：______． 12. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 13. 张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶______小时． 14. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为__________． 15. 把方程写成一般形式为______． 16. 若关于x的分式方程有增根，则的值是 _____． 17. 小林想要计算一组数据的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据．记这组新数据的方差为，则______．(填“>”，“<”或“=”) 18. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，，组成一条平滑的曲线，其中，，，…，在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，，，，，，，则点的坐标为______． 三、解答题（共8小题） 19. 计算：． 20. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 21. 已知一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求一次函数的表达式及的面积； （2）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则m的值为 ． 22. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求点D到的距离． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出时的取值范围； （3）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标． 24. 某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． （1）“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； （2）“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； （3）在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 25. 如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是．点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处． （1）F点的坐标为______，并求出线段的长； （2）若点P在第二象限，且四边形是矩形，求P点的坐标； （3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 26. 【问题探究】 综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究： 如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系． 小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是： 将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系． （1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论： 在图②中，______度，之间的数量关系是______． 【问题延伸】 （2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究： 如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想： ①线段的数量关系是______； ②线段的数量关系是______； 请任选一个你的猜想说明理由． 【问题解决】 （3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $